光在球面上的反射与折射球面镜成像球面镜的焦距.doc

1、1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点 F（图 1-4-1） ，这 F 点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点 F（图 1-4-2） ，这 F 点称为凸镜的虚焦点。焦点 F 到镜面顶点 O 之间的距离叫做球面镜的焦距 f。可以证明，球面镜焦距 f 等于球面半径 R 的一半，即 2f（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图 1-4-3 所示）设在凹镜的主轴上有一个物体 S

2、，由 S 发出的射向凹镜的光线镜面 A 点反射后与主轴交于 S点，半径 CA 为反射的法线， S即 S 的像。根据反射定律， AC，则 CA 为 A角 A 的平分线，根据角平分线的性质有SCFO图 1-4-1 图 1-4-2由为 SA 为近轴光线，所以 OSA， S，式可改写为SCO式中 OS 叫物距 u， 叫像距 v，设凹镜焦距为 f，则fu2SCS代入式 fu2化简 f1这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距 f 取正，凸镜焦距 f 取负；实物 u 取正，虚物 u 取负；实像 v为正，虚像 v 为负。 fu1上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量

3、符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长 h 之比为成像放大率，用 m 表示，uhm由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表所列；对于凸镜，如表所列。表 凹镜成像情况物的性质 物的位置 像的位置 像的大小 像的正倒 像的虚实同侧 f 缩小 倒 实2f 同侧 f2f 缩小 倒 实2f 同侧 2f 等大 倒 实2ff 同侧 f2f 放大 倒 实f 放大实物f0 异侧 0放大 正 虚虚物 异侧 0f 缩小 正 实表 凸镜成像情况物的性质 物的位置 像的位置 像的大小 像的正倒 像的性质实物 f 同侧 0f 缩小 正 虚2f 同

4、侧 f2f 缩小 倒 虚2f 同侧 2f 等大 倒 虚f2f 同侧 2f放大 倒 虚f虚物f0 异侧 0放大 正 实（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。如图 1-4-4 所示，半径为 R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距 2.6R，现于主轴上距凹镜顶点 O1为 0.6R 处放一点光源 S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问 S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？S 在凹镜中成像，Ru6.01， f211OS2 1S2O图 1-4-411fuR

5、26.01可解得 3 O6.2,根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像 1S作为凸镜的虚物来处理，RRu4.0)36.2(， 2f221fR14.02可解得 2说明凸镜所成的像 S和 S 在同一位置上。1.4.2、球面折射成像（1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像如图 1-4-5 所示，如果球面左、右方的折射率分别为 1 和 n， S为 S 的像。因为 i、 r 均很小，行以 nis因为 i， r代入式可有 )(nr对近轴光线来说， 、 、 同样很小，所以有ux， R， x代入式可得n1当 u时的 v 是焦距 f，所以nRf1 iuSO1rvnC

6、S图 1-4-5（b）双介质球面折射成像如图 1-4-6 所示，球形折射面两侧的介质折射率分别 n1 和 n2，C 是球心，O 是顶点，球面曲率半径为 R，S 是物点， S是像点，对于近轴光线21in1i， 2i， uA0， R0， vA0联立上式解得rnvun121这是球面折射的成像公式，式中 u、 的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于 R；则当球心 C 在出射光的一个侧， （凸面朝向入射光）时为正，当球心 C 在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点， （也称像方焦点） ，此时像距即

7、是第二焦距 2f，有 12nRf。当出射光为平行光时，入射光（或其延2i2iO图 1-4-6长线）的交点即第一焦点（即物方焦点） ，这时物距即为第一焦距 1f，有 12nRf，将 f、 2代入成像公式改写成121uf反射定律可以看成折射定律在 12n时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距 和球面半径 R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令 12n， ， R，即可得到球面镜反射成像公式 u1，对于凹面镜 0， 21Rf，对于凸面镜 0R， 21Rf，厚透镜成像。（C）厚透镜折射成像设构成厚透镜材料的折射率为 n，物方介质的折射率为

8、 1n，像方介质的折射率为 2n，前后两边球面的曲率半径依次为 1r和 2，透镜的厚度为 to，当物点在主轴上的 P 点时，物距 OPu，现在来计算像点 P的像距。 POS，首先考虑第一个球面 AOB对入射光的折射，这时假定第二个球面 AOB 不存在，并认为球 AOB 右边，都为折射率等于 n 的介质充满，在这种情况下，P 点的像将成在 P处，其像距 O，然后再考虑光线在第二个球面的折射，对于这个球面来说， 便是虚物。因此对于球面 AOB，物像公式为12rnuvn图 1-4-71hAPO1r2ruut对于球面 AOB，物像公式为 22rntuvn这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距

9、 u。（2）光焦度 折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用 表示：rn它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。 的数值越大，平行光束折得越厉害；0 时，屈折是会聚性的；0 时，屈折是发散性的。=0 时，对应于 r，即为平面折射。这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。光焦度的单位是米 -1，或称屈光度，将其数值乘以 100，就是通常所说的眼镜片的“度数” 。（3）镀银透镜与面镜的等效 有一薄平凸透镜，凸面曲率半径 R=30cm，已知在近轴光线时：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距

10、是 30cm 的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其hiiu2C60cm 30cm图 1-4-8ihiCBA图 1-4-9等效焦距。当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是 30cm 的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为 60cm 的球面反射镜。由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心 时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过 点，物像重合。如图 1-4-8 所示。 in， iu， iun1。依题意， 60hu， 3i，故 5.1n。凸面镀银，光路如图 1-4-9 所示。关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点 A 作一垂直于球面指向曲

11、率中心 C 的光线。此光线经平面折射后交至光轴于 BC，令 rO则 in， Rh， ri，得 cmnR2。由光的可逆性原理知， 是等效凹面镜的曲率中心， f=10cm。例 1、如图 1-4-10 所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为 r，透镜的折射率为 n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射） 。解: 从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合

12、物与像共面的要求。就可求解。物像图 1-4-10球面反射的成像公式为： fvu1，其中反射面的焦距为 2Rf（ R 为球面半径） ，对凹面镜， f 取正值，对凸面镜， f 取负值。球面折射的成像公式为： Rnvun1)(221。当入射光从顶点射向球心时， R 取正值，当入射光从球心射向顶点时， R 取负值。如图 1-4-11 甲所示，当物点 Q 发出的光经透镜前表面折射后成像于 Q，设物距为u，像距为 v，根据球面折射成像公式：Rnun1)(221这里空气的折射率 1，透镜介质的折射率 n2，入射光从顶点射向球心， R=r 取正值，所以有rvnu（1）这是第一次成像。对凸透镜的后表面来说，物点

13、 Q 经透镜前表面折射所成的风点 是它的物点，其物距vu1（是虚物） ，经透镜后表面反射后成像uvQQn1图 1-4-11 甲1u11vu )(Qn1图 1-4-11 乙2P12n1Q)(12图 1-4-11 丙于 1Q，像距为 1v（如图 1-4-11 乙所示） ，由球面反射成像公式rfu21将前面数据代入得 rv21（2）这是第二次成像。由透镜后表面反射成的像点 1Q又作为透镜前表面折射成像的物点 2，其物距 12vu（是虚物） ，再经过透镜前表面折射成像于 ，像距为 2，（见图 1-4-11 丙所示） ，再由球面折射成像公式Rnvun1)(221这时人射光一侧折射率，折射光一侧折射率(是

14、空气） ，入射光由球心射向顶点，故 R 值取负值。所以可写出rnvun1)(2代入前面得到的关系可得 rnvu121（3）这是第三次成像，由（1） 、 （2）两式可解得rnvu31（4）再把（4）式和（3）式相加，可得 rnvu)2(（5）为使物点 Q 与像点 2在同一竖直平面内，这就要求12v代入（5）是可解得物距为 12nru说明 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距 P，根据上式就可利用已知的透镜折射率 n 求出透镜球面的半径 r，或反过来由已咋的球面半径 r 求出透镜的折射率 n。 1C21S2透 镜 主 轴图 1-4-12例 2、显微镜物镜组中常

15、配有如图 1-4-12 所示的透镜，它的表面是球面，左表面 1S的球心为 1C，半径为 1R，右表面 2S的球心为 C，半径为 2R，透镜玻璃对于空气的折射率为 n，两球心间的距离为 nRC21 。在使用时，被观察的物位于 1C处，试证明1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点 Q。2、 2nRQ。解: 首先考虑 1S面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过 1S面，所以对 2S来说，物点就在 1C处。再考虑到 2面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为 ，入射点为 P，入射角为 i，折射角为 r，折射线的延长线与主轴的交点为 Q 如图 1-4-13，则由折射定

16、律知inrsi 在 PC21中应用正弦定理得 sini2已知 RC21由此得 sini/22R O1C2ir图 1-4-13rinssi所以 r设 CP 与主轴的夹角为 ，则有iri显然，0 时，r，因此出射线与主轴相交之点 Q 必在透镜左方。 为 PQC1的外角ir)(.在 2中应用正弦定理，得sini22RrC22irQ2C 的数值与 无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与 2C的距离为 2nR。例 3、有一薄透镜如图 1-4-14， 1S面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面） ，其焦点为 1F和 2； S面是球面，其球心 C 与 2F重合。已知此透镜放在空气中时能使

17、从无穷1S21F2C图 1-4-14远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为 e。(1)求此透镜材料的折射率 n（要论证） ；(2)如果将此透镜置于折射率为 的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。解: (1)根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心 C，即射向旋转椭球面的第二焦点 2F，则可满足题设要求。光路图如图 1-4-15所示： PA 为入射线， AC

18、 为经椭球面折射后的折射线， BN 为 A 点处椭球面的法线， i 为入射角， r 为折射角。根据椭圆的性质，法线 BN 平分 21 ，故 1F与法线的夹角也是r，由正弦定律可得nriBFAs1， nriBFAs2从而可求得ecaAn1212a 为长轴的长度，2 c 为焦点间的距离；即只要 n 满足以上条件，任意入射角为 i 的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于 C（即1S21F2FClriNP图 1-4-152F）点。（2）如果透镜置于折射率为 n的介质中，则要求eri1s即椭圆的偏心率 e 应满足 n由于椭圆的 e 1，如果 就无解。只要 n，总可以找到一个椭球面能满足要求。例 4、

19、（1）图 1-4-16 所示为一凹球面镜，球心为 C，内盛透明液体。已知 C 至液面高度 CE 为 40.0cm，主轴 CO 上有一物 A，物离液面高度 AE 恰好为 30.0cm 时，物 A 的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率 n。（2）体温计横截面如图 1-4-17 所示，已知细水银柱 A 离圆柱面顶点 O 的距离为 2R， R 为该圆柱面半径， C 为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率 n=3/2， E 代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。解: （1）主轴上物 A 发出的光线 AB，经液体界面折射后沿 B

20、D 方向入射球面镜时，只要 BD 延长线经过球心ACEOn光 圈图 1-4-16R2OCE图 1-4-17 ACEOBDir图 1-4-18C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于 A（图 1-4-18） 。对空气、液体界面用折射定律有rnisisCBEA/i当光圈足够小时， B E，因此有3.104An（2）先考虑主轴上点物 A 发出的两条光线，其一沿主轴方向 ACOE 入射界面，无偏折地出射，进入人眼 E。其二沿 AP 方向以入射角 i 斜入射界面 P 点，折射角为 r。折射光线 PQ 要能进入人眼 E， P 点应非常靠近 O 点，或说入射角 i 折射角 r

21、应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律 nsi可写为 。这两条光线反向延长，在主轴上相交于 ， 即为物 A 之虚像点（图 1-4-19）对 用正弦定律，得ABAB iCnPQOEinir图 1-4-19在小角（近轴）近似下：，上式可写为 解上式得 为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体 AB，即然 是一对共轭点，只要选从 B 发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过 垂轴线相交于 ， 是点物 B 虚像点，即 是物 AB 之正立虚像。选从 B 点发出过圆柱面轴心 C 之光线 BC。该光线对界面来说是正入射（入射角为零） ，故无偏折地出射，反向延长 B

22、C 线交过 垂轴线于 ，从 得放大率=例 5、有一半径为 R=0.128m 的玻璃半球，过球心 O 并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿轴放置一细条形发光体 （ 离球心较近） ，其长度为 L=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去（如图 1-4-20） ，可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此处可O图 1-4-20能还有亮度更弱的像，不必考虑） ，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随之移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端距球心 O 的距离为 。试利用以上数据求出构成此半球的玻璃折射率 n（计算时只考虑

23、近轴光线） 。解: 1、条形发光体的两个像，一个是光线在平面部分反射而形成的，一个是光线经平面折射进入玻璃，在凹面镜上反射后，又经平面折射穿出玻璃而形成的。2、求半球外任一个在轴上的光点 A 的上述两个像。平面反射像在 处， （见图 1-4-21）凹面镜反射像 D 求法如下：（1） A 点发出的光经平面折射后进入玻璃，射向凹面镜，对凹面镜来说，相当于光线从 B 点射来（1-4-22） 。令 OB=b，则（1） （2）用凹面镜公式（ f 为焦距）求凹面镜成的像 C 的位置。令 OC=C，则O图 1-4-21OB图 1-4-22 OE图 1-4-23，代入上式解出 C 得（2）由此可以看出， C

24、点在半球之内。（3）由 C 点发出的光线，经折射穿出玻璃外时，由外面观察其像点在 D 处（见图 1-4-23） 。令 OD=d，则（3）D 点就是人眼所看到的光点 A 的像的位置。由（3）式可知， a 越大， d 也越大，且da3 现在，条形发光体 经平面反射成的像为 ，设经凹面镜反射所成的像为 。根据（ 3）式所得的 a 与 d 间的关系，可知 离球心 O 比 和 近。所以当二像恰好头尾相接时，其位置应如图 1-4-24所示，即 与 重 O图 1-4-24合（4）即 式中 为 距球心 O 的距离。因此得（5）代入已知数据： R=0.128m，得 例 6、某人的眼睛的近点是 10cm，明视范围

25、是 80cm，当他配上-100 度的近视镜后明视范围变成多少？解:在配制眼镜中，通常把眼睛焦距的倒数称为焦度，用 D 表示，当焦距的单位用 m 时，所配眼镜的度数等于眼镜焦度的 100 倍。本题中此人所配的近视眼镜的度数是-100 度，此人眼睛的度数 ，所以此近视镜的焦距为当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时，所成的虚像在他能看清的近点 10cm，由解得物距 因为此人的明视远点是 10 cm +80 cm =90 cm，所以此人戴上眼镜以后在看清最远的物体时，所成的虚像在离他 90 cm 处，再根据透镜公式可解得他能看清的最远物距是：所以，他戴上 100 度的近视眼镜后，明视范围是 0.11m9.0 m。说明 不管是配戴近视眼镜还是远视眼镜，他戴上眼镜后，不是把他的眼睛治好了，而是借助把他要看清的物体成虚像到他不戴眼镜时所能看清的明视范围内。