1、第 5 章 恒定磁场（2） 矢量磁位 工程电磁场基础 华中科技大学 电气与电子工程学院 2016年4月 主讲人：陈德智 http:/et- 1）基本方程在均匀无限大线性介质空间的解 d 4 V bV R d 4 V V R c A 定义 ， F A 则 F可以表示为： R rr 其中， 亥姆霍兹定理：对于矢量场 ， 若， b F F c ) (r F F 2矢量磁位在无限大均匀线性介质空间中， 0 B BJ 0 d 4 V V R J A 故 BA 所以 A 矢量磁位。 引入矢量磁位的条件是磁场散度为 0。 在一般情况下，把 看作 A的定义式。 BA / E 0 E 1d 4 V V R E
2、 回顾静电场： d 4 V bV R d 4 V V R c A F A2 d d 44 R VV V V RR Je J A 22 () () 1 () R R R RRRR eJ e Jr Jr Jr J d 4 V V R J A 22 dd 44 R R Sl SI RR Kel e B 对于面电流和线电流， 矢量磁位 2 d 4 R V V R Je BA 故 毕奥萨伐定律 2 2 2 d d 4 d 4 d 4 R R R V R S R I R Je B Ke le（2） 库仑规范 矢量磁位的定义式 只规定了A的旋度， 要唯一地确定A，必须给定它的散度。 BA 库仑规范是一个很自
3、然的选择： 0 A 并不影响B的表示。显然，库仑规范是最简单的选择。 () ff A AAA 选择不同的规范，得到的A是不同的，但是通常 说来，我们关心的是B；A只是一个辅助量。设若另 有， 则 f AA 矢量磁位矢量磁位 （3） 矢量泊松方程 在均匀线性介质中，将 代入 H 的旋 度方程得： BA 1 B JHA 应用矢量恒等式 2 () AAA 得： （矢量泊松方程） 2 A J 在直角坐标系下，上式可以分解为三个标量泊松 方程：2 xx A J 2 yy A J 2 zz A J 上式表明，在无限大均匀 介质中，当电流只在一个方 向有分量时，矢量磁位也只 有同方向的分量。这给求解 带来了
4、方便，每一个方程都 可以象静电场电位泊松方程 那样求解。注意：这种分解只 对直角坐标系有效！ 回顾在均匀无限大线性 媒质中， d 4 V V R J A 也可以拆成三个标量方程： d 4 x x V JV A R d 4 z z V JV A R d 4 y y V JV A R 实际上上式正是相应的 泊松方程的解。 矢量磁位（4） 矢量磁位媒质交界面条件 矢量磁位 12 A A 因此，分界面上矢量磁位 A 是连续的。 12 0 d 0 n S n A A AA S12d d S t C t A A AB Al BS但这只是 A本身的要求。作为位函数， A 必须满足更 高的要求，保证 B 的连
5、续性条件成立。 由 A 的性质，不难得到：（4） 矢量磁位媒质交界面条件 矢量磁位 21 21 11 ( )( ) nAA K 21 () 0 nBB 21 () nHHK 12 A A 分界面上矢量磁位 A 是连续的。 12 zz A A 12 12 11 zz z AA K nn 对于 A只有一个分量（例如 A z ）的情况，有 这样的场是平行平 面场，比较简单， 易于求解。 教材p.162 式(5-2-14) 表述较繁琐磁场是运动的电场。A 是跑着的？ 电位 与带电粒子的能量有关： （5） A是什么？ 2 1 2 Wm vq 矢量磁位 A 与带电粒子的动量有关： mq P vA 在量子力
6、学中，A 与 被认为是更基本的量；但在 电磁场中， A 只是计算 B 的辅助量。 一个有趣的公式： d1d 44 VV VV R R v v 2 c v A dd 44 VV VV R R J v在无限大均匀媒质中，如果电流只有一个方向， 则A与之同方向：在电磁场分析中， A 具有以下一些有用的性质： z A Ak 在平行平面场中，等 A 线是磁力线。 （平行平面场：电流只有z方向，磁场在z方向没有变化。） 00 xyz x zz xy z A A xyz y x A eee BA ee 等 A 线方程为： zz xy AA BB y x 0d d d d d zz zy x AA A xyB
7、 x B y xy /d / d xy BBxy 磁力线方程 const z A 在电磁场分析中， A 具有以下一些有用的性质： 在轴对称场中，等 A 线是磁力线。 轴对称场中，如果电流只有周向分量，（媒质分布也满足轴 对称条件），则A也只有周向分量。轴对称线圈（带或者不 带铁心）即属此种情况。 可见，不管是平行平面场还是轴对称场，矢量磁位A都只有 一个方向的分量（但磁场B具有两个分量），因此只需要求 解一个标量方程即可。因此在工程实践中，二维恒定磁场一 般都采用矢量磁位A进行计算。 A与电流同方向。 对于一条边界，如果磁力线处处与之垂直，则 0 z A n 矢量磁位 其它性质，由 及 ： B
8、A 0 A dd Sl BS Ald0 S AS（计算磁通量） 用 A描述的矢量泊松方程与以 B 和 H 描述的恒 定磁场基本方程是等价的。 矢量磁位 A 的引入是为了简化磁场的分析。分析 磁场的常用方法是：先求 A，再由 A 计算 B。 求解矢量磁位 A，可以使用积分公式，也可以求 解 A 的泊松方程边值问题。后者是广泛采用的途 径。 使用矢量磁位 A 分析磁场 B例5 空气中有一长度为 l，截面积为 S，位于 z 轴上的短铜线， 电流 I沿 z 轴方向，试求离铜线较远处（R l）的磁感应强度。 11 z z z A z AAA ee e BA e 根据 0 22 4 z Il z e A
9、由于 ， l R 解：取圆柱坐标 能否用安培环路定律 来求解此问题? 位于坐标原点的电流元 00 22 3 2 2 sin 4( ) 4 Il Il zr Bee例 6 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路 的半径为a，回路中的电流为I。 解 由于轴对称性，A 和 B 均与 无 关，计算 xoz平面上的点不失一般性。 dd( s i nc o s) d xy aa le e e 222 1 2 ( ) ) Rxxyz 22 1 2 2 s i n c o s raa r 小圆环电流 a I x z y r R dl r I P O (,) (s i n, c o s) (,)(c
10、o s, s i n) xz r r xy a a 场点坐标： 源点坐标： 2 00 22 1 2 0 (s i n c o s ) d d (,) 4 4 2 sin cos xy Ia I xz Rr a a r ee l A距离： 电流元：对于远区，有r a ，所以 22 1 / 2 111 2 s i n c o s s i n c o s 1 (1 s i n cos ) Rraa r ra a rr 2 0 0 2 0 2 ( , ) (1 sin cos )( sin cos )d 4 sin 4 xy y Ia a xz rr Ia r Ae e e 由于在 = 0 面上 ，所
11、以上式可写成 y ee 于是得到 0 2 () s i n 4 IS r Ar e 2 0 22 1 2 0 (s i n c o s ) d (,) 4 2 sin cos xy Ia xz raa r ee A11 (sin ) ( ) sin r A rA rr r BA e e 0 3 (2 c o s s i n) 4 r IS r ee 式中S =a 2 是小圆环的面积。 载流小圆环可看作磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩 （或磁偶极矩），则 m I pS 0m 2 () s i n 4 p r Ar e 或 0m 2 () 4 r r pe Ar 0m 3 () (2 c o s s
12、i n) 4 r p r Br e e电偶极子的场图 等位线 电场线 回顾：电偶极子与磁偶极子 q pl 22 00 cos () 44 r p rr pe r 电偶极子 标量电位 电场强度 3 0 () (2 c o s s i n) 4 r p r Er e e 磁偶极子 m I pS 0m 0m 22 () s i n 4 4 r p rr pe Ar e 0m 3 () (2 c o s s i n) 4 r p r Br e e 矢量磁位 磁感应强度 小圆环电流产 生的磁场与电 偶极子产生的 电场图像完全 相同。（6） 矢量磁位 A 的边值问题（以平行平面场为例） 矢量磁位 2 zz
13、 A J 微分方程： 交界面条件： 12 12 12 11zz zz z AA AAK nn 1 () z S A fS 第一类边界条件： 磁力线平行边界 2 () z S A fS n 第二类边界条件： 磁力线垂直边界 （例如铁的表面） const z S A 特别的 0 z S An 特别的例7 一半径为 a 的带电长直圆柱体，其电流密度 , 试 求导体内外的磁矢位 A 与磁感应强度 B。（导体内外媒质的 磁导率均为 0 ） 解：采用圆柱坐标系， z J J k 1 0 za A （参考磁矢位） 12 zaza AA 12 00 11 zz aa AA 10 z A 有限值 （处 ） 0
14、2 2 2 1 () 0 () z z A Aa 2 1 10 1 () ( 0) z zz A A Ja 长直带电圆柱导体分别积分，得到： 2 120 1 0 4 za z A cJ a （参考点） 10 1 0 z Ac （） 0 21 2 ln ( ) z Ad da 2 1012 1 +l n+ ( 0 ) 4 zz A Jcc a 故： 22 10 1 () ( 0) 4 zz A Ja a 2 0 20 1 ln ln ( ) 22 zz I AJ a a aa 12 zaza AA 12 00 11 zz aa AA 故： 0 2 I BA e 解：依图示电流方向，磁矢位 A=-
15、e z A z 。 A z 为（x,y) 的函数。除（0,b）点外，A z 满足的 方程为 22 22 0 zz AA xy 由于 ，铁磁材料表面外磁力线处处 垂直，因此 在处 ， /0 z Ax , 0 x ay h 在处 ， /0 z Ay 0, a yx a 例8 图示铁磁体槽内有一线电流 I，铁磁体的磁导率 ， 槽和载流导线均为无限长，忽略槽口边缘效应，试写出槽内矢 量位 A 的边值问题。 铁磁体槽内的线电流 在 处，可认为B 线和 x 轴平行， , a yh xa 0 z A 在导线表面（设 ）， 0 /2 HI 0 0 00 / 2 AI 或 如果载流导线截面不 可忽略，如之何？例
16、8的磁力线分布 （by ANSYS）（7） 矢量磁位 A 与标量电位 的比拟 矢量磁位 2 2 zz A J 微分方程： 积分解： 1d 4 V V R 0 d 4 z z V J V A R 交界面 条件： 12 12 12 nn 12 12 12 11 zz zz z AA AA K nn 对应量： z A 1/ J KI矢量磁位的静电比拟 之双输电线 矢量磁位 平行双载流细输电线磁场 平行双带电细导线电场 2 01 ln 2 0 2 1 ln 2 z I A 双线输电线的磁场 双电轴电场 电力线 等 线 等 A 线、磁力线 思考：A 线是什么样子的呢？平行板电容器电场 平行导流板磁场 0 z 0 y AK z 矢量磁位 矢量磁位的静电比拟之双导体板沿着电力线 电力线平行条件 0 S n 垂直于电力线 电力线垂直条件 const S 磁力线垂直条件 0 z S A n 沿着磁力线 A z const 磁力线平行条件 垂直于磁力线 再次强调：位函数与场线的平行、垂直关系 BA E作业： 5.14, 5. 17
