1、平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 1 平面几何常考五大模型 -（解答几何题的五大法宝） 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。 模型一：等积变化原理： 两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 bas2s1S1 S2 =a b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“ 鸟头定理 ”） :如下图，三角形 AED占三角形 ABC面积的 23 14 =16 模型二：等积变化原理之四边形应用 S 4S 3s 2s 1ODCBA1 4 1 42 3 21 3SS= SSDOO B S S 模型三 ：梯形中比例关系（“
2、梯形蝴蝶定理 ”） (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方 S1 S3=a2 b2 （ 2） S1 S3 S2 S4= a2 b2 ab ab （ 3） S2=S4 ； （ 4） 1 4 1 42 3 21 3SS= SSDOO B S S : 平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 2 模型四 ：相似 三角形性质 a b c hA B C H ; 相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方 S1 S2=a2 A2 hhHcbaC BAacbHCBA 模型五 ： 燕尾定理 FEDCBAS ABG： S AGC S BGE： S GEC BE： EC； S BGA： S BGC
3、 S AGF： S GFC AF： FC； S AGC： S BCG S ADG： S DGB AD： DB； 【例 1】：如右图，在 ABC中， BE=3AE， CD=2AD若 ADE的面积是 1平方厘米，那么三角形 ABC的面积是多少？ 【解答】连接 BD,S ABD和 S AED同高，面积比等于底边比，所以三角形 ABD的面积是 4， S ABD和 S ABC同高面积比等于底边比，三角形 ABC的面积是 ABD的 3倍，是 12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 3 平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 4
4、【例 1】已知正方形的面积是 120 平方厘米， B、 E 为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】由巩固可知 BAEG 的面积为整个正方形面积的五分之一为： 120 5=24 (平方厘米 )，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法 . 方法一：连接 FE 由图可知 BAF 、 AEF 和 EFC 的面积相等，又因为 ABC 的面积为 120 4=30 (平方厘米 )，所以 BAF 、 AEF 和 EFC 的面积为： 30 3=10 (平方厘米 )，所以阴影部分的面积为： 24-10=14 (平方厘米 ). 方法二：本题用沙漏也可以解答能看见 BAF 和 CDF 是沙漏
5、 (形象演示 ) AB:CD=BF:FC=1:2所以以 BF为底的三角形 ABF占整个三角形的 1/3, 为 30 1/3=10 (平方厘米 ).所以阴影面积为： 24-10=14 (平方厘米 ). 平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 5 平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 6 平面几何常考五大模型 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 7 【练习】已知：如图， D、 E分别是 ABC的边 AB和 AC的中点， F是 DE的中点。求 DFG的和四边形 AEFG的面积的比是多少？ 【解析】因为 F为 DEF的中点，所以 CFD= CEF AFE= AFD 因为 E为 AC的中点，所以 CEF= AEF 所以 CFD= CEF= AEF 所以 CFA: CFD=2:1 根据燕尾定理： AGF: DGF= CFA: CFD=2:1 所以 DFG： AEFG=1：（ 2+1+2） =1： 5
