1、 1 匠人之心 精致教学 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛试题 小高组一试 2017 年 7 月 17 日 中国 惠州 一填空题 （共 3 题，每题 10 分） 1. 计算: 422 2017 2016 2017 2 2017 3 _ 2. 不超过 100 的所有质数的乘积，减去不超过 100 的所有个位 数字为 3 和 7 的质数的乘 积，所得差的个位数字为_ 3. 运动会上， 有 6 名选手 参加 100 米 比赛， 观众甲猜测：4 道或 5 道的选 手得第一名； 观 众乙猜测：3 道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1 ，2 ，6 道选手中的一位获得第 一名；观众 丁猜测：4
2、，5 ，6 道的选 手都不可能 得第一名， 比赛后发现 没有并列名 次， 且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对 比赛结果，此人是_ 二解答题 （共 3 题，每题 10 分，写出解答过程） 4. 能够将 1 到 2017 这 2017 个自然数分 为若干组，使得每组中的最大数都等于该组其余 数的和吗？如果能，请举一例；如果不能，请说明理由 5. 把 2017 2016 表示成两 个形式均为 1 n n 的分数相乘(其中n 是不为 零的自然数)，问有多少不 同的方法？（ bd ac 与 db ca 视为相同方法） 6. 甲、乙锻炼 身体，从山 脚爬到山顶 ，再从山顶 跑回山脚， 来回往返不 断运动己
3、 知甲 、 乙下山速度都是上山速度的 1.5 倍， 甲的速度与乙的速度之比是6:5 两人同时从山脚 开始爬山，经过一段时间后，甲第 10 次到达山顶问：在此之前，甲在山顶上有多少 次看到乙正爬向山顶，且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路程的三分之二？ 2 匠人之心 精致教学 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛试题 小高组一试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 8065 7 丁 不能 36 2 参考解析 一填空题 （共 3 题，每题 10 分） 1. 计算: 422 2017 2016 2017 2 2017 3 _ 【考点】简便计算 【难度】 【答案】8065 【解析】
4、422 422 2 2 42 2 2 42 2 42 22 4422 22 2017 2016 2017 2 2017 3 2017 2016 2017 2 2017 1 2 2017 2016 2017 1 2016 2 2017 2017 1 2017 1 2016 2 2017 2017 1 2016 2 2017 2017 2 2017 1 2016 22 2017 2016 1 222017 016 2017 2016 1 24 0 3 31 8065 422 4222 2 2222 22 222 22 2017 2016 2017 2 2017 3 2017 2016 2017 2
5、016 2 2017 2016 3 2017 2017 2016 2016 2 2017+3 2017 4033 2016 4037 4033 2017 2016 2016 4 4033 4032 4033+4032 4033 4032 =8065 3 匠人之心 精致教学 （换元法） 设 2017 a ， 2 42 42 2 443232 212 3 21 23 23246 23 43 42 0 1 73 806 5 aa aa aaaaa aaaaaaaaa a 原 式2. 不超过 100 的所有质数的乘积，减去不超过 100 的所有个位 数字为 3 和 7 的质数的乘 积，所得差的个位数字
6、为_ 【考点】数论 质数 【难度】 【答案】7 【解析】白色棋子有 9 部分，其中有 2 部分棋 子数量相同， 白棋最少112 83 7 枚 红色棋子至少有 8 部分 ，各部分的红色棋子数均不相同， 红棋最少12 83 6 枚 棋子总数的最小值为 37 36 73 枚 不超过 100 的质数有 2 和 5 ，所以不 超过 100 的 所有质数的乘积的个位数字为 0 不超过 100 的所有个位数字为 3 和 7 的质数有： 3 ，7 ，13 ，17 ，23 ，37 ，43，47，53 ，67 ，73，83 ，97. 其中个位为 3 的有 7 个， 个位为 7 的有 6 个 求乘积个位时，可看成
7、6 对的37 和一个 3 相乘的 个位 37 的个位是 1 ， 所以这 13 个 质数的乘积结果个位数为 3 易知所求差的个位数字为 7 3. 运动会上， 有 6 名选手 参加 100 米 比赛， 观众甲猜测：4 道或 5 道的选 手得第一名； 观 众乙猜测：3 道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1 ，2 ，6 道选手中的一位获得第 一名；观众 丁猜测：4 ，5 ，6 道的选 手都不可能 得第一名， 比赛后发现 没有并列名 次， 且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对 比赛结果，此人是_ 【考点】逻辑推理 【难度】 【答案】丁 【解析】 猜测内容 推理 甲 4 道或 5 道第 一名 若甲猜对，乙
8、也对 乙 3 道非第一名 丙 1 ，2 ，6 道第 一名 若丙猜对，乙也对 丁 4 ，5 ，6 道非 第一名 因为只有 1 人猜对比赛结果，所以分析知甲、丙均猜错 从甲丙猜测的内容，进一步推理知 3 道的选手得 了第一名 4 匠人之心 精致教学 所以乙猜错了，丁猜对了比赛结果 综上所述，只有 1 人猜 对比赛结果，此人是丁 二解答题 （共 3 题，每题 10 分，写出解答过程） 4. 能够将 1 到 2017 这 2017 个自然数分 为若干组，使得每组中的最大数都等于该组其余 数的和吗？如果能，请举一例；如果不能，请说明理由 【考点】构造与论证 【难度】 【答案】不能 【解析】假设可能每组数
9、的总和是每组中最大数的 2 倍 ，所以每组数的总和为偶数 因此，所有由 1 到 2017 这 2017 个自 然数分为若干组的总和是偶数 但是 1 2017 2017 1 2 2017 1009 2017 2 为奇数，矛盾 所以，不能将 1 到 2017 这 2017 个自 然数分为若干组，使得每组中的最大数都等 于该组其余数的和 5. 把 2017 2016 表示成两 个形式均为 1 n n 的分数相乘(其中n 是不为 零的自然数)，问有多少不 同的方法？（ bd ac 与 db ca 视为相同方法） 【考点】数论综合 【难度】 【答案】36 【解析】 （法 1 ）令 2017 1 1 20
10、16 ab ab （a ，b 是不为零的自然数） ， 则 2017 2016 1 1 ab a b 2017 是质数 ，且 2016 与 2017 互质， 所以 2017 1 a 或 2017 1 b 不妨设 2017 1 a ，即 2017 1 ak （k 是不为零的自然数） 代入 2017 2016 1 1 ab a b 得： 2017 2017 1 2016 201712017 20162 0 1 6 2016 12 0 16 kb kb kb b kb k kb b k kb k 5 匠人之心 精致教学 当 1 k 时，无解当 1 k 时， 2016 1k b k 11 kk , ，b
11、 是整数，所以 1 k 是 2016 的因数 52 2016 2 3 7 因数个数为 5121113 6 个 所以k 有 36 种 可能性，对应a 与b 有 36 种 不同的数值 综上所述，有 36 种不同 的方法 （法 2 ）令 2017 1 1 2016 ab ab （a ，b 是不为零的自然数） ， 则 2017 2016 1 1 ab a b 22 2017 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2017 2016 2016 2016 2017 ab ab a b
12、ab a b ab b ab b ab 所以 2016 a 和 2016 b 是 2016 2017 的因数 52 2016 2017 2 3 7 2017 因数个数为 51211111 7 2 个 所以 2016 a 和 2016 b 对应有 72 2 36 种不同的结果 即a 与b 有 36 种 不同的数值 综上所述，有 36 种不同 的方法 6. 甲、乙锻炼 身体，从山 脚爬到山顶 ，再从山顶 跑回山脚， 来回往返不 断运动己 知甲 、 乙下山速度都是上山速度的 1.5 倍， 甲的速度与乙的速度之比是6:5 两人同时从山脚 开始爬山，经过一段时间后，甲第 10 次到达山顶问：在此之前，甲
13、在山顶上有多少 次看到乙正爬向山顶，且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路程的三分之二？ 【考点】行程问题 【难度】 【答案】2 【解析】 （法 1 ） ： : : : 6 : 5 : 6 1.5 : 5 1.5 =12 :10 :18 :15 vvvv 甲下 乙 下 甲上 乙 上利用速度比例关系，求出每次甲、乙到达山顶或山脚处的运动状态如下表： 6 匠人之心 精致教学 甲 甲第 1 次到 达山顶 下山， 离山脚 7 10 处 甲第 1 次返 回山脚 上山，离山脚 1 3 处 乙 上山，离山脚 5 6 处 乙第 1 次到 达山顶 下山， 离山脚 5 12 处 乙第 1 次返 回山脚 甲 甲第
14、2 次到 达山顶 下山，离山脚 1 5 处 甲第 2 次返 回山脚 上山，离山脚 2 3 处 乙 上山，离山脚 5 9 处 乙第 2 次到 达山顶 下山，离山脚 5 6 处 乙第 2 次返 回山脚 甲 甲第 3 次到 达山顶 甲第 3 次返 回山脚 上山，离山脚 1 5 处 甲第 4 次到 达山顶 乙 上山， 离山脚 5 18 处 上山，离山脚 5 6 处 乙第 3 次到 达山顶 乙第 3 次返 回山脚 甲 甲第 4 次返 回山脚 上山， 离山脚 8 15 处 甲第 5 次到 达山顶 上山，离山脚 1 2 处 乙 上山，离山脚 5 9 处 乙第 4 次到 达山顶 下山， 离山脚 5 12 处
15、乙第 4 次返 回山脚 甲 甲第 5 次返 回山脚 上山， 离山脚 13 15 处 甲第 6 次到 达山顶 甲第 6 次返 回山脚 乙 上山， 离山脚 5 18 处 乙第 5 次到 达山顶 下山，离山脚 5 6 处 乙第 5 次返 回山脚 甲第 6 次返 回山脚时， 乙恰好第 5 次 返回山脚， 之后甲乙的运动过程重复进行 那 么甲第 10 次 到达山顶前，有 2 次（第 3 次和第 9 次）当甲到达山顶时，乙正爬向 山顶，且距离山脚 5 18 处（小于 1 3 ） （法 2 ） ： : : : 6 : 5: 6 1.5 : 5 1.5 =12 :10 :18:15 vvvv 甲 下 乙 下
16、甲上 乙上易求： : : : 15 :18:10 :12 tttt 甲 下 乙 下 甲上 乙上不妨设tttt 甲 下 乙下 甲上 乙上 ， 分别为 15 ，18 ，10 ，12 则甲第k 次到达山顶的时间为 25 10 k （11 0 k ） 乙上山加下山用时 18+12=30 25 10 30 k 余数为 5 的 倍数， 设为 5r ，为满足乙在上山过程且距山脚不超过 1 3所以 1 51 8 6 3 r ，55 r 30 25 10 5 k 得 3 k 或 9 k 综上所述， 有 2 次看到 乙正爬向山顶， 且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路 程的 2 3 7 匠人之心 精致教学 （柳
17、卡图解法） : : : 6 : 5: 6 1.5 : 5 1.5 =12 :10 :18:15 vvvv 甲下 乙下 甲上 乙 上易求： : : : 15 :18:10 :12 tttt 甲下 乙下 甲上 乙上用柳卡图解决 由图可知甲第 1 ，2 次在 山顶上时，乙正爬向山顶中，但距山顶距离小于 2 3 甲第 3 次在山顶上时， 乙 正爬向山顶中且距离大于 2 3 ， （利用几 何相似 78 65 2 78 60 3 ） 甲第 4 次在 山顶上时，乙刚好到达山脚 2 3 甲第 5 ，6 次 在山顶上时，乙在从山顶跑向山脚中 甲第 6 次回 到山脚时，和一开始出发的状态相同，将重复上述的过程 所以甲第 10 次到达山顶前，还有一次（第 9 次 到达山顶时）也满足条件 综上所述， 有 2 次看到 乙正爬向山顶， 且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路 程的 2 3 山顶 山脚 140 150 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
