有关图的染色问题的研究.pdf

1、 校级科研计划结题报告 项目名称： 有关图的染色问题的研究 指导老师： 王萃琦 参与成员 ： 田 静 信息与计算科学 06-1 陈广军 信息与计算科学 07 李晨曦 数学与应用数学 07-4 谷红平 数学与应用数学 07-2 王 琪 应用物理 07-1 （一） 序言 ： 1.问题的提出 ： 图的染色问题起源于著名的“四色猜想”问题。早在一百多年前的 1852 年，英国格色里提出了用四种颜色就可对任意一张地图进行染色的猜想。即对世界地图或任何一个国家的行政区域地图，最多用四种颜色就可对其染色，使得凡是相邻的国家或相邻的区域都着以不同的颜色。 2研究与发展： “四色猜想”提出后，一些数学家着手研究

2、这个猜想，力图给出证明。时隔二十七年后， 1897年肯普给出了 “ 四色猜想 ” 的第一个证明，又过了十一年， 1890 年希伍德发现肯普的证明是错误的。但他指出，肯普德证明方法虽然不能证明地图染色用四种颜色足够，却可以 证明用五种颜色就够了。此后 , “ 四色猜想 ” 一直成为数学家们感兴趣而未能解决的世界数学难题。 （二） 研究目标 ： 对关于图的染色问题进行全面系统的研究。 （三） 研究方法 ： 主要以阅读相关书籍和论文为主。 （四） 研究的主要内容 ： 图的染色问题 （五） 研究成果 ： 1.图的染色问题介绍及其背景 图论发展到现在已有许多分支，着色理论是其中之一，且有着极其重要的地位

3、。它起源于 150 年前的“四色猜想”，即在一个平面或球面上的任何地图都能够只用四种颜色着色，使得每个国家用一种颜色，且没有两个相邻的国家有相同的颜色。 1976年 K.Apple和 w.Haken在 J.Koch的协助下用计算机检验了“四色猜想”是正确的，从而“四色猜想” 被“四色定理” 所代替，在 1997 年，N.Robertson等又给出了一个简化的计算机证明。尽管迄今为止仍没有得到非计算机的理论性证明，但人们在冲击“四色猜想”的过程中所创造的新的 思想、方法和技巧为图论宝库增添了一个又一个精彩结果。 图着色理论的意义远不止如此。众所周知，生活及科学领域中许多问题的数学模型都可以图的形

4、式来建立，然后对图中某些对象按照一定规则进行分类，而所谓着色只是对其中分类方法的一种简单而直观的表达方式。所以着色问题是解决诸如时间表问题、排序问题、排课表问题、交通状态、运输安排、电路设计和贮藏问题等涉及任务分配的实际问题的基本方法。 再者，图着色理论在离散数学领域有着非常重要的地位，其中许多貌似无关的问题都可以转化为图着色问题。例如，极图理论中的 Erdos 和 Simonovits定理 :给定图 G ，不包含子图 G 的具有 n 个顶点的图的边的最大数 ( , )f nG 的性态取决于 G 的色数2( , ) ( ) 2( ) : l i m 2 ( ) 2f n G GG nG 。因此

5、， TR.Jense。和 B.Toft断言 :图着色理论在离散数学中处于中心地位。 近年来，关于图着色文体的研究得到了许 多有趣而实用的结果，同时又拓展出一些新的着色分支，比如，除了经典的点着色、边着色之外， (点边 )全着色、列表着色 (可选择性 )、强边着色 (有两种不同的着色使用了这一名词 )、邻强边着色、关联着色、圈着色、无圈着色、距离面着色、区间着色、子着色、 (平面图 )边面着色、点边面完备着色及动态着色等，已成为现在图着色领域新的热点。许多新的着色是一些过去未解决的问题转化而来，使原问题变得更加简单易懂，便于研究。研究范围的拓宽给着色领域增加了许多尚未解决的问题。由此可见，图着色

6、理论有着旺盛的生命力和广阔的发展前景。 2.关于边染色问题 图的染色理论是图论中的一个重要分支。图的染色种类有很多，诸如边染色、点染色、面染色和全染色等。其中研究最多，结果也较完善的就是图的边染色。而其中关于正常边染色的图的分类问题一直是研究的热点。图的正常的边染色就是把图的边集分解为一些互不相交的边的独立集的并的方法。 2.1基本理论 定义 1：对图 G 的边进行着色，且相邻的边没有相同的颜色，称为图 G 的一个边着色。 一个 n 边着色 是用 n 种颜色的一个着色。 定义 2：使图 G 的 n 边着色最小的 n ，称为图 n 的边色数，记作 G 。 考虑图 G 的边色数与度的关系，由于与任

7、何一个顶点关联的边都必须着以不同的颜色，所以对任意图 G 的边色数有 G ， 其中 指图 G 的最大度。 1964年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing定理 ：任意 (简单，无向 ) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number) G 有： 1G 。 2.2 分类定理 定义 3： 由 Vizing定理可知 G 或 1G 。若 G ，称 图G 为 第一类 ，记作 1GC ；否则 1G ，称 图 G 为 第二类，记作 2GC 。 在将近半个世纪的漫长岁月里，人们一直在为解决简单图的分类

8、问题做着不懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分类问题。 对于简单平面图， 1965年， Vizing自己证明了， 如果 8 则是第一类的。而对于 2,3,4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多面体的其中一边截成两条，即可得到 3,4,5 的平面图，都有 2GC ；而任何长度是奇数的圈 (比如三角形 )就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况，Vizing也提出了猜想。 平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7 , ( ) ( )ve G G ，则是第一类的。 对于 7 的情况，在 2001年 Sanders (2) 若 k ,

9、 u 至少相邻于 G 的两个度数为 的顶点 . 引理 22 若 G 为 临界图 ( 3) ,则 122 1jjnn j . 引理 32 设 G为阶为 v ,边数为 e 的 2临界图 . (1) 若 3 ,则 (5 1) / 4ev ; (2) 若 = 4 ,则 5 /3ev ; (3) 若 5 ,则 21ev ; (4) 若 6 ,则 (9 1) / 4ev ; (5) 若 7 ,则 5 /2ev . 定理 4 对实数 (0 3) ,满足 ( ) 3 1G 和 4 3 2( ) ( ) 2 ) ( ) , 13 ( 2 ) 2 vkke G v G G k k 的图 G 是第一类的 . 定 理

10、 5 设 G 为一连通的平面图 ,如果 G 的任何两个长为 3 的面都不相邻 (即不共边 ) ,且只含有长为 3 , ,1kk , 的面 ( k 4) ,则有 3( ) ( ( ) 2 )23ke G v Gk 定理 6 设 G 为一连通的平面图 ,如果 G 的任何两个长度为 3的面都不关联于同一个顶点 ,且只有长为 3 , ,1kk , 的面 (k 4) .则有 4 3 2( ) ( )3 ( 2 ) 2kke G v G定理 7 设 G 为 6 的平面图 .若 G 不含长为 4的圈或任何两个长为 3的面不关联于同一个顶点 ,则 G 是第一类的 . 定理 8 设 G 为 7的平面图 .若 G

11、 的任何两个长为 3的面都不相邻 ,则 G 是第一类的 . 定理 9 设 G 是最大度为 的平面图 .如果下列条件之一成立 ,则 G 是第一类的 : (1) 5 ,且 G 没有长为 4 和 5 的圈 ; (2) 4 ,且 G 没有长在 4 和 14 之间的圈 ; (3) 5 , G 没有长为 4 的圈 ,且任何两个长为 3 的面不关联于同一个顶点 ; (4) 4 , G 没有长在 4和 6之间的圈 ,且任何两个长为 3的面不关联于同一个顶点 . 3.关于列表染色问题 列表染色起源于图的点染色，在实际生活中应用很广，如运输问题、时间表问题等。唯一列表染色是对列表染色的进一步的研究，由于唯一性的限

12、制，研究起来难度较大。 列表着色的概念既是图着色概念的一个推广 ,又与图着色的概念有许多不同之处。列表着色主要研究的问题是确定图的列表色数 然而 ,这项工作似乎是比较困难的 ,即使是对二部图 ,也没有成熟的结果。 列表染色问题提出是在大约 30 年前，最早是分别由 Vizing和 Edros、 Rubin、Taylor 独立提出来的。 Vizing 是因为要研究全染色而引入列表染色的，而 Edros、Rubin、 Taylor 是因为 Dnitiz 猜想而介入这个问题的。简单来讲，列表染色问题就是说给定一个图的每个顶点一个颜色列表，要求给顶点染色时要染的颜色必须从列表中选取，那么这个图还能不能

13、正常染色 ?事实上，列表染色问题是一般染色问题的推广。如果只知道列表的长度，那么能不能肯定图一定能或一定不能被列表染色了 ?这是自然而然引出了的问题 。从上个世纪九十年代开始，列表染色领域的研究繁荣起来，并越来越吸引更 多的研究者。 3.1 基本理论 列表染色问题就是说给定一个图的每个顶点一个颜色列表，要求给顶点染色时要染的颜色必须从列表中选取，那么这个图还能不能正常染色 ?事实上，列表染色问题是一般染色问题的推广。 令 G 为一个图， f 是从 )(GV 到 N 的函数。图 G 的 f 列表 L 是指对每一个顶点 v 满足 )()( vfVL 。如果存在一个 f 列表 L ，使得 G 具有一

14、个唯一列表染色，则称图 G 是唯一 f 列表可染的，或 UFLC 的。 3.2相关概念 定义 1 给图 G 的每个顶点 x 一个列表 L(x)，称 G 是 L 可染的，是指对每个顶点 xV(G)，都可从其对应列表 L(x)中找到一种染色 cxL(x)，使得 c 是 G的正常染色。 定义 2 一个图 G 的 k-列表是指 G 每个顶点的列表长度都为 k。如果对任意的 k-列表，图 G 都有一个列表染色，则称 G 为 k-可选的 (k-choosable)。使得 G为 k-可选的的最小无称为列表色数 (list chromatic number)，或选择数 (choosability)，记为 i

15、(G)或 ch(G)。 定义 3假设对图 G的任意一个顶点 v，存在 v的一个长为 k的颜色列表 L(v)，使得图 G 存在唯一 L-染色，那么我们称图 G 是唯一 k-列表可染色图，具有简称为 UkLC(uniquely-list colorable)图，或者说 G 是 UkLC 的。 定义 4 如果一个图不是 UkLC 的，我们就说 G 具有 Mk性质。使得 G 具有 Mk性质的最小 k 称为 G 的 m数，记为 MG。 定义 5 令 G 为一 个图， f为一个从 V(G)到 N 的函数。图 G 的 f-列表 L是指对每一个顶点 v满足 LV = fv。如果存在一个 f-列表 L，使得 G

16、 具有一个唯一列表染色，则称图 G 是唯一 f-列表可染的，或 UfLC 的。 定义 6 给图 G 的每条边 e 一个列表 Le，称 G 是 L边可染的，是指对每边e E(G)，都可从其对应列表 Le中找到一种染色 ce Le，使得 c 是 G 的正常边染色。 定义 7 如果对任意的 k-列表，图 G 都有一个边列表染色，则称 G 为 k-边可选的 (k-edge-choosable)。使得 G 为 k-边可选的的最小 k 称为边列表色数 (list edge chromatic number，或边选择数 (edge choosability)，记为 l G 。 定义 8 给图 G 的每条边、

17、每个顶点 x一个列表 L(x)，称 G 是 L全可染的，是指对每条边、每个顶点 x EG 或 xV(G)，都可从其对应列表 L(x)中找到一种染色 ce Le，使得 c 是 G 的正常全染色。 定义 9 如果对任意的 k-列表，图 G 都有一个全列表染色，则称 G 为 k-全可选的 (k-total-choosable)。使得 G 为 k-全可选的的最小 k 称为全列表色数 (list total chromatic number)，或全选择数 (total choosability)，记为 l G 。 3.3一些结论 定理 1 任意不含三角的唯一 k+1 可染图是唯一 k-列表可染图 . 定

18、理 2 连通图 G 具有 M(2)性质当且仅当它的每个块或者是圈，或者是完全图，或者是完全二部图。 定理 3 图 333K， ， ， 244K， ， ， 235K， ， ， 229K， ， ， 1222K， ， ， ， 1123K， ， ， ， ， 11123K， ， ， ， ， 1*46K， ， 1*55K，和 1*64K， ，是 U3LC 图。 定理 4 图 G 是一个完全多部图，且 G 不是图 2,2.rK ,for r=4,5, ,8， 2,3,4K , 1*4,4K , 1*4,5K 也不是 1*5.4K ，那么图 G 是 U3LC 图当且仅当它有一个导出子图H，其中 H 是定理 3

19、.2.3 提到的九个 U3LC 完全多部图之一。 定理 5 令 dG表示图 G 的平均度，也就是说 dG= 2/e G n G .则 22dGmG 定理 6 如果 G 是唯一 f列表可染的，则 ()v V G f v n G e G 定理 7 对任意的平面图， 4mG 。 定理 8 如果一个平面图 G 最多有 7 个三角面，则 m(G) 3 。 定理 9 对任意图 G，有 1m G G ；若 mG 1G，则 G 是正则图。 定理 10 如果一个图最多有 3k 个顶点，则 mG k+1。 定理 11 对任意的 2k ，都存在一个 UkLC 的完全三部图。 定理 12 若 5433VG ，则 lG

20、= G 。 定理 13 3 * 4 1 / 3ch k r r定理 14 令 G 是一完全 k 部图，其中，有一部为 m 个顶点，有 s 部都是单点集， k-s-1 部为两点集。若 21ms，则 G 是 k 可选的。 定理 15 (Mahdian 和 Mahmoodian) 一个连通图 G 是 U2LC 图当且仅当它至少有一个块不是圈，不是完全图，也不是完全二部图。 4.关于点染色问题 图的染色问题具有重要的实际意义和理论意义。图的染色基本问题就是确定各种染色法的色数。随着图论领域研究的不断深入，关于点染色的成果也不断深入。 Burris 等研究了点可区别的正常染色之后，张忠辅等又对邻边强染色

21、（邻点可区别染色）进行了讨论。随后提出了点可区别的正常染色和邻点可区别的正常全染色，并对圈、完全图、完全二部图、扇、轮、树和奇数阶完全图删去一边所得到的图的邻边可区别染色进行了讨论，确定了这些图的邻点可区别的（正常）全染色。 4.1基本理论 全染色的概念是对点染色和边染色的推广 ,是图论染色的一个传统问题 ,由Vizing(1964)和 Behzacl(1965)各自独立提出的 。 图的全染色是对图的点 ,边进行染色 .使得相邻或相关 联的两元素染色不同 。 图的全色数XT(G)=min |图 G有一个 -全染色 。 图 G 的一个正常 k 着色是指 k 种颜色 1,2. , k 到 G 的各

22、顶点的一个分配， 使任意两个相邻点有不同的颜色， 若 G 有正常 k 着色， 则称 G 是 k 可着色的， 给 G 进行正常着色所需要的最少颜色数称为 G 的色数，记为 G 。若 Gk ， 则称 G 为 k 色图。 图 G 的一个顶点色列表 L 是一个颜色集合簇，它指定 G 的每个顶点 v 一个颜色集合 ()Lv。若 G 有一个正常的顶点染色 ，使得对每一个顶点vV ，有 v L v ，则称 G 为 L 顶点可染的或者称 是 G 的一个 L 染色。若对每一个满足 ,L v k v V的 ,LG都是 L 点可染的，则称 G 是 k 点可选择的，简称 G 是 k 可选择的。 G 的顶点列表色数是使

23、得 G 是 k 可选择的最小的非负整数 k 。 假若染色 是图 G 的正常顶点染色，并且对于 G 中的任何一个圈子图 C 都应用至少 3种颜色，那么我们称染色 是 G 的一个无圈染色。图 G 的无圈色数 , G 就是使得 G 是无圈 k 可染的最小的非负整数 k 。若 G 有一个正常的无圈染色 ，使得对每一个顶点 vV ，都有 v L v ，则称 G 是无圈 L可染的或者称 是 G 的一个无圈 L 染色。若对满足 ,L v k v V的色列表,LG都是无圈 L 可染的，那么称 G 是无圈 k 可选择的。 G 的无圈列表色数 , lG 是使得 G 是无圈 k 可选择的最小的非负整数 k 。 邻强

24、边染色 （ 邻点可区别染色 ） ：对图 G 的 k -边染色 f ， uv ()EG ， 有( ) ( )f u f v , ()fu= ()f uw | ()uw EG ,那么我们称 f 为图 ( , )GVE 的邻强边染色，记作 k ASEC ，并称 ()asxG=min （ k |存在 G 的一个 k ASEC ）为图的邻强边色。 4.2研究现状 对于奇数阶完全图删去两条不相邻的边所得到的图，即图 2 1 2(2 )nK E K 的邻点可区别全染色。分别得到了 2;3 8nn 以及 9n 的结论，同时也证明了 21nK图的 4阶路子图以及 4阶圈子图的染色问题。对一些有限无向简单图，还研

25、究了花图 _F rmn 的邻点可区别全染色问题。而对于对边的正常染色下，任意两个不同点所关联的边的集合不同的染色问题，也得到了任意相邻两点所关联的边的染色集合不同的染色问题。对 5G的 2 连通外平面图的邻点可区别全染色进行了讨论，对于 ( ) 6G的 2 连通外平面图也得到了相应的结论。 4.3主要结论 1） 邻点可区别全色数 定理 1对任意阶为 2nn 的简单连通图 G ,邻点可区别全色数 atXG存在 ,并且 1atX G G 。 定理 2 若图 ,GVE 有两个相邻的最大度点 ,则有 2atX G G 。 2） 单圈图邻强边染色 定理 1 设 G 是 p (p 3) 阶的单圈图 , C

26、 为 G 中唯一的圈 , C 的长为r . 1) 若 ()G = 2 ,则 3 , 0(m od 3 )( ) 4 , 1 , 2(m od 3 ) , 55 , 5asnx G n nn 2) 若 ()G = 3 且圈 C 上仅含一个 3 度顶点 , r 1 (mod 3) ,则 ()asxG= 4. 3) 若 (i) ()G = 4 ,或 (ii) ()G = 3 ,但 C 上有两个在 G 中度为 3 的点 ,或 （ iii） ()G = 3 但 C 上有唯一一个在 G 中度为 3 的点 ,且 r 1 (mod 3) ,则 ()asxG= , ( )1, ( )E G VE G V 4）

27、完全 4-部图的邻强边染色 定理 1 设 1m n p q , 则 , , ,()as mn p qxK = m n p 定理 2 设 2n , 则 ,1,1,1()as nxK = 3n . 定理 3 设 2mn , 则 , ,1,1()as mnxK = 2mn . 定理 4 若 2np且 2p , 则 ,()as n n n pxK = 3n . 定理 5 若 1np 且 1p , 则 , , ,()as n n p pxK = 21np. 定理 6 若 2np 且 2p , 则 ,()as n p p pxK = 21np。 定理 7 若 2n , 则 , , , 1()as n n

28、n nxK = 3n . 定理 8 若 3n , 则 , 1, 1, 1()as n n n nxK = 31n . 5） 联图（ mnSS ）的邻强边染色 定理 1 对 1mn， ( ) 1mnx S S m n 。 定理 2 对 1mn,有： 5 , m = n= 1() m + n+ 2 m n= 1,m n 2as m nx S S 6） Kesern图的邻强边染色 定理 1 对于 (5,2)K ， 4asx 。 (5,2)K 是 3-正则的图 定理 2 对于 (6,2)K ， 262 17asxC 。 (6,2)K 是 6-正则的图 定理 3 对于 (7,2)K ， 11asx 。

29、(7,2)K 是 10-正则的图 7） ( ) 4G的外平面图的邻强边染色 定理 1 对 ( ) 4G的 2-连通外平面图 G , 若 ( )E GV , 则 ( ) ( ) 4asx G G 。 定理 2 对 ( ) 4G的 2-连通外平面图 G , 若 ( )E GV , 则 ( ) ( ) 1 5asx G G 。 定理 3 对 ( ) 5G的 Halin图，有： 5 ( ) 6asxG且当 ( )E GV 时， ( ) 6asxG 。 8） Halin 图的邻强边染色 定理 1 对 ( ) 4G的 Halin图，有： 4 ( ) 5asxG且当 ( )E GV 时， ( ) 5asxG

30、 。 对于 3-正则的 Halin图 G ：如果 3GK ，则 ( ) 5asxG ；如果 | ( )| 6VG ，则 ( ) 4asxG 。 定理 2 对 ( ) 6G的 Halin图，有： ( ) ( ) ( ) 1asG x G G 且当 ( )E V 时， ( ) ( ) 1asx G G 。 5.图的染色问题的作用和应用 图论在许多领域 ,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用 ,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中 。 在电网络理论中 ,最早由德国物理学家克希霍夫 (1824 1887)于 1847年把一个电

31、网络抽象成对应的“基本图”来研究 .如图 2所示 .在这基础上 ,逐步形成了“网络图论”。 在有机化学的研究中 ,1857年 ,英国数学家凯莱 (2821 1895)用图论里“树”的概念 ,得到了一组饱和碳氢化台物 CnH2n+2和它们的同分异构物的结构式 ,如图 3所示 ,把图论引进现代化学领域。 在计算机科学中 ,图的应用也十分广泛 .例如 ,一个逻辑钱队如图 4(a） ,可以抽象成一个图 ,如图 4（ b） .由这个图 ,按照一定的法则我们可以得到对应逻辑线路的一个表达式 ,这个表达式我们又可以把它作为一个程序输入到计算机里 ,如图 4(c)所示。图不仅应用在自然科学领域里 ,而且也广泛

32、地应用在社会科学领域里 . 在语言学中 ,可以利用回来分析语句结构 .例如图 5 表示的是这样一种判断：当一个句子的纳构是“名词 +动词 +形容词 +名词”的时候 ,是合乎要求的句子 ,我们把这样的句子叫做合式 ,否则就是非合式 .这样 ,语句“姑娘穿着花裙子”就是合式 ,而“姑娘穿着裙子”或“姑娘穿着裙子跳舞”就是非合式 . 在社会学或心理学中 ,也有人利用图来分析一群人之间的相互关系 ,探讨怎样保持一个稳定的社会结构 .图 6表示的是由 3个人组成的一个小组 ,边上的“ +”号表示边所关联的 2个人能很好地共事 ,而“ ”号表示相反的情况 .这样 ,在 4种不同的关系组合中 ,图 6(a)

33、、图 6(b)表示的是一种稳定关系 ,而图 6(c)、图 6(d)表示的是不稳定的关系 . 图的具体应用真是举不胜举 .在 广袤 的科学世界里 ,无论你走进哪个领域 ,几乎都会碰到图 ,都会看到它作为人们的好帮手在贡献着自己的力量 . 虽然图的染色问题已经取得了不少的理论研究及应用研究成果 。但是染色问题的原本问题 “四色猜想 ” ，迄今仍未得到令人满意的结果。致使 “四色定理 ” 的证明成为悬而未解得一大世界数学难题。由于这一数学难题历时 140多年而尚未解决，这就不能不使一些数学家们想到：很可能“四色定理 ” 的证明必然伴随着一个全新的数学方法的诞生，以至形成一个全新的数学分支，若果真如此，研究“四色问题”的意义就远远地超出其染色本身了。这将是数学家们对数学发展的一个重大贡献，其意义在现今是无法估量的。科学发展史就是如此。