1、分式方程增根1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。例 1. （2000 年潜江市）使关于 x 的方程 产生增根的 a 的值是（ ）axa224A. 2 B. 2 C. D. 与 a 无关解：去分母并整理，得：ax401因为原方程的增根为 x=2，把 x=2 代入，得 a2=4所以 2故应选 C。例 2. （1997 年山东省）若解分式方程 产生增根，则 m 的值是（ ）112x
2、mxA. 1 或2 B. 1 或 2C. 1 或 2 D. 1 或2解：去分母并整理，得：x0又原方程的增根是 x=0 或 ，把 x=0 或 x=1 分别代入 式，得：m=2 或 m=1故应选 C。例 3. （2001 年重庆市）若关于 x 的方程 有增根，则 a 的值为 _。a10解：原方程可化为： x21又原方程的增根是 ，把 代入，得：a1故应填“ ”。例 4. （2001 年鄂州市）关于 x 的方程 会产生增根，求 k 的值。kx32解：原方程可化为： 31又原方程的增根为 x=3，把 x=3 代入，得：k=3例 5. 当 k 为何值时，解关于 x 的方程： 只有增根1512xkxxx
3、=1。解：原方程可化为：kxkx15112把 x=1 代入，得 k=3所以当 k=3 时，解已知方程只有增根 x=1。评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出） ；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围例 6. （2002 年荆门市）当 k 的值为_（填出一个值即可）时，方程 只有一个实xk12数根。解：原方程可化为： xk201要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：（1）当方程有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由得 k=
4、1。当 k=1 时，方程的根为 ，符合题意。40k x12（2）方程有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由，得 k1 。又原方程的增根为 x=0 或 x=1，把 x=0 或 x=1 分别代入得 k=0，或 k=3，均符合题意。综上所述：可填“1、0、3”中的任何一个即可。例 7. （2002 年孝感市）当 m 为何值时，关于 x 的方程 无实根？21xmx解：原方程可化为：x201要原方程无实根，有下面两种情况：（1）方程无实数根，由 ，得 ；1420m74（2）方程的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为 x=0 或 x=1，把 x=0 或 x=1 分别代入
5、得 m=2。综上所述：当 或当 m=2 时，所给方程无实数解。m74例 8. （2003 年南昌市）已知关于 x 的方程 有实数根，求 m 的取值范围。1x解：原方程化为： 201要原方程有实数根，只要方程有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。（1）当 m=0 时，有 x=1，显然 x=1 是原方程的增根，所以 m=0 应舍去。（2）当 时，由 ，得 。0140m14又原方程的增根为 x=0 或 x=1，当 x=0 时，方程不成立；当 。x10，综上所述：当 且 时，所给方程有实数根。4评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：（1）将所给方程化为整
6、式方程；（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围例 9. 当 a 取何值时，解关于 x 的方程： 无增根？xxa1221解：原方程可化为：2301x又原方程的增根为 x=2 或 ，把 x=2 或 分别代入得：1或a5又由 知，a 可以取任何实数。240所以，当 且 时，解所给方程无增根。1评注：解答此类问题的基本思路是：（1）将已知方程化为整式方程；（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围例 9. 已知关于 x 的方程 的根大于 0，求 a 的取值范围。a21解：原方程可化为：所以 a12由题意，得：且0所以 且a例 10. 已知关于 x 的方程 的根小于 0，求 k 的取值范围。k2解：原方程可化为： x4所以 xk4由题意，得： 0所以 评注：解答此类题的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。说明：注意例 9 与例 10 的区别，例 9 有 ，而例 10 无 这一不12ak42等式？请读者思考。
