1、- 1 -线框竖直穿越水平匀强磁场问题的四个解题环节闭合线框竖直穿越水平匀强磁场问题是高中物理中常见的习题模型。线框穿越磁场过程中，从运动和力的角度来看，线框受重力、安培力和其他已知的外力的共同作用，可使线框做匀速运动，减速运动或加速运动。从功能关系看，线框的动能变化等于重力做功、安培力做功和其他力做功的代数和；线框产生的电能等于克服安培力所做的功。对于这类习题，命题专家只要对物理情景进行适当的迁移或变更，即可成为题型灵活，综合性强的优秀试题。下面结合实例谈谈线框竖直穿越水平匀强磁场问题的四个解题环节。例如图 1，质量为 m 边长为 L 的正方形线框，从有界的匀强磁场上方由静止自由下落，线框电
2、阻为 R，匀强磁场的宽度为 H（H L） ，磁感强度为 B，线框下落过程中 ab 边与磁场界面平行。已知 ab 边刚进入磁场和刚穿出磁场时都作减速运动，加速度大小均为 ag/4。试求：（1）ab 边刚进入磁场和 ab 边刚穿出磁场时的速度大小；（2）cd 边刚进入磁场时，线框速度的大小；（3）线框进入磁场的过程中产生的电能；（4）ab 边刚进入磁场到 cd 边刚进入磁场时所用的时间。一用示意图展现物理情景线框竖直穿越水平匀强磁场问题，一般要画图 2 中四个位置（为了方便，位置 2 和位置 3 适当错开，不画在同一竖直线上）的示意图来展现物理情景。位置 1、2、3、4分别表示线框 ab 边刚进入
3、磁场、线框 cd 边刚进入磁场、线框 ab 边刚穿出磁场的时刻，线框 cd 边刚穿出磁场的时刻。分别作出这四个位置受力情况和运动情况示意是展现题目情景的重要的环节。本例中受力和运动情况分析如图3 所示。 二用牛顿运动定律求解动力学问题用牛顿运动定律求解线框的动力学问题，分析线框在进入和穿出磁场边界时所受的安培力是关键。线框的一边切割磁感线产生感应电动势 ，线框中的感应电流BLVE，线框所受的安培力 。现在来讨论一下线框穿越磁场过程中的运RBLVIRVLBF2动情况和受力关系（不考虑其他外力，线框只受重力和安培力的作用） 。（1）从位置 1 到位置 2若 ，线框作匀速运动。LmggFB， 即若
4、，线框作减速运动，随着速度 V 的减小，安培力 FB 减小，21BV， 即 a bcda bcda bcda bcd124图 23图 3a bcd 2mgV2 a=g a bcd 4mgV4 a=ga bcd 1mgFB1V1a=g/4a bcd 3mgFB3V3a=g/4a bcdB图 1H- 2 -加速度减小，所以线框作加速度越来越大的减速运动，并有可能最终匀速。若 ，线框作加速运动，随着速度的 V 增大，安培力 FB 增大，21LBmgRVgFB， 即加速度减小。所以线框作加速度越来越小的加速运动，并有可能最终匀速。（2）从位置 2 到位置 3由于线框的磁通量不变，安培力等于零。物体只受
5、重力作用，线框必定作匀加速运动。线框的运动满足 ，其中 H 为磁场宽度， L 为线框的宽度。）（g3（3）从位置 3 到位置 4线框从位置 3 到位置 4，cd 边切割磁感线并受安培力，其运动规律与位置 1 到位置 2完全类似。由上述分析可知，用牛顿运动定律求解线框动力学问题，往往对位置 1（ab 刚进入）或位置 3（ab 刚穿出）列式，或对位置 2 到位置 3 的过程列式，如例 1 中第 1 问。例析（1）：由于线框 ab 边刚进入时作减速运动， ，受力分析如图 3。4/ga并且 ，解得4gmFBRVLBF11215LBmR同理，线框 ab 边刚穿出磁场时的速度 34例析（2）cd 边刚进入
6、磁场时线框的速度为 V2，从位置 2 到 3，线框作匀加速运动，a=g，得）（ LHgV23 ）（ LHgLBm16542三用动能定理求解能量问题线框穿越磁场过程中，从功与能的角度看，线框动能的变化等于线框所受的合外力所做的功，线框产生的电能等于线框克服安培力所做的功。多数情况下，由于线框作非匀变速运动，安培力是变力，涉及变力做功问题，动能定理往往是解答问题的首选。从位置 1 到位置 2：，mgLVWmVWBBG 21211， 得线框产生的电能 。EB221从位置 2 到位置 3： ，线框不产生电能。03BG，从位置 3 到位置 4：，mgLVWmVWBBG 23243232 11， 得线框产
7、生的电能 。EB3从位置 1 到位置 4 全程列式：，）（， 得 LHgBBG 2124212线框穿越整个磁场的过程中消耗的总电能 。）（总 mgVEB24例析（3）方法 1：线框进入磁场过程中，由动能定理得：，代入 V1、V 2 值，gLmVWmVWBBG 212221， 得- 3 -，线框进入磁场过程中消耗的电能mgHWB mgHWEB1方法 2：由于 ，线框从位置 1 到位置 3，由动能定理得：13V 0BG得： ，线框进入磁场过程中消耗的电能四用动量定理求解时间问题根据法拉第电磁感应定律，进入或穿出磁场时的平均感应电动势 ，平均tSE电流 ，通过线框横截面的电量为 。安培力的冲量为安培
8、力tRSBI RSBtIq对时间的积累量，用安培力的平均值与时间的乘积来表示。 （也可用微元法证明）即，把上式 q 值代入得：LtIB LIB2由于重力是恒力，重力的冲量 ，对线框应用动量定理得： ，此tmgIG PIBG式是解答线框穿越磁场时间问题的关键。例析（4）设 ab 边刚进入磁场到 cd 边刚进入磁场时所用的时间为 t1， ，规定2LS竖直向下为正方向，由动量定理得： ，）（， 得 12321VmRtgPIBG 代入 V1、V 2 的值，得： mgLRgLHBRmt 322424565）（再看下面一例：（06 年上海高考 22）如图所示，将边长为 a、质量为 m、电阻为 R 的正方形
9、导线框竖直向上抛出，穿过宽度为 b、磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力 f 且线框不发生转动求：（1）线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度 V2；(2) 线框在上升阶段刚离开磁场时的速度 V1；（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热 Q。分析首先作出线框的示意图（如图 5）展现物理情景， e 位置表示上升阶段刚进入磁场，f 位置上升阶段刚离开磁场，g 位置表示线框上升的最高点，H 位置表示下落阶段刚进入磁场。线框在 e、f
10、、h 位置的受力分析和运动情况分析如图 6 所示。根据题目条件，线框匀速进入磁场，受力平衡，可知速度 V2 的大小；线框从 e 到 g，再从 g 到 h，作匀减速和匀加速运动，可用牛顿运动定律或动能定理求解速度 V1 的大小，从而知道 V0 的大小；再用动能定理求出线框从 e 到 f 安培力所做的功，求出焦耳热 Q。B图 4baf he图 5ig图 6emgfFBeV0fmgfV1fmgfV2FBf- 4 -简答如下：（1）线框在下落阶段匀速进入磁场的瞬间，其所受合力为零。解得：RVaBfmg2RaBfmg22)(（2）线框从离开磁场至上升到最高点过程，由动能定理得： 21)(hf同理，线框从最高点回落至刚进入磁场过程 2)(mVfg解得： 2221 )(aBRfgf（3）线框向上刚进入磁场至刚离开磁场过程中，由动能定理得： )(2201 bfmWVmBBQ因 代入得：10 )()(23422 bafmgaBRfgQ综上所述，线框穿越水平匀强磁场问题，与牛顿运动定律、动能定理及动量定理结合紧密，解答这类问题的关键是作出受力、运动分析的示意图来展现物理情景。基本方法是应用牛顿运动定律解决动力学问题，用动能定理解决电能问题，用动量定理解决线框穿越磁场的时间问题。
