1、 收 稿 日 期 2008 - 01 - 14作 者 简 介 马 凤 敏 (1966 - ) ,女 ,河 北 邢 台 人 ,毕 业 于 河 北 师 范 大 学 数 学 系 ,副 教 授 ,主 要 从 事 代 数 的 教 学 与 研 究 . E - mail: mfm123163. com可 数 个 子 空 间 的 并 的 几 个 结 论马 凤 敏(邢 台 学 院 数 学 系 ,河 北 邢 台 054001)摘 要 :在 高 等 代 数 课 本 中 有 限 个 子 空 间 并 的 结 论 的 基 础 上 ,给 出 可 数 个 子 空 间 的 并 的 几 个 结 论 。关 键 词 :线 性 空 间
2、 ;标 准 正 交 基 ;真 子 空 间中 图 分 类 号 : O151. 2 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 1672 - 4658 (2008) 02 - 0085 - 02引 理 1: V1 , V2是 线 性 空 间 V的 两 个 真 子 空 间 ,则 存在 V ,但 V1 V2 。作 为 它 的 推 广 有引 理 2: V1 , V2 , , Vn是 线 性 空 间 V的 真 子 空 间 ,则 存 在 V ,但 V1 V2 Vn 。引 理 3: V1 , V2 , , Vn 是 n维 线 性 空 间 V的 真 子空 间 ,则 存 在 V的 一 组 基 1 , , n
3、,并 且 i V 1 V2 Vn 。引 理 4: V1 , V2 , , Vn 是 n欧 式 空 间 V的 真 子 空间 ,则 存 在 V的 一 组 基 标 准 正 交 基 1 , , n , 并 且 i V1 V2 Vn 。下 面 把 这 些 结 论 推 广 到 可 数 个 子 空 间 的 并 上 并 给 出 证明 。定 理 1: V1 , V2 , 是 不 可 数 数 域 F上 的 n ( n 1)维 线 性 空 间 V的 可 数 个 真 子 空 间 ,则 存 在 V ,但 V1 V2 Vn 。证 明 :假 设 1 , 2 , , n 是 V的 一 组 基 ,作 集 合M = 1 + k
4、2 + + kn - 1 n | k F3 ,是 F3 中 非 零 数作 成 的 集 合 。作 : F3 Mk 1 + k 2 + + kn - 1 n易 证 是 一 一 映 射 ,所 以 M 中 也 有 不 可 数 个 元 。由 于 V i是 V的 真 子 空 间 ,所 以 M中 元 素 在 V i中 少 于 n个 ,若 否 ,则 得 V i = V 。 这 样 M 中 元 素 属 于 V1 , V2 , 的只 有 可 数 个 ,而 M 中 有 无 限 多 个 元 。 因 而 M 中 至 少 有 一 元 V ,但 i V1 V2 Vn 。定 理 2: V1 , V2 , 是 不 可 数 数
5、域 F上 的 n ( n 1)维 线 性 空 间 V的 可 数 个 真 子 空 间 ,则 存 在 V的 一 组 基 1 , 2 , , n ,并 且 i V1 V2 证 明 :同 上 作M = 1 + k 2 + + kn - 1 n | k F3 ,其 中 1 , 2 , , n是 V的 一 组 基 ,由 上 知 ,含 在 V1 , V2 , 中 = 1 +k 2 + kn - 1 n 只 有 可 数 个 ,因 而 可 得 到 1 = 1 + k1 2 + + kn - 11 n 2 = 1 + k2 2 + + kn - 12 n n = 1 + kn 2 + + kn - 1n n不 在
6、 V1 , V2 , 中 ki kj, i j ,而 1 , 2 , , n 线性 无 关 ,所 以 1 , 2 , , n是 V的 基 ,并 且 i V1 V2 推 论 : V1 , V2 , 是 不 可 数 数 域 F上 的 n ( n 1)维 线 性空 间 V的 可 数 个 真 子 空 间 ,则 存 在 V的 一 个 不 可 数 无 穷 子集 合 U,使 得 U中 每 个 向 量 都 不 属 于 V1 V2 并 且 U中任 意 n个 向 量 都 是 V的 基 。证 明 :取 U = M | V1 V2 即 可 。定 理 3: V1 , V2 , 是 不 可 数 数 域 F上 的 n (
7、n 1)欧 式 空 间 V的 可 数 个 真 子 空 间 ,则 存 在 V的 一 组 标 准 正 交基 1 , 2 , , n ,并 且 i V1 V2 证 明 :由 定 理 1知 ,存 在 1 V ,但 1 V1 V2 Vn ,再 扩 成 为 V的 标 准 正 交 基 1 , 2 , , n 。 令 S1 =k 1 + 2 | k F3 , F3 是 F中 非 零 数 作 成 的 集 合 。 则S1中 含 有 不 可 数 个 元 素 ,且 k1 k2时 , k1 1 + 2与 k2 1 + 2 不 同 时 在 V i中 ,否 则 1 V1 V2 Vn , 矛 盾 。 因 而S1中 最 多 有
8、 可 数 个 k1 1 + 2 , k2 1 + 2 , 其 中 任 一 元 素58第 23卷 第 2期 邢 台 学 院 学 报 Vol. 23. No. 2 2008年 6月 JOURNAL OF XINGTA IUN IVERSITY Jun. 2008 在 某 一 V i之 中 。 同 样 令 S 1 = 1 - k 2 | k F3 , S 1中 最 多 有 可 数 个 1 - k 1 2 , 1 - k 2 2 , 其 中 任 一 元 素 在某 一 V i之 中 ,从 而 存 在 k,使 k 1 + 2 , 1 - k 2 V1 V2 且 k 1 + 2 , 1 - k 2正 交 ,
9、把 这 两 个 向 量 单 位 化 1 , 2 ,再 把 1 , 2 扩 充 为 V的 标 准 正 交 基 1 , 2 , , n , 令 S2 =k 1 + 3 | k F3 , S 2 = 1 - k 3 | k F3 , 同上 ,可 得 l F3 ,使 l 1 + 3 , 1 - l 3 V1 V2 而 l 1+ 3 , 1 - l 3正 交 ,然 后 单 位 化 得 到 1 , 2 , 3 ,这 里 3 = 2这 样 做 下 去 就 可 得 一 标 准 正 交 基 1 , 2 , , n ,并 且 i V1 V2 参 考 文 献 : 1 北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数
10、教 研 室 前 代 数 小 组 . 高 等 代 数(第 三 版 ) M . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 . 2 张 禾 瑞 ,郝 邴 新 . 高 等 代 数 (第 四 版 ) M . 北 京 :高 等 教 育出 版 社 . 3 钱 吉 林 .高 等 代 数 题 解 精 粹 M .北 京 :中 央 民 族 大 学 出 版 社 .(上 接 第 84页 )充 分 性 若 M n = 0。 n 按 范 数 收 敛 到 0当 且 仅 当 除 去 a, b 的 一 个 零 测集 后 ,有 n 一 致 收 敛 到 0。 假 设 命 题 不 成 立 ,则v 0 0, P G N , 存 在 nG G
11、, 使 得 EG = t nG ( t) 0 ,且 有 m EG 0。由 引 理 3知 , v fn Lp ( EG ) ,且 fn = 1,而 P u, v N,fu - fv 1,定 义 : gi = fi t EG0 t a, b /EG则 gi Lp ( a, b) 且 gi = 1, gu - gv 1。 所 以M nG gu - M nG gv = ( a, b nG p gu - gv p )1p 0 ( EG gu - gvp ) 1p 0 ,于 是 M nG gi i =0无 收 敛 子 列 。即 该 点 列 无 小 于 0 的 有 限 - 网 。 又 由 G的 任 意 性
12、可 知 M n 0, 矛 盾 。 命 题 得 证 。定 理 2. 3: M n 是 Lp a, b 上 的 一 致 有 界 乘 法算 子 列 , Tn = 0当 且 仅 当 limn M n = 0。证 明 : 必 要 性 若 limn M n = 0 , 则 除 去 一 个 零 测 集后 , n在 a, b 上 一 致 收 敛 到 0 , 故 对 任 意 的 0 , 记En = t n ( t) , 存 在 G N , 当 n G时 ,有m En = 0。 P x ( t) Lp a, b ,且 x 1有M n ( x ( t) ) = ( a, b n x p dt) 1p =( a, b
13、 / En n p x p dt) 1p ( a, b / Enx p dt)1p 从 而 Mn = 0。充 分 性 假 设 命 题 不 成 立 则 存 在 0 0 ,En = t n ( t) 0 ,使 得 对 P G N , v nG G ,有m EnG 0。 当 G = 1, 2, 3 时 相 应 得 到 En1 , En2 , En3 简记 为 E1, E2, E3 则 P s N ,有 m Es 0可 构 造 Lp Es 内形 如 推 论 3中 的 点 列 xis i N ,满 足 xis = 1 , xis w 0 ,并把 它 延 拓 到 Lp a, b 上 ( P t a, b
14、/Es , xis ( t) = 0 ) ,显 然n a, b xin dt = 0, 于 是 可 得 xis i N 的 子 列 xijs j N ,使 的 P j有 a, b xijs dt 1j 。记 yj = xijj ( P j N ) ,则 limj a, b yj dt = 0,于 是 yj w0且 yj = 1 ,所 以M n yn = n yn = ( En n p yn p ) 1p 0 yn = 0与 推 论 4矛 盾 。推 论 2. 1 Mn = 0当 且 仅 当 Tn = 0,即 对 于 Lp空 间 上 乘 法 算 子 ,定 义 1. 1和 定 义 1. 2是 等 价
15、 的 。参 考 文 献 : 1 Yang M ingzhu, Zhu Guangtian. App roximation theory for a cer2tain class of operators and their app lications to transport theory J . Progress in Nuclear Energy, 1982 (8) : 269 - 282. 2 L iShaokuang. Oncollectively compact operator sequences, Actamath J . Sinica, 1984, 27 (6) : 766 - 768. 3 ChenXiaoman, L iW enjun. Collectively compact Toep lits andHankel operator J . 1994, 15A (5) : 528 - 533. 4 钟 昌 勇 ,曹 广 福 . 函 数 空 间 上 的 总 体 紧 Toep lits算 子 序 列 J . 数 学 年 刊 , 1998, 19A (3) : 393 - 398.68马 凤 敏 :可 数 个 子 空 间 的 并 的 几 个 结 论
