1、利用逐次逼近方法求解开普勒方程开普勒方程 X=qsin x+a (00，存在正整数 N，使得当mnN 时，有|xm-xn|卯时， 由于 0nN 时， |xm-xn|根据柯西收敛准则，数列xn的极限存在 以下证明此极限是开普勒方程的解，最后证明解的唯一性 若设 ，则在等式 xn+l=q sin xn+a 中令 n ，由 sin x 的连续性得 即 确实是开普勒方程的解 不难证明，这个 是开普勒方程的唯一解事实上，若假设 是开普勒方程的另一个解，即 =qsin +a则 但 0g1，故上式当且仅当 = 时才成立 这就说明用此题中描述的逐次逼近法求解开普勒方程是合理的 思考题：? 一般地，对于方程 给
2、定一个初值 x。，代人右端可算得一个 x1= (x。)，再将x1 代入右端，又可得到 x2= (x1)，如此继续下去，会得到一个数列xk ，其中 Xk+1= (xk)? k=0，1，2， Xk称为迭代数列， (x)称为迭代函数 试证明：若 (x)满足条件 1。当 xa， b时， ?(x)a，b； 2。存在正数 L1，使对任意xa，b， | /(x)|L1则 x= (x)在a，b上有唯一的根 ，且对任意的初值 x。a ，b，迭代数列 Xk+1= (xk)(k=0，1， 2，)收敛于 我们可以依据上述结论求方程的根例如，求方程 x3 一 x21=0 在 X=15 附近的近似根(准确到1013) 令 f(x)=x3 一 x2 一 1，由 f(1.5)=0125，f(1.4)=一 0.216，再根据闭区间上连续函数的介值定理知，在1.4，1.5内有 f(x)=0 的一个根 将原方程化为 x= ，则迭代函数为 (x)= 对 x1.4，1.5，| /(x) |2x/3(x2+1)2/3|1取初值 x。=1.5 ，则迭代数列 ，(k=0，1，2，)必收敛所得数列如下 Xo=1.5，x1=1.481248，x2=1.4727057X3=1.4688173，x4=1.467048，x5=1.466243x6=1.4658768，x7=1.4657102故可取所求近似根为 1.466
