1、二重极限和二次极限设 ，当 时 的极限是 同时趋向于 时所得到的此外，我们还要讨论 先后相继地趋于 时的极限；前者称为二重极限，后者称为二次极限若对任一固定的 ，当 时， 的极限存在而 在 时的极限也存在并等于 A，亦即，那末称 A 为 先对 、后对 的二次极限，记为同样可定义先对 、后对 的二次极限我们必须注意有以下几种情形： (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在例如由于和在 和 的函数极限不存在，故在(o，o)点的两个二次极限都不存在，但因为，故 (2)两个二次极限存在而不相等例如由于 时恒有 ，故同理(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。例如当 时，二重极限不
2、存在，但两个二次极限都为零由此可知二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之问没有什么关系但可以证明：若某个二次极限和二重极限都存在，则二者一定相等，因之若两个二次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在又，若两个二次极限存在并且相等，即若我们说二次极限可以交换求极限的次序还应当注意，当 时， 的二重极限如果是 A，则意味着 P 以任何方式(而不仅仅是任何方向)趋于 时， 均趋于 A，假若 P 仅从任何方向(而不是任何方式)趋于 时，都趋于数 A, 的二重极限仍可能不存在例如函数便是如此点 以任何方向趋于点 时，读者可以验证， 均趋于零，但当点户沿曲线 趋于 时显然 趋于 1，故当 时， 的二重极限不存在这正如有人所说， “从一元函数转换到多元函豢时，是会出现某些在原则上是新的东西的”其所以如此，在于高维空间几何性质的复杂性
