1、1.如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， 垂ABCDP/,90ADBCPA直于底面 ， 分别为NM,2的中点。 BPC,(1)求证： ；（2）求 与平面 所成的角；（3）MBA求截面 的面积。ADN解：（1）证明：因为 是 的中点， ， 所以 。PPBN由 底面 ，得 ， PCD又 ，即 ，90BAA平面 ，所以 ，DPB平面 ， 。MN（2）连结 ， 因为 平面 ，即 平面 ，PDMN所以 是 与平面 所成的角， BA在 中， ，在 中，RtA22BRtPAB，故 ，在21中, ，又 ，tBDN2sinDNN0故 与平面 所成的角是 。 AM6（3）由 分别为 的中点，得 ，且 ，,PB
2、C, /MBC12B又 ，故 ，由（1）得 平面 ，又 平面 ，故/DB/NAPANP，A四边形 是直角梯形，在 中， ，MRtB2B，12P截面 的面积 。ADN1152()()24SNAD（1）以 点为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图所示（图略）xyz由 ，得 ，2BCP(0,) 1(,0)(,)(,)(0,2)PBMDAB CDA1B1 C1D1PEPD1C1B1A1DCBA因为 ，所以 。3(2,0)1,PBDM0DMPB（2）因为 所以 ，又 ，,(,2)A APB故 平面 ，即 是平面 的法向量。NPBN设 与平面 所成的角为 ，又 。BD(2,0)D则 ，|41sin|co,B
3、P又 ，故 ，即 与平面 所成的角是 。 0,26AMN6因此 与平面 所成的角为 ，BDAMN2.如图，已知 是底面为正方形的长方体，1CBD， ，点 是 上的动点1604P1A（1）试判断不论点 在 上的任何位置，是否都有平面1垂直于平面 并证明你的结论；1BPA1D（2）当 为 的中点时，求异面直线 与 所成角的余弦值；1 1ABP（3）求 与平面 所成角的正切值的最大值1A解：（1）不论点 在 上的任何位置，都有平面 垂直于平面 .PD11AD证明如下：由题意知， ， 又 11B1A11平面 又 平面 平面 平面 1BA111BP11（2）解法一：过点 P 作 ，垂足为 ，连结 （如图
4、） ，则 ，1EDE1 1E是异面直线 与 所成的角11A在 中 1Rt 160130AzyxPD1C1B1A1DCBA , ， 1112ABD11AED 又 2115E132P在 中， 1RtBP 13116cos42PEB异面异面直线 与 所成角的余弦值为 1A64解法二：以 为原点， 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示，则 ，11B 1(0)， ， ， ， ，(023)， ， (0)， ， (3)P， ， 1(023)A， ， 1(23P， ， 11cos|AB， 642异面异面直线 与 所成角的余弦值为 1P（3）由（1）知， 平面 ， 是 与平面 所成的角，1BA1D1BP
5、A11AD且 112tanP当 最小时， 最大，这时 ，由1A1taBA11PAD13A得 ，即 与平面 所成角的正切值的最大值 123tanP11 26.已知 平面 ， ， 与 交于 点， ，ABCD2PAACBED，BC（1）取 中点 ，求证: 平面 。F/F（2）求二面角 的余弦值。E解法 1:(1)联结 ， ， ，AC=ACBD ， 为 中点， 为 中点，P ， 平面/PB/AC（2）联结 ， ，2在等边三角形 中,中线 ，D又 底面 ， ， ， PABCDPABPAED面平面 平面 。过 作 于 ，则 平面 ，EHHBD取 中点 ，联结 、 ，则等腰三角形 中， ，GG ， 平面 ，
6、 ，H 是二面角 的平面角E等腰直角三角形 中， ，等边三角形 中， ，PAB2AB3ERt 中， ， ，E377GH . 二面角 的余弦值为 。21COSAGHAPBE7解法 2：以 分别为 轴， 为原点，建立如图所示空间直角坐标P、 yz、 A系， ，2ABDBCD， ABC 是等边三角形，且 是 中点，E则 、 、 、 、 、(0)， ， (130)， ， (130)， ， ()， ， (02)P， ，2F， ，（1） ， ， 平面13(32)()2PBFE， ， 、 ， ， 12PBFE/PBAC（2）设平面 的法向量分别为 ，.、 1212(0)(1)nxynxy， ， 、 ， ，则
7、 的夹角的补角就是二面角 的平面角；1n、 APBE ， ， ，(30)AB， ， (132)PB， ， (3)， ，由 及 得 ， ，1n2nE10)n， ， 21)n， -，12127cos|，二面角 的余弦值为 。APBE7PEFDCBAzyx7.如图，已知 AB平面 ACD，DE/AB ，ACD 是正三角形，AD=DE=2AB，且 F 是 CD 的中点。（I）求证： AF/平面 BCE；（II ）求证：平面 BCE平面 CDE；（III）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。【解】 （I）解：取 CE 中点 P，连结 FP、BP，F 为 CD 的中点，FP/DE，且 FP
8、= 又 AB/DE，且 AB=.21DE.21DEAB/FP，且 AB=FP， ABPF 为平行四边形，AF/BP。又AF 平面 BCE，BP 平面 BCE， AF/平面 BCE。 （II）ACD 为正三角形，AFCD。AB平面 ACD，DE/AB ，DE 平面 ACD，又 AF 平面 ACD，DE AF 。又 AFCD，CD DE=D，AF平面 CDE。 又 BP/AF， BP平面 CDE。又BP 平面 BCE，平面 BCE平面 CDE。（III）由（II） ，以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y ，z 轴（如图） ，建立空间直角坐标系 Fxyz.设 AC=2，则
9、C（0，1，0 ） ，).2,10(),3(EB ).1,0(,1.02,3, , nzzyxCnBzyx 则令即则 的 法 向 量为 平 面设显然， 为平面 ACD 的法向量。)1,0(m设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 .2|cos, n则，即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45。459.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， ， 90DABABCD， AD=CD=2AB=2，E，F 分别是 PC，CD 的中点（）证明：CD平面 BEF；（）设 ，求 k 的值., 60且 二 面 角 为AkBC解：（）证明： /90DFABFD矩 形PA平面 AB
10、CD，AD CD.A B CDMS CD平面 BEF CDEFPCDFPE中 点是 中 点是由 三 垂 线 定 理 得（）连结 AC 且交 BF 于 H，可知 H 是 AC 中点，连结 EH,由 E 是 PC 中点, 得 EHPA, PA平面 ABCD. 得 EH平面 ABCD，且 EH . 12kPA作 HMBD 于 M，连结 EM，由三垂线定理可得 EMBD.故EMH 为二面角 EBDF 的平面角，故 EMH=600. RtHBMRtDBF,故 . 得 , 得 .BDHF5151HM在 RtEHM 中， tan60,E得 5213,.25k解法 2：（）证明，以 A 为原点，建立如图空间直
11、角坐标系 .xyz则 ， ，(0,1)B(2,0)C(2,0)D设 PA = k,则 ,P, 得()2E()F(,)(1,0)2kBE(,0)F有 0 .,CDBCDF则 平 面() (0),(,), (0,),PAkPkBAPk 平 面 的 一 个 法 向 量.0,12,1BDBE设平面 BDE 的一个法向量 ，(,),nxyznED且则 得 取0,nB20,k 21,(,).xnk且由 nAP|cos|cos6,n得 22 2151,5416. .45kkk得16.如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点，(1)设侧面ABC与底面BCD所成角为，求tan.(2)设CE与底面
12、BCD所成角为，求cos.(3)在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90，若存在，试确定 F 点位置；若不存在，说明理由。答案：解：(1)连 AF、DF，由ABC 及BDC 是正三角形，F 为 BC 中点，得AFBC，DFBC，AF=DFAFD 为二面角 A-BC-D 的平面角设棱长为 a，在ABC 中，AF= 23a，DF=在AFD 中， 14cos2a 2tg(2)法一：BC面 ADF，BC 面 BCD 面 ADF面 BCD在面 ADF 中，过 E 作 EGDF，则 EG面 BCD，连 CG，则ECG= 又 AF=DF，E 为 AD 中点，故 EFAD在 RtDEF 中，E
13、F= aa2)1()23(DE= a21，由 DEFG得 aG623在 RtCEG 中， 7cos,32sin则法二：设 AO面 BCD 于 O，则 O 为等边三角形，BCD 为中心，设 BC 中点为 M，CD 中点为N，以 O 为坐标原点，OM 所在直线为 x 轴，ON 所在直线为 y 轴，OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 0-xyz，设棱长为 2a，则 0(0,0,0)，A(0,0， 362a),C( 2a,a,0),D(-23a,0,0)，E(- 3a,0, 62a) OA0,0， a， CE(- 3a,-a, 6a)cos= 23624aCE 与面 BCD 所成角 的余弦值为 c
14、os= sin= 37(3)法一：设 F( 3a,y,0)，则 )362,(ayAFAEBCDyOxzFED CBAPMFED CBAP又 0CEAF 03422ay，y=-2aF( 3a,-2a,0),即 F 在 CB 处长线上，且 FB= 21BC法二：设 bCDacB,，B、C、F 三点共线， cAF)1(又 EAF 0)(21)(a 3cb BCABcA213F 在 CB 延长线上，且 FB= 21BC17.如图 ,在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面PBCDaA，ABCD且 ,若 、 分别为线段 、 的中2AEFPCB点(1) 求证：直线 / 平面 ；PD(2) 求证：
15、平面 平面 ； C(3) 求二面角 的正切值 .B(1)证明：连结 ，在 中 /AEF且 平面 ， 平面PAEF平 面/(2)证明：因为面 面 平面 面 DBCPDABCDA所以， 平面 CPA又 ，所以 是等腰直角三角形，且 22P即 D，且 、 面CPCPABCD面A又 面 面 面(3)解：设 的中点为 ,连结 , ,则MEF由()知 面 , EFPD面 P是二面角 的平面角 中，BCRt124Aa12a故所求二面角的正切为 24tan1aEFM2另解：如图,取 的中点 , 连结 , .ADOPF , .P侧面 底面 , , BCABCDA平 面 平 面 ,O平 面而 分别为 的中点, ,
16、又 是正方,FAD/OF形,故 . , , .2PP2aA以 为原点,直线 为 轴建立空间直线坐标系,则有 , ,O,AFOxyz(0)2aA()F, , , .(0)2aD()2a(0)B()2aC 为 的中点, .EPC4E（1 ）易知平面 的法向量为 而 ,A(,)OF(,0)4aEF且 , /平面 .(0,)(,)02aaOF PAD(2) , ,PCD(,)(,02Ca ,从而 ,又 , ,APA ,而 , 平面 平面平 面 平 面 PDA(3)由(2)知平面 的法向量为 .PDC(0)2a设平面 的法向量为 . ,B(,)nxyz,(0)Ba由 可得 ,令 ,则 ,0,n02azx
17、y1x,1yz故 , ,(1) 6cos, 32nPAazyxO FED CBAP即二面角 的余弦值为 ,二面角 的正切值为 .BPDC63BPDC218.如图,在梯形 中, , ,。AaA,平面 平面 ,四边形 是矩形, ,点 在线段60FEFEAM上. 。EF(1)求证: 平面 ;。BC(2)当 为何值时, 平面 ?证明你的结论;MBD(3)求二面角 的平面角的余弦值.（）在梯形 中， ，AC/四边形 是等腰梯形，60,aDA且 123BC2 分9CAABC又 平面 平面 ，交线为 ，FED平面 4 分（）解法一、当 时， 平面 ， 5 分aM3/BDF在梯形 中，设 ，连接 ，则 6 分
18、ABCNB2:1:NAC，而 ， 7 分aE3AEF:ME， 四边形 是平行四边形， 8 分NF/F/又 平面 ， 平面 平面 9 分BDBDFABD解法二：当 时， 平面 ，aEM3/由（）知，以点 为原点， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， CC,5 分则 ， ， ， ，)0,(),(aB)0,3(A)0,213(aD，,F,3E平面 ，AMDF平面 与 、 共面，/BABF也等价于存在实数 、 ，使 ， mnDnMM FECDBANDCA BEFMxDyzC OFBAE设 . ，EFtM)0,3(a)0,3(atEMtA又 ， ，),213(aD),0(aB从而要使得： 成立，),
19、213(),(),( anmt 需 ，解得 当 时， 平面anmt210331taEM3/ABDF（）解法一、取 中点 ， 中点 ，连结 ， ，EFGBHDGDH平面,CAFEC又 ， ，又 ，/22BE是二面角 的平面角.GDF在 中,D aABEBa5,3, 2, . 又 .90H25GH,5在 中，由余弦定理得 , G10cosD即二面角 的平面角的余弦值为 .EFB解法二:由( )知, 以点 为原点， 所在直线为坐标轴,CCFBA,建立空间直角坐标系,则 , ， ，)0(),(a)0,3(， ， 过 作 ,)0,213(aD,F,EDEFG垂足为 . 令 ,G)03()0,(aa CA
20、 BFEHGDxDyzC OFBAE, )03(aFGC ),213(aaCDG由 得, , ,即ED21)21,0)210(a,/,FACBEBF二面角 的大小就是向量 与向量 所夹的角.DEGDB),0(aF即二面角 的平面角的余弦值为 . FBG,cos10DEF1019.如图，已知 中， ， ， 平面 ，CD91CBABC， 、 分别是 、 上的动点，且 60ABEA)10(DFE（1）求证：不论 为何值，总有平面 平面 ；F（2）若平面 与平面 所成的二面角的大小为 ，求 的值。FB60解法一：（向量法）：过点 作 平面Cz/ CD 平面 又在 中，D9 B如图，以 为原点，建立空间
21、直角坐标系 xyz又在 中， ，901B 又在 中，2DADRt60 则 6AB),(),(),1,(C（1）证明： 0,16,0,(),B ),(,1,60,(D 又 平面0,CDBACBA, BCAD又在 中， 、 分别是 、 上的动点， 且EF )10(FE不论 为何值，都有 平面 又 平面D/EFAB DCE FM Nx yzAB DCEF不论 为何值，总有平面 平面BEFAC（2） ， , ，AC)6,01(，6,0E又 ， ，,B)1(6,0ABE设 是平面 的法向量，则 又 ， ,),(zyxnFFnECD/n=(0,1,0),CD令 得 ，00)1(6yzxz0),1(6yx)
22、,01(6n 是平面 的法向量，平面 与平面 所成的二面角为 ，),(mBCDBEFCD ，21)1(6|60cos2n 0242 或 （不合题意，舍去） ，2故当平面 与平面 所成的二面角的大小为 时 BEFCD602解法二： ， , 设 E（a,b,c）,则AACE，)6,01()6,1(cbaa=1+ ,b=0,c= ， E（1+ ,0, ）, )。 )1(61(6,0(B其余同解法一（2）解法三：设 是平面 的法向量，则 ，),(zyxnBFFnE,10ADFCE 又在 中， ，ACEMCD90B1CD 又在 中， 2BBRt606A)(6EM又 ，且 ACE111,0(又 N )6,
23、(F32GOPFED CBAxyz)1(6,(),1(6,0( BFBE令 得 0)(zyxz0),(yx ),01(6n其余同解法一22.如图所示的几何体是由以正三角形 ABC 为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面 DEF 所截而得AB=2，BD=1，CE=3，AF= ，O 为 AB 的中点a（I）当 时，求证： OC/平面 DEF；5a（II ）当 时，求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成且为锐角的二面角4的余弦值；（III ）当 为何值时，在 DE 上存在点 P，使 CP 平面 DEF？a（I）证：取 DF 的中点 G，连结 GE由三棱柱得，AF/BD/CE，而 BD=1，A
24、F=5 ， 四边形 ABDF 为梯形，OG 为梯形 ABDF 的中位线 OG/AF，且 OG=3 而 CE/AF，且 CE=3 OG CE /四边形 OCEG 为平行四边形 GE/OC 又 OC 平面 DEF，GE 平面 DEF OC/平面 DEF （II）以直线 OBOC 分别为 轴 轴建立如图所示的空间直xy角坐标系， AF= ，则 DEF 的坐标分别为：4aD（1， 0，1 ） E（0， ，3） F （-1 ，0 ，4） ， =（-1， ，2） ， =（-2 ，0 ，3）设平面 DEF 的法向量 ，),(zyxn由 得 可取 032DFnEzyz63,2)1,632(n平面 ABC 的法
25、向量可以取 )1,(m01249,cosmn平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 103OPFED CBA（III）在（II）的坐标系中，AF= ， =（-1， ，2） ， =（-2，0， -1） 因 P 在aDE3DFaDE 上，设 ，则EDP )12,31(),()1,0( PO ),)2,31(CO于是 CP 平面 DEF 的充要条件就为由此解得， 0)12()1(2aDFPE 2,41a即当 =2 时，在 DE 上存在靠近 D 的第一个四等分点 P，使 CP 平面 DEFa 24.图 1，在矩形 ABC中， ,AE是 C的中点，以 AE为折痕将 D向上折起，使 为 ，
26、且平面 平面 B（）求证： E；（）求直线 与平面 所成角的正弦值解（）在 RtBCE中， 2BCE，在 tAD中， AD， 22， 平面 E平面 BE，且交线为 ，B平面 A平面 ， D（）设 C与 相交于点 F，由（）知， E， 平面 B， A平面 ，平面 D平面 ，且交线为 BD，如图 2，作 FG，垂足为 ，则 FG平面 A，连结 ，则 是直线 AC与平面 所成的角图 1ADABCDE由平面几何的知识可知 12EFCBA， 23EFB在 RtA中， 59，在 tEBD中， FGEB，可求得 26FG26309sin15A直线 C与平面 BD所成的角的正弦值为 301525.三棱锥被平行
27、于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1 B1 C1，平面 A1 A1平面 ABC， 31A，AB=AC=2，A 1 C1=1，32，D 是 BC 的中点(I)证明：平面 A1AD 上平面 BC C1 B1；(II)求二面角 AB B1C 的大小解：(I)A 1 A平面 ABC，BCC 平面 ABC，A 1 ABC 32，AB=AC=2BAC=60，ABC 为正三角形，即 ADBC又 A1 AAD=A，BC平面 A1AD， 1BCB平 面，平面 A1 AD平面 BCC1B1() 如图，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1， 3，0)，A1(0，0，
28、 3)，B 1(1，0， )， ,3(,(C，显然，平面 ABB1A1 的法向量为 m=(0，1 ，0)，设平面 BCC1B1 的法向量为 n=(m，n，1) ，则 0,1nBC 03mn 1,3n，)1,(，51)3(01cos 2222 n，即二面角 ABB 1C 为 arccos 529.如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A B C 中，侧面 A ACC 底面11ABC，A AC=60.1()求侧棱 AA 与平面 AB C 所成角的正弦值的大小；1()已知点 D 满足 ，在直线 AA 上是否存在点BA1P，使 DP平面 AB C？若存在，请确定点 P 的位置；若不存在，1请说明理
29、由.解：() 侧面 A1ACC1底面 ABC，作 A1OAC 于点 O，A 1O平面 ABC.又ABC=A1AC=60，且各棱长都相等，AO=1 ，OA 1=OB= ，BOAC.3故以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则A(0， -1，0)，B( ，0，0) ， A1(0，0 ， )，C (0，1 ，0)， ；31(0,3)A .设平面 AB1C 的法向量为 n=(x,y,1),2,321CAB则解得 n=(-1,0,1).0ynx由 cos=1,A.46231n而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角，即是向量 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角，1A侧棱 A
30、A1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小为 .46() 而 ,BDAC3,103,10.BBC(23,0)BD又B( ，0， 0)，点 D 的坐标为 D(- ，0，0). 假设存在点 P 符合题意，3则点 P 的坐标可设为 P(0，y ，z). ,PyzDP 平面 AB1C，n=(-1 ，0，1)为平面 AB1C 的法向量，由 ，得A .0,3y又 DP 平面 AB1C，故存在点 P，使 DP平面 AB1C，其从标为 (0，0， )，即恰好为 A1 3点33.如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都等于 2， ABC=60，平面 AA1C1C平面 ABCD， A1AC=60。（）
31、证明：BD AA1；（）求二面角 DA1AC 的平面角的余弦值；（）在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP/平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由。 连接 BD 交 AC 于 O，则 BDAC，连接 A1O，在AA 1O 中， AA1=2，AO=1 ，A 1AO=60，A 1O2=AA12+AO22AA 1Aocos60=3，AO 2+A1O2=A12A 1OAO，由于平面 AA1C1C平面 ABCD，所以 A1O底面 ABCD，以 OBOCOA 1 所在直线为 x 轴y 轴z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（0，1 ，0） ，B（ ，0，0） ，C（0，1
32、 ，0） ，3D（ ，0 ，0） ，A 1（0 ， 0， ）于 ， ，33),2(D)3,(A则 ，BD AA 1)2(1 B（）由于 OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的法向量 ，)0,(n设 平面 AA1D 则 ，2n ),(22zyxnA设得到 ，)1,3(03yxz取 5|,cos2121nn所以二面角 DA1AC 的平面角的余弦值是 5（）假设在直线 CC1 上存在点 P，使 BP/平面 DA1C1， 设 则),(,1zyxP，得)3,0(),1(zyx )3,()3,0( B设 则 设 ，得到13CDAn平 面13n),33zyx，又因为 平面 DA1C1， 则),0(0
33、23zxy不 妨 取 /BP ，即点 P 在 C1C 的延长线上且3n1得即BP使 C1C=CP34.如图，在棱长为 1 的正方体 中， 、 分别为 和 的中点1ACEF1DAB（1）求异面直线 和 所成的角的余弦值；EB（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值；1D1（3）若点 在正方形 内部或其边界上，且 平面 ，求 的最大值、P/P1FCEP最小值解：（1） ， ， ，)0,(A1(,)2E)0,(B)1,2(F， ,2EF54cosAE（2）平面 BDD1的一个法向量为 ，设平面 BFC1的法向量为)0,21(M),(zyxn0)1,0(,zxzBCFzyx取 得平面 BFC1的一
34、个法向量z)1,2(n所求的余弦值为3cos, 6|2MAn 63（3）设 （ ）(,0)Pxy1,0xy，由 得12EEPn1()20xy即 ，32xy301,21xy34y2 226|()()55()EP y, 当 时， 当 时，134y5ymin30|EP4y49maxEP37.如图， 、 分别是正四棱柱 上、下底面的中心， 是 的中点，PO1ABCDAB.1ABk（）求证： 平面 ；1AEP（）当 时，求直线 与平面 所成角的大小； 2kABC() 当 取何值时， 在平面 内的射影恰好为 的重心? OPBC解法一：（）过 P 作 MNB 1C1，分别交 A1B1、D 1C1 于 M、N
35、，则 M、N 分别为 A1B1、D 1C1 的中点，连 MB、NC，则四边形 BCNM 是平行四边形 E、M 分别为 AB、A 1B1 中点， A 1EMB 又 MB 平面 PBC，A 1E平面 PBC。（） 过 A 作 AFMB，垂足为 F，连 PF，BC 平面 ABB1A1，AF 平面 ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF 平面 PBC，APF 就是直线 AP 与平面 PBC 所成的角，设 AA1=a，则 AB= a，AF= ，AP= ，23a2sinAPF= 。所以，直线 AP 与平面 PBC 所成的角是 。63AFP 6arcsin3（）连 OP、 OB、OC，则 OPBC，由
36、三垂线定理易得 OBPC，OCPB ，所以 O在平面 PBC 中的射影是PBC 的垂心，又 O 在平面 PBC 中的射影是PBC 的重心，则PBC 为正三角形。即 PB=PC=BC，所以 。2k反之，当 k= 时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥 为正三棱锥，2 PBCO 在平面 PBC 内的射影为 的重心 奎 屯王 新 敞新 疆 PBC解法二：以点 为原点，直线 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空OA、 、 xyz、 、间直角坐标系，不妨设 ，则得 、 、 、 、212(,0)k(1,0)E2(,)Pk(0,2)B(2,0)C()由上得 、 、1(,)AEk(2,0)BCDA1D1
37、 C1B1E1BACPOzx yDA1D1 C1B1E1 BACPO，设 得2(0,)PBk1AExBCyP21,(,0)(,)xk解得 ， 12y， 1， 平面 BCP1AEPBC平 面 1AEPBC（）当 时，由 、 得 、 、2k(0,2)(,0)(2,0)(2,0)(,2)PB设平面 的法向量为 ，则由 ，得 ，PB(1,)nnPB1(1,)n，直线 与平面 所成角的大小为 . 6cos 3An， AC6arcsi3() 由() 知 的重心 为 ，则 ，PBCG2,3k2(,)3OGk若 在平面 内的射影恰好为 的重心，则有 ，解得OPBC0BCP2当 时， 在平面 内的射影恰好为 的
38、重心. 2k29. 如图,侧棱垂直底面的三棱柱 的1A底面 位于平行四边形 中, ,ABCDE2, ,点 为 中点.1460B（）求证:平面 平面 .11（）设二面角 的大小为 ,直线与平面 所成的角为 ,求 的值.1sin()解:（）方法一、在平行四边形 中, , , ,点 为ACE2A4C60EB中点.DE , ,从而 ,即60AB30D90BB又 面 , 面1 ,而 , 平面C1A1A 平面 平面 平面B1BC方法二、 , , ,点 为 中点 .2E460EDE , , ，A322AABC_AE DCBA1B1C1第 17 题图AE DCBA1B1C1xyzAE DCBA1B1C1F又
39、面 , 面 ， ,而 , 平面1ABCA1BC1ABC 平面 平面 平面111（）方法一、由（）可知 ,ABC 为二面角 的平面角,即 ,1AB11AB在 中, ,Rt12,425,11sini51cos以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,xyz其中 , , , ,1(04)A(30)B(4)C(04)A, ,设 为平面 的一个法向量,则 , 即(,)nxyz1A1nBC340yzx3z令 ,得平面 的一个法向量 ,1y1BC(31)n则 ,|45sinA又 , , 022cosin , 即525sin()is1方法二、由（）可知 ,1ABC 为二面角 的平面角,即 ,1AB1AB在 中
40、, ,Rt12,425,11sini1cos过点 在平面 内作 于 ,连结 ,AB1AFBCF则由平面 平面 ,且平面 平面 ,得 平面1C111ABF1B 为直线 与平面 所成的角,即DD在 中, , ,RtAF145AB5sinFC25cos1in , 即255i()sicosin1sin()1如图 4，已知多面体 ABCDE 中，AB平面 ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1 ，F 为 CD 的中点（）求证：AF平面 CDE；（）求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小；（）求三棱锥 ABCE 的体积解：方法一 （）DE平面 ACD，AF 平面 ACD，DE
41、AF又AC= AD，F 为 CD 中点，AF CD，因 CDDE=D ，AF平面 CDE.（）延长 DA，EB 交于点 H，连结 CH，因为 ABDE，AB = DE，所以12A 为 HD 的中点因为 F 为 CD 中点，所以 CHAF，因为 AF平面 CDE，所以 CH平面 CDE，故 DCE 为面 ACD 和面 BCE 所成二面角的平面角，而CDE 是等腰直角三角形，则 DCE=45，则所求成锐二面角大小为 45（） ，因 DEAB ，故点 E 到平面 ABC 的距离 h12ABCS等于点 D 到平面 ABC 的距离，也即ABC 中 AC 边上的高 32h三棱锥体积 ABEABCV三 棱
42、锥 三 棱 锥 13方法二 （）取 CE 的中点 Q，连接 FQ，因为 F 为 CD 的中点，则FQDE，故 DE平面 ACD， FQ平面 ACD，又由（）可知 FD，FQ，FA 两两垂直，以 O为坐标原点，建立如图坐标系，则 F（0 ，0，0 ） ，C（ ，0 ，0） ，A（0，0， ） ，13B（0 ，1 ， ） ，E（1，2，0） 平面 ACD 的一个法向量为 ，3 (,)Q设面 BCE 的法向量 ， 则(,)nxyz(1,3)(2,)BE即 取 ,nC,xy0则 02cos,|FQn面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45（）由（）知面 BCE 的一个法向量为 ，(1,0)n点 A 到 BCE 的距离 (0,1)AB |2ABd又 ， ， ，BCE 的面积 5CBE2C136BCES三棱锥 ABCE 的体积 1363V
