1、第 1 页 共 15 页第 3 讲 线面垂直与面面垂直考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B 级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B 级要求知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与一个平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行Error!ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直
2、的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理第 2 页 共 15 页文字语言 图形表示 符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直Error!性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Error!l诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( )(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .
3、( )2给出下列命题：如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 ；如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ；如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平面 ；如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 .其中错误的命题是_(填序号)3(2016浙江卷改编 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足m，n，给出下列结论：第 3 页 共 15 页ml；mn；nl；mn.其中正确的是_(填序号)4(2017盐城模拟 )设 ， 为互不重合的三个平面， l 为直线，给出下列命题：若 ，则 ；若 ， ，且 l，则 l；若直线 l 与平面 内
4、的无数条直线垂直，则直线 l 与平面 垂直；若 内存在不共线的三点到 的距离相等，则平面 平行于平面 .其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)5(必修 2P42 习题 16)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点O，(1)若 PAPBPC ，则点 O 是ABC 的_心(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心考点一 线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面ABCD，ABAD，ACCD ，第 4 页 共 15 页ABC60，PAAB BC，E 是 PC 的中点证明：(1)CD AE；(2)PD平面 ABE.规
5、律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab )；面面平行的性质(a， a)；面面垂直的性质( ， a，l a，ll )(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想【训练 1】 (2017泰州期末)如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段AB 上一点，且 AD DB，点 C 为圆 O 上一点，且13 BC第 5 页 共 15 页AC，PD平面 ABC，PDDB.3求证：PACD.考点二 面面垂直的判定与性质【例 2】(2015 山东卷)如图，三棱台 D
6、EFABC 中，AB2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，AB BC，求证：平面 BCD平面 EGH. 第 6 页 共 15 页规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【训练 2】 如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面ABC，PAPB，M，N 分别为 AB，PA 的中点(1)求证：PB平面 MNC；(2)若 ACBC，求证：PA平面 MNC.考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究)命
7、题角度一 平行与垂直关系的证明【例 31】 (2016江苏卷) 如图，在直三棱柱第 7 页 共 15 页ABCA 1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.规律方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用命题角度二 平行垂直中探索性问题【例 32】 如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形，BCCE，点 F 为 C
8、E 的中点(1)证明：AE平面 BDF；(2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由第 8 页 共 15 页规律方法 (1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点【训练 3】(2017 南通调研)在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，ABCD，
9、AC ，AB2BC2，ACFB.3(1)求证：AC 平面 FBC；(2)求四面体 FBCD 的体积；(3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由第 9 页 共 15 页思想方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a ；(2)判定定理 1：Error!l；(3)判定定理 2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala ；2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3转化思想：垂直关系的转化易错防范1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交
10、线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误4在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.第 10 页 共 15 页基础巩固题组(建议用时：40 分钟) 一、填空题1(2017南京调研 )对于直线 l，m，平面 ，m，则“l m”是“l ”成立的_条件(从“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”中选填一个)2(2017深圳四校联考 )若平面 ， 满足 ， l ，P ，P l，给出下列命题：过点 P
11、 垂直于平面 的直线平行于平面 ；过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内；过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内；过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 .其中假命题为_(填序号)3如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_4在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)PABC 中，D ，E 分别是 AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面 PDE；AB平面 PDE.第 11 页 共 15 页其中正确论断的序号为_5(2017苏北四市联考 )已知 ， 是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm； lm；ml；l m.
12、其中正确的命题是_(填序号)6如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)7(2017徐州检测 )如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BD AC；BAC 是等边三角形；三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.第 12 页 共 15 页其中正确的是_(填序号)8(2016全国 卷改编)， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：如果
13、mn，m，n，那么 ；如果 m，n ，那么 mn；如果 ，m，那么 m；如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填序号)二、解答题9(2017苏州调研 )如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABC DBC120，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点(1)求证：EF平面 BCG；(2)求三棱锥 DBCG 的体积第 13 页 共 15 页10(2017盐城模拟 )如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB2AD，PD底面 ABCD，E，F 分别为棱AB，PC 的中点(1)求证：EF平面 PAD；(2)求证：平
14、面 PDE平面 PEC.第 14 页 共 15 页能力提升题组(建议用时：20 分钟)11(2017苏、锡、常、镇四市调研)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面：若 mn，n，则 m；若 m， ，则 m ；若 m， n ，n ，则 m；若 mn，n， ，则 m.上述命题中为真命题的是_(填序号)12(2017南京师大模拟 )如图，在正方形 ABCD 中，E ，F 分别是 BC，CD 的中点，沿 AE，AF ，EF 把正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 P，P 点在AEF 内的射影为 O，给出下列结论：O 是AEF 的垂心；O 是AEF 的内心；O 是AEF 的外心；O 是AEF 的重心其中结论正确的是_(填序号)13如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2 AB，则下列结论中： PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线BC平面 PAE；PDA45.其中正确的有_(填序号)第 15 页 共 15 页14(2016四川卷 )如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，AD BC ，ADCPAB 90 ，BCCD AD.12(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面PAB，并说明理由(2)证明：平面 PAB平面 PBD.
