1、1正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式： A B C； S ab sin C bc sin A ca sin B；2121212三角形中的边角不等关系:AB ab,a+bc,a-b5余弦定理 a 2=b2+c2-2bccosAc 2=a2+b2-2abcosCb 2=a2+c2-2accosB若用三边表示角，余弦定理可以写为、6余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边7三角函数的和、差、倍、半以及和积互化公式.课堂互动知识点 1 运用判断三角形形状例题 1 在ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断ABC 的形状.2【分析
2、】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【答案】解法 1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 A=B 即ABC 为等腰三角形解法 2:由余弦定理: 2222bcaac2b ba 即ABC 为等腰三角形.巩固练习1在 中，若 ，试判断三角形的形状ABC22sinsiosbBC2在 中,已知 a2tanB=b2tanA,试判断这个三角形的形状.3已知 中，有conssiAC，判断三角形形状.知识点
3、 2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:已知三条边(边边边),求三个角;已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题 2 在ABC 中，已知 ， ，B=45 求 A、C 及 c.3a2b【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法 1：由正弦定理得： 2345sinsiinBaAB=4590 即 ba A=60或 120当 A=60
4、时 C=75 2645sin72si BCc当 A=120时 C=15 i1i b解法 2：设 c=x 由余弦定理 将已知条件代入，整理： 解之：Bacos22 0162x6x当 时 从而 A=60 ，C=752c 2)13(26)(2cos 2bcaA当 时同理可求得：A=120 C=15.26c巩固练习1已知在 ABC中， 2,6,45BCA，试解该三角形3在 ABC中， 213,2tancb，求三内角 A、B、C3在 中，已知 A、B、C 成等差数列，且 2cosins，4ABCS，求三边 a、b、c4在 中，已知 2， 32tanCA，求 A、B、C 的大小，又知顶点 C 的对边 C
5、上的高等于 34，求三角形各边 a、 b、c 的长知识点 3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题 3 已知 A、B、C 为锐角， tanA=1，tanB=2 ，tanC=3，求 A+B+C 的值【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角本题应先求出 A+B 和 C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出 A+B+C【答案】 、 、 为 锐 角 0270AB 又 ， ， 由 公 式 可 得tantaAB12tan()tantABBA1123t()t()CC tan()tanC31()=0所以 A+B+C=sinisnicosscos222 236136
6、(co)59()co()5972巩固练习1在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C= ,求 sinB 的值. 32在 中，a，b，c 分别是 的对边长，已知 a，b，c 成等比数列，且 ，求ABC， ， acb2的大小及 的值sin3在 AB中，若 4,5ba且 321)cos(BA，求这个三角形的面积例题 4 在 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,证明: .CBAcbasin)(2【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案
7、】证法一:由正弦定理得 = = =ABCAcba222 sincosin AB2sin)()(CB2sin)(.CBAsin)(ABa450bcCD4证法二:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,则 = =1- cosA,又由正弦定理得2cba2cosAcb= , =1- cosA= = = = .cbCBsin2cbCBsinCBsinoCBsins)i(CABAsincosciCBin)(证法三: = .Ai)( Aicoc由正弦定理得 , = ,又由余弦定理得 =cbBasin,si Bsin)(cAbaosBAsin)(= = .cba22 222)()(c2c巩固练习1已知
8、锐角三角形 ABC 中， ， .3sin()5AB1sin()5AB（1）求证 ；（2）设 ，求 AB 边上的高tantA【考题再现】1 （04 年全国）在 中， ， ， ，则边 上的高C31C4AC（A） （B） （C） （D）2322 （05 年湖南卷）已知在ABC 中，sinA（sinBcosB） sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C 的大小 .3.（2005 年春季北京）在ABC 中，sinA+cosA= ，AC=2，AB=3，求 tanA 的值和ABC 的面积.24. （05 年江苏卷） 中， ， ，则 的周长为BC3BC（A） （B）43sin4sin36（C） （D
9、）665 （06 年湖北卷）若 的内角 满足 ，则AC2sin3AsincoAA. B C D131535536. （2006 年安徽卷）如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则（ ）1 2BCA 和 都是锐角三角形 B 和 都是钝角三角形1C2 1AC 是钝角三角形， 是锐角三角形2AD 是锐角三角形， 是钝角三角形B【模拟训练】1 （2004 年北京市朝阳区二模题）在 中， 是 的（）Ccos2BB（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件2 （04 年南京市二模题）在 中，A ，B，C 为三角形的三个内角，且 ，AC4sin
10、5B，求 的值4cos()5cos253 （04 年华南师大附中）在 中， 分别为角 的对边，且ABC,abc,ABC274sincos2BCA（1）求 的度数A（2）若 ， ，求 和 的值3abc4 （05 年南通市基地学校联考） 在 中，边 AB 为最长边，且 ，则 的最3sin4AcosB大值是5.（06 年湖北八校第二次联考）已知关于 的方程 的两根之和等于两根之积的x2 2coi0CxB一半，则 一定是ABC（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.6.(06 年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知 的三个内角为 A、B、C 所对的三边为 、 、 ，若 的面ABCa
11、bcABC积为 ，则 _22()Sabctan教考链接在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式 ， ，还ahS21Cbsin要注意三角形内角和 的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高CBA三角形问题的求解
12、能力参考答案课堂互动例题 1 巩固练习1 【答案】解法 1：由正弦定理 ，R 为 外接圆的半径，将原式化为2sinisinabcABCABC，2228sin8sincoRBCRB， .i0C即 , ， .co()90故 为直角三角形A解法 2：将已知等式变为 ，222(1cs)(1cos)csobBbC由余弦定理可得22aac ，22acbb即 2c22()()4a也即 ，故 为直角三角形2bABC2 【答案】解法 1:由已知得 ,由正弦定理得 ,Abcosinsi22 ABAcosincosin22sinAsinB0,sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B,2A=2B
13、 或 2A=1800-2B,即 A=B 或 A+B=900. 是等腰ABC三角形或直角三角形.6解法 2: 由已知得 ,由正弦定理得 ,即 ,又由余弦定理得AbBacosinsi22AabcosB2AbcosB,整理得(a 2-b2)(a2+b2-c2)=0,a=b,或 a2+b2=c2, 是等腰三角形或直角三角形.bca22c- C3解：由已知得例题 2 巩固练习1 【答案】解法 1：由正弦定理，得 2345sin6siC因326sinAB6,2ABC由 3，则有二解，即 60或 10 754018或 5428B故3sinACA或 3， 15,120BC75,60BC解法 2：令 AC=b，
14、则由余弦定理 245cos6)(bb3bb 又 C2)(260,21cosC或 12075)604(18B或 5)45(8B.2【答案】由已知有 bcAtan，化简并利用正弦定理： BCsin2sicosinBCAsin2icos)(0cosin2iA7由 0sin，故6021cosA由 213cb，可设kb,)3(，由余弦定理，得 kakka 6)13(24)( 22 由正弦定理 CcAasini得 63sini kAc由 bc则 C 是锐角，故 75180,45CB3 【答案】由已知，得 2B，又由 A60B 故 4160cosins2CA又由caSABCsin134 143ac故6)si
15、()si(ins22Cac 8siniCA由340in8ii BAb则 2160cos2acb即 9648)(3)(2 ba 64ca 把与联立，得 )26(),6(c或 )2(),2(a4 【答案】由已知 BCA，及 10,6018CABCA由 tan1t)tan(及 32tan,3)t(得 3ttA，以 a,为一元二次方程02)3(2xx的两个根，解方程，得tan1C或 1tanCA754或 CA若 75,4A，则860si34，64sin3b，)13(45sin78i ACac8若 45,7CA，则 60sin34a75sin34,8b)1(6)623(4)13(8sinBCbc例题 3
16、 巩固练习1 【答案】由正弦定理和已知条件 a+c=2b,得 sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得 2sin cos =2sinB.2A由 A+B+C= 得 sin =cos .又 A-C= ,得2CAB3=sinB. =2sin cos ,0 ,cos 0,sin = .cos = = ,sinB2cos3Bcos322B2B2B432B2sin1413=2sin cos =2 = .41892 【答案】 （I） 成等比数列 abc， ， bac2又 在 中，由余弦定理得c22 ABCosAbc2160（II）在 中，由正弦定理得 BCsiniBbabcasinsiin2603
17、23 【答案】解法 1：由余弦定理得 bcA892co2ccbB109os2由正弦定理得：BBsin45isin4i532)os1(45022c321)09(1480224 cc63218062c故 68osA75sinA4715sinAcbSABC解法 2：如图，作 BCD，AD 交 BC 于 D，令 x则由 5a知， xx5,，在 中由余弦定理 321)(84)cos(2A化简得 19x，在 CAD中由正弦定理)sin(4sini)sin(i BACDBCD 783)(cos42B71583421si21ASBC例题 4 巩固练习91 【答案】 （1）证明：因为 ， ，3sin()5AB1
18、sin()5AB所以 ， ， .所以sicoi1nsn5 2icos1n5tan2ABtan2tB（2）因为 ， ， 所以 ，即 ，AB3i()AB3ta()4tt31an4将 代入上式并整理得 .tan2t2tn40B解得 ，舍去负值得 ，从而 .6t6tatan2t6A设 AB 边上的高为 CD.则 由 AB=3，得 CD= ，所以 AB 边上的高等于3tant26CDABAB62考题再现1 【答案】由余弦定理，得 ， ，所以 边上的高1cos0AC3sin2BDA选 B.2 【答案】解法 1： 由 得sin)(inBA .0)i(coisni B所以 即.0coscosinsiB .s(
19、因为 所以 ，从而 由 知 从而 .),0(0.iA),(.4A43C由 即0)43(2csi2cosi BC得 0cosin2si2sinBB亦 即由此得 所以.15,1B,.15,3C解法 2： 由 )2si(cosin0csin得由 、 ，所以 即0.23BC或 .2B或由 得 si)co(siBA 0)sin(cosisi ABA所以 .0nconn即 因为 ，所以.0)(ii.i由 从而 ，知 B+2C= 不合要求.4),0知 43C23再由 ，得 所以 .21BC.125, ,4A125,CB3 【答案】解法 1：sin A+cosA= cos（ A45）= ，cos（ A45）=
20、 .2又 0 A180， A45=60， A=105.10tan A=tan（45+60）= =2 .31sin A=sin105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60= .462 SABC = ACABsinA= 23 = （ + ）.2124623264 【答案】在 内，由正弦定理得BC 32sinisiniCAB 23sin,23ii sA B周长为 Bsinsin3B 22incos36sin3B5 【答案】由 sin2A2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinAcosA0，又 ，25(i)1iAA故选 A.6 【答案】 的三个内角的余弦值均大于
21、 0，则 是锐角三角形，若 是锐角三角形，由1AC1BC2C，得 ，那么， ，所以 是钝角三角形故21121sincosin()2sincosin()2BBCC2121C22A2AB选 D模拟训练1 【答案】 2222cssinsiinsiBABABAinsiBA2 【答案】 ， ， ，由C0,C45得 ， ， 又由 得3cos54sin()53cos5Ccos(2)3si(2)C .347in2AA 71n6A3 【答案】由题意得 2721cos()cos1BC221cos1cos203A将 代入得 由 及 ，得2baA3bab,3,bbc或 .,c,c4 【答案】因为 ，易得 的最大值为 .ossincos()1BABcosAB2345 【答案】由题意可知： ，从而21cinC2cos1os()oscsiAA11， 又因为 所以 ，所以 一定是等腰三cossin1ABcos()1ABAB0ABC角形选 C6 【答案】 ， ， ，i2Sb22()Sab2cosab ，1sincoscAAsin1cota4sin22cAA
