1、1二次根式知识点一： 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时， 没有意义。知识点三：二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0
2、（ ） 。注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（ ） 的性质（ ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， .知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术
3、平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a, 即 ；2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六： 与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的，2，而2、相同点：当被开方数都是非负
4、数，即 时， = ； 时， 无意义，而.知识点七：二 次 根 式 的 性 质 和 最 简 二 次 根 式如 ： 不 含 有 可 化 为 平 方 数 或 平 方 式 的 因 数 或 因 式 的 有 2、 3、 a（ a 0） 、 x+y 等 ； 含 有 可 化 为 平 方 数 或 平 方 式 的 因 数 或 因 式 的 有 4、 9、 a2、 （ x+y）2、 x2+2xy+y2 等 （ 3） 最 终 结 果 分 母 不 含 根 号 。 知 识 点 八 ： 二 次 根 式 的 乘 法 和 除 法1.积 的 算 数 平 方 根 的 性 质 ab= a b（ a 0， b 0） 2. 乘 法 法 则
5、 a b= ab（ a 0， b 0） 二 次 根 式 的 乘 法 运 算 法 则 ， 用 语 言 叙 述 为 ： 两 个 因 式 的 算 术 平 方 根 的 积 ， 等 于 这 两 个 因 式 积 的算 术 平 方 根 。 3.除 法 法 则 a b= ab（ a 0， b0） 二 次 根 式 的 除 法 运 算 法 则 ， 用 语 言 叙 述 为 ： 两 个 数 的 算 数 平 方 根 的 商 ， 等 于 这 两 个 数 商 的 算 数平 方 根 。 4.有 理 化 根 式 。 如 果 两 个 含 有 根 式 的 代 数 式 的 积 不 再 含 有 根 式 ， 那 么 这 两 个 代 数
6、式 叫 做 有 理 化 根 式 ,也 称 有理 化 因 式 。 知 识 点 九 ： 二 次 根 式 的 加 法 和 减 法1 同 类 二 次 根 式 一 般 地 ， 把 几 个 二 次 根 式 化 为 最 简 二 次 根 式 后 ， 如 果 它 们 的 被 开 方 数 相 同 ， 就 把 这 几 个 二 次 根式 叫 做 同 类 二 次 根 式 。 2 合 并 同 类 二 次 根 式 把 几 个 同 类 二 次 根 式 合 并 为 一 个 二 次 根 式 就 叫 做 合 并 同 类 二 次 根 式 。 3 二 次 根 式 加 减 时 ， 可 以 先 将 二 次 根 式 化 为 最 简 二 次
7、根 式 ， 再 将 被 开 方 数 相 同 的 进 行 合 并 。 知 识 点 十 ： 二 次 根 式 的 混 合 运 算1 确 定 运 算 顺 序 2 灵 活 运 用 运 算 定 律 3 正 确 使 用 乘 法 公 式 4 大 多 数 分 母 有 理 化 要 及 时 35 在 有 些 简 便 运 算 中 也 许 可 以 约 分 ， 不 要 盲 目 有 理 化 知 识 点 十 一 ： 分 母 有 理 化分 母 有 理 化 有 两 种 方 法I.分 母 是 单 项 式 如 : a/ b= a b/ b b= ab/b II.分 母 是 多 项 式 要 利 用 平 方 差 公 式 如 1/ a b
8、= a b/( a b)( a b)= a b/a b 如 图 注 意 ： 1.根 式 中 不 能 含 有 分 母 2.分 母 中 不 能 含 有 根 式 。4“二次根式”经典练习题【典型例题】一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ （a0） ，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）1.下列各式中一定是二次根式的是（ ） 。 A、 ； B、 ； C、 ； D、3x12x1x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1） （2） （3） （4） （5）;1xxx215x3x（6）若 ，则 x 的取值范围是 （7）若 ，则 x 的取值范1)( 13x围是 。（7）注：（书写格式（4）由 5
9、+x0 且 x+40 得 x5 且 x4当 x5 且 x4 时代数式在实数范围内有意义）5x3.若 有意义，则 m 能取的最小整数值是 134.若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是_205当 x 为何整数时， 有最小整数值，这个最小整数值为 。10x6. 若 ，则 =_425aa2047若 ，则 43yy8. 设 m、n 满足 ，则 = 。3922mmn9. 若 适合关系式 ，求 的值519xyxyxyxym10.若三角形的三边 a、b、c 满足 =0，则第三边 c 的取值范围是 342ba11.方程 ，当 时，m 的取值范围是（ ） 0|84| yxyA、 B、 C、 D、10m225
10、二利用二次根式的性质 =|a|= (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 )来2)0(b解题1.已知 x ，则（ ）23x3A.x0 B. x3 . x3 D.3 x02.已知 ab，化简二次根式 的正确结果是（ ）baA B C Dab ab3.若化简|1-x|- 的结果为 2x-5 则 x 的取值范围是（）1682xA、x 为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4 4.已知 a，b，c 为三角形的三边，则 = 222 )()()( acbacba5. 当-3x5 时，化简 = 。510962xx6、化简 的结果是（ ）)(| yyxA B C D2x2y7、已知： =1，则 的取
11、值范围是（ ） 。1aA、 ； B、 ； C、 或 1； D、0a01a8、把 根号外的因式移入根号内，化简结果是（ ） 。2)(xA、 ； B、 ； C、 D、 22xx三二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术 平 方根的性质及二次根式的性质：（ ） 2=a（a0） ，即 。 ）|2a1.把下列各式化成最简二次根式：（1） （2） （3） （4） 83240125m24yx2.下列各式中哪些是同类二次根式：（1） ， ， ， ， ， ， ； （2） ， ，a752120310,53cba324cb6bca3.计算：（1）6 （2） ；
12、（3） )3(27 491ab acb5364（4） （5） （6）21853)(235c4.计算（1）2 （2）0123 )2541()319( 32 yxyx5已知 ，则 x 等于（ ）18xA4 B2 C2 D46已知 ，求 的值。,yx xyxy3四二次根式的分母有理化1 已知： ，求 的值。13212x2已知:x= ，求代数式 3x25xy+3y 2 的值。,y3. 21341094.已知 ，试求 的值。2195xx5五关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算 2 的值（ ）31A在 1 和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C在 3 和 4 之间 D在 4 和 5 之间2若
13、 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a3.已知 9+ 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值193与4.若 a，b 为有理数，且 + + =a+b ，则 b = .812六二次根式的比较大小（1） （2）5 （3） （倒数法）3205和 5和 13517和7二次根式提高测试题一、选择题1使 有意义的 的取值范围是（ ）13xx2一个自然数的算术平方根为 ，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ 0a）（A） （B ） （C） （D）1,a1,221,a21,a3若 ，则 等于（ ）0x2x（A）0 （B） （C ） （D ）0 或xx4若 ，则 化简得（ ）,a
14、b3ab（A） （B） （C ） （D）abab5若 ，则 的结果为（ ）1ym2y（A） （B） （C ） （D ）222m26已知 是实数，且 ，则 与 的大小关系是（ ）,ab2abab（A） （B ） （C） （D ）a7已知下列命题： ； ；25236 ； 233aaab其中正确的有（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个8若 与 化成最简二次根式后的被开方数相同，则 的值为（ ）246m4 m（A） （B） （C ） （D ）35181589当 时，化简 等于（ ）12a2a（A）2 （B） （C） （D ）04810化简 得（ ）22413xx（A）2 （B）
15、 （C） （D） 4x二、填空题11若 的平方根是 ，则 21x541_x12当 时，式子 有意义_313已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则 4ab2a _ab14若 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 ， x8y8xy15已知 ，且 ，则满足上式的整数对 有_209x0x,x16若 ，则 121_17若 ，且 成立的条件是_ xy3xyx18若 ，则 等于 _ 0122144三、解答题1 9计算下列各题：（1） ；315206（2） 3247108.3aa20已知 ，求 的值 0600255a 24a21已知 是实数，且 ，求 的值.yx, 3922xy yx622若 与 互为相反数，求代数式 的值.42yx21yx 32341yx23若 满足 ，求 的最大值和最小值.abS、 、 357,abSabS9
