1、用好课本例习题，提高学习效益初中几何的教与学，对初中数学教师和初中学生来说都是难点。为突破这个难点，教师补充讲解了很多题目，结果事倍功半。一到学生自己解决问题时，往往束手无策。怎样才能提高教与学的效益？我在最近几年的课堂教学中，采用变式教学。即从研究教材中的某一个例题（或习题）时，引导学生向不同的方向引伸、转换、综合，对新产生的问题探求答案，强化培养学生的发散思维能力。使学生在不断的引申、转换、综合中更深刻的理解各项知识的内在联系，掌握规律，提高思维能力和解决问题的能力。现举四例说明之。例，如图：OA，OB，OC 是O 的半径， AOB BOC，求证：ACB BAC， （图） （初三几何课本
2、P的例） 。在讲此题前一天先给出：AB 和 BD 是四边形 ABCD 的两条对角线，若ABACAD ， BAC ，求 BDC 的度数。 （图）让同学们回家思考。A BCO图 1O DAC图 2第二天课前了解解题情况， （无人做出）接着讲解例题，而在讲完例题后，学生突然茅塞顿开，恍然大悟，发出真简单，真巧的感叹。可在课前学生怎么也想不到此题和圆有关系。然后在简要给出运用三角形的内角和与等腰三角形性质解答此题的方法。设 ABD=y, BDC=x,AC 与 BD 相交于点O，AB ACAD，ABDADBy,ACD= ADC=x+y, AOD=ACD+ODC=x+x+y=2x+y, AOD=ABO+
3、BAO=y+52,52+y=2x+y,x=26.通过讲解此题和解法对比，拓宽了学生解题思路，加强了知识间的纵横联系，使学生的思维向多层次、多方向发展，激发学生的学习兴趣，减少学生解决问题的局限性和单一性。例， （）在ABC 中，A90，ADBC。求证：ABACBDAD， （图 3）（初二几何课本 P243 页练习第二题）CDAB图 3B DAF图 4（2）在AFD 中，BDF FAD，求证：BDADDFAF（图 4） （初二几何课本 P234 页练习第二题型） 。上两题学生都能由ABCDBA 与AFDDFB 给出证明。接着教师引导学生积极思考，提出问题，怎样将这两题综合，合并成一个题目。然后给
4、出。（3）已知：在ABC 中，BAC90，ADBC，E 为 AC 的中点，连结 AD并延长交 AB 延长线于 F，求证：ABACDFAF。 （图 5）B CAFDE图 5从（1）到（3）问题由浅入深，循序渐进，由单一到综合，学生的思维在老师的指导下，学生积极的参与下对（3）的结构有了深刻的理解，学生不难给出证明，通过此题的讲解，学生对“中间比”在证明中的应用也有了更深刻的理解。例 3， （1）在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 与 D，作 DEAC，E为垂足，求：DE 是O 的切线。 （图 6） （初三几何课本 P115 页第 4 题） 。此题只要连接 OD，学生不难给出证
5、明，将（1）引申给出。（2）在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，作 DEAC，E为垂足，求证：DE 2 AEEC。 （图 6）DOBACE图 6此题有上题作为基础，只要连接 AD，学生证明并不感到困难，再将（2）进一步引申给出。（3）在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 与点 D，作DEAC，E 为垂足，DE 交O 于 F。求证：AE ECBFEF。 （图 7） （1999芜湖重点中学加试题）FDOBACE图 7从（1）到（3）题目的条件不变，但求证的结论由浅入深，难度逐渐加大。（3）的证明对一般的学生而言有一定的困难。但如果联想到前面（1）
6、到（3）的逐步引伸，化解分散了难点，学生做起来就不感到吃力了。（3）题还可以引导学生积极思考探讨其他证法。设 CA 是O 相交于点G， （或 CA 的延长线，当A90时无交点）因为 EA，EB 是O 的割线，所以 AEEGDEEF，把它和题中结论 AEECBEEF ，加以比较可发现只需证明 EGEF 即可，连接 DG 问题不难解决。引导学生多 角度对同一事物进行观察、讨论，培养了学生的求异思维，引导学生从同一问题出发，寻找多种途径，多种手段去解决同一问题，培养了学生的发散思维。例 4，若 O 1和O 2外切于点 A，BC 是O 1和O 2的公切线，BC 是切点，求证：BAC90.（图 8） （
7、初三几何课本 P144 例 4） 。 DO A OEBCF图 8此题只需过 A 作公切线交 BC 于点 D，学生就能给出证明，接着引导学生积极思考，挖掘寻找题中的其他结论。设 CA，BA 的延长线分别交O 1和O 2于 E、F，连接 BE 、CF。O 1的半径为 r，O 2的半径为 R。通过师生共同观察、分析，发现图中有 RtABC，RtBEC，RtCBF，RtAEB，RtACF。而且图中这些 Rt都相似。由此可导出：（1）BDCD；（2）CD 是 BE、CF 的比例中项， （BE、CF 是直径） ；（3） ；2BFCE（4） 等结论。BArCR然后提问改变题目中的部分条件，即公切线不变，改两
8、圆相切为两圆相交，上述结论将会怎样？若O 1和O 2相交于 A、N 两点，BC 为两圆的公切线，CA、BA 的延长线分别交O 1、O 2于点 E、F。连续 CF、BE，延长 NA 交 BC 于点 D。 （图 9）通过对比、分析，论证可发现：（1）BACBNC180（上题可视BACBAC180） ；（2）BDDC；（3） ；（4） ；2BFCEBArR（5）BC 是 BE、CF 的比例中项等结论不改变，其证明方法也相似。同时还可证明 等结论。BFrCR如两圆相切不改变，改公切线为一圆的切线，另一圆的割线可得到哪些结论。 （留给学生思考）由学生积极参加的师生共同活动，提供了学生分析问题和发现问题的机会，使学生尝到了发现问题的乐趣，激发了学生学习的兴趣。通过对课本例习题的深入挖掘，加以改造引伸、综合。探索知识的内在联系，从中理解知识的重点。把握解题规律，通过解一题带一片，锻炼了学生思维的广阔性、灵活性、开放性、创造性。强化了学生钻研教材的意识。2007-6-10韦韦
