1、第八章 J积分,8-1 概 述,对于脆性材料，例如玻璃，线弹性断裂力学的分析是有效的。如果材料具备一定的韧性，则在裂纹扩展前，先在裂纹尖端出现塑性区。塑性区的存在使线弹性断裂力学的分析失去一定的精确性。不过在塑性区尺寸远比裂纹尺寸为小的小范围屈服条件下，线弹性断裂力学的分析结果仍然可以作为近似解。如果裂尖塑性区与裂纹尺寸同一数量级，甚至超过了裂纹尺寸，线弹性断裂力学分析就无效了。,工程上应用的中、低强度高韧钢含裂纹构件，甚至高强钢中存在微小裂纹的问题，都是大范围屈服问题。对大范围屈服问题，人们自然会想到用类似 K 理论的方法，找到描述裂尖弹塑性应力应变场强度的参量，从而建立工程应用判据。目前用
2、得最多的参量是 J 和 COD 。 1968年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson，Rice 等人导出了弹塑性材料裂尖应力应变场的表达式，即HRR理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。,有两个几何形状和受力完全相同的单位厚度板，各含有一个缺口，板1中缺口长为 ，此板的总势能为 ；板II中缺口长为 ，此板的总势能为 。二板总势能之差为： ，这个差值是由 引起的。,8-2 J 积分定义,定义：,是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形变功定义。,可以看到：1. J 的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以 J 积分适用于弹性体（线弹性体和非线性弹性体）和塑性体的单
3、调加载（无卸载）情况。,非线性弹性体和塑性体的曲线在加载时没有区别，但卸载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性变形不可逆），差的能量成热能放出。因此J 只可用于塑性体单调加载的情况。2. 由于不允许卸载，J 不再具有裂纹扩展能量释放率的物理意义，而是功的吸收率。,3. 从 J 的定义可见，在线弹性范围 即 J 与 G 等价。所以J 是G 合理的延伸，是一种既适用于线弹性又适用于弹塑性的较一般的参数。,4. 从J 的形变功定义，采用虚位移原理、格林公式和二元函数的泰勒展开式，可以导出J 的线积分定义：,其中： 为从缺口下表面上任一点沿逆时针方向绕过缺口的顶端，而止于缺口上表面上任一点的曲线； . 为带
4、缺口变形体的形变功密度，包括弹性应变能和塑性形变功； ：回路 上对应的“表面力”矢量； ：回路上各点的位移矢量；ds：回路的线元。,J 的一个重要性质，就是 J 积分与积分路径 无关（Path-independent）。这称为J 积分的守恒性。 J 积分守恒性的前提是：不允许卸载；变形为小变形；没有体积力。 由于J 与路径无关，所以可选择一条容易求积分的路径（例如沿试样的周边，可能只有弹性应力和应变），简单地求得 J。,与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力学发展中的核心问题。1968年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson、Rice 等人，导出了弹塑性材料裂尖应力应变场的
5、表达式，即 HRR 理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。,8-3 弹塑性裂纹尖端的应力场,1. 采用以下基本公式，导出应力函数 的控制方程：,i Airy 公式：,ii 几何方程：,iii 物理方程：,n为硬化指数，n大硬化能力大；n小，硬化能力小,无量纲应力： ；无量纲应变： ，E：材料弹性模量。本节中有“一”者为有量纲量 。,与上式对应的多轴本构关系是,其中,导出的应力函数 的控制方程为：,边界条件取：（这时裂纹表面无外荷载作用）,2. 裂尖解的结构： 如能从上式中解出 ，则问题得解。但目前解不出该方程。故要抓主要矛盾，予以简化： （1）设出 的形式：由于裂纹总是从裂尖向外扩展，所以裂
6、尖附近是我们最关心的。在线弹性断裂力学中，当 时，裂尖应力 ，而弹塑性解当 时，就应该是线弹性解。因此，比照williams级数，可以设想上式的解是一个无穷级数，级数的第一项有奇异性。,当只考虑裂尖附近行为时， r 小到一定范围，级数的第一项由于有奇性，比起其它项都大得多，其它项的值都可忽略不计。所以，当 r 相当小时，可以取：,其中K为修正 幅值的系数，它决定了应力场的强度。,（2）简化 方程： 分析 方程中各项 r 的幂次：双调和项中 r 的幂次为（S-4），后面非线性诸项 r 幂次为（S-2）n-2。而要使应力分量有奇异性，必须 S1,故,因此，当 时， 方程中非线性诸项值增大的速度比双
7、调和项快，这时非线性项是 方程的主要部分，所以可以把 式中双调和项略去。 从物理意义上说，对任意 S2 ，总能选择一个充分小的裂尖邻域，使此区域中弹性变形能与塑性变形功相比任意地微小，这样就可以把 式中代表弹性部分的双调和项略去。,因此， 方程简化为：,将 的裂尖解形式代入上式，得到关于 S 和 的微分方程为：,其中,“” 表示对应量的角度部分。,边界条件有二： i 处 。这要求 ii 本问题关于x 轴对称，所以在 处 ， . ， 。这要求,解上述方程是一个微分方程的边值问题。一般说对于任意 S ，满足边界条件的微分方程解不存在。只有当 S 取某些定值时，方程才有解。因此上述方程是一个关于 S
8、 的特征方程。,（3）S 的取值范围： i 从 得到的应力场应具有奇异性 S5个）几何形状完全相同（a 也一样）的试样，分别加载到不同挠度 ，使各试样的裂纹扩展量 各不相同。用氧化法或二次着色法使稳定裂纹扩展区 留印，然后压断试样，量出 。又由记录仪求出对应的 ，再换算为 ，从而在 图上作得一系列点，由这些点回归求出一条拟合曲线，就得到了 J 阻力曲线（ Curve）。,将此曲线外推到 =0 处，得到的是否就是启裂时的 J 值呢？不是。因为在裂纹真正开始扩展之前，还有一个裂尖钝化（塑性变形）过程。 所以从 O 点开始有一条钝化直线，其方程为 ，钝化线和 J 阻力曲线的交点才是 。,当实验得到的
9、 值满足 J 控制条件时,方法的用途有：i 作为一种判据，评价冶金因素，热处理和焊接的影响，选择材料。 ii 确定一种材料用于某一服役条件是否适当。 iii 对 作保守估计。 测定 的中国标准是 GB2038-91，美国标准是ASTM E813-02。 方法不适用于具有极高撕裂抗力的高延性、韧性材料，因为这种材料实际撕裂引起的裂纹扩展与严重的裂纹顶端钝化混在一起而区分不开。,由 J 积分预计 ，应注意两个前提 （1）要对 试验的大试样和 J 积分试验的小试样的断裂机制，特别是启裂机制有所了解。 （2）要明确 中临界点或条件值的含义： 代表完全脆断或启裂后立即失稳，它是在断口上看不出有裂纹扩展痕
10、迹时的断裂韧度。而 代表缓慢稳定裂纹扩展的起始点，这时裂纹不会立即失稳。,要用 的判据，需要计算结构件中裂纹的 值。目前用两种方法：数值计算方法 用弹塑性有限元算出裂纹体各个单元上的应力、应变和位移值，再代入 J 积分的线积分定义算出 J 。 该方法要使用大容量计算机。,8-6 J 的计算方法,2. 工程估算方法 由 Kummer 等人提出的一种方法。他们人为地把 J 分成弹性和塑性两部分：,其中： 可以查“应力强度因子手 . 册”得到。,、 、 、n 都是已知材料参数，p 是外载也已知，未知数只是 和 。他们通过全塑性有限元计算得出了几种典型结构件（例如紧凑拉伸、三点弯曲、中心裂纹拉伸板、单拉双边裂纹、受内压含内部轴向裂纹的筒、受拉伸含内部周向裂纹的筒、接管角裂纹等等）的 和 。编了第一本弹塑性裂纹手册（EPRI RP 1237-1 报告）。对上述典型裂纹体的 J 积分计算，可以通过查手册算出。,
