概率论习题全部.doc

1、习题一 1习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A：（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件 A 表示“点数之和为 7”；（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件 A 表示“一分钟内呼唤次数不超过 3 次” ；（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件 A 表示“寿命在 2 000 到 2 500 小时之间”.2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面.（1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A=至少出现一个正面，B=出现一正、二反 ，C=出现不多于一个正面 ；（3）如记 =第 i 枚硬币出现正面 （i =1，2，3

2、） ，试用 表示事件 A，B，C.i 123,A3. 袋中有 10 个球，分别编有号码 110，从中任取 1 球，设 A取得球的号码是偶数， B取得球的号码是奇数 ，C=取得球的号码小于 5，问下列运算表示什么事件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）ABAC.C4. 在区间 ,0上任取一数，记 ， ，求下列事件的12x1342Bx表达式：（1） ；（2） ；（3） ， （4） .ABA5. 用事件 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1）A 出现，B，C 都不出现；（2）A，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中至少有一个出现；（

3、5）三个事件都不出现；（6）不多于一个事件出现；（7）不多于二个事件出现；（8）三个事件中至少有二个出现.6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设 iA表示事件“第 i次抽到废品” ，试用 iA的运算表示下列各个事件：（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；（2）只有第一次抽到废品；（3）三次都抽到废品；（4）至少有一次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.7. 接连进行三次射击，设 iA=第 i 次射击命中 （i 1，2，3） ，试用 321,A表示下述事件：（1）A=前两次至少有一次击中目标；工程数学 概率统计简明教程（第二版）2（2） =三次射击恰好命中两次 ；B（3

4、） =三次射击至少命中两次；C（4）D=三次射击都未命中.8. 盒中放有 a 个白球 b 个黑球，从中有放回地抽取 r 次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记 iA=第 i 次抽到白球（i1，2，r） ，试用iA表示下述事件：（1）A=首个白球出现在第 k 次；（2）B=抽到的 r 个球同色 ，其中 .k*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立：（1）ABC= A；（2） .BCA习题二 3习题二1. 从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率.2. 一口袋中有 5 个红球及 2 个白球.从这袋中任取一球，看过它

5、的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：（1）第一次、第二次都取到红球的概率；（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；（3）两次取得的球为红、白各一的概率；（4）第二次取到红球的概率.3. 一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 16，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：（1）最小号码是 3 的概率；（2）最大号码是 3 的概率.4. 一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取 2次，每次随机地取 1 只，试求下列事件的概率：（1）2 只都是合格品；（2）1 只是合格品，一只是不合格品；（3）至少有

6、 1 只是合格品.5. 从某一装配线上生产的产品中选择 10 件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从 09 这 10 个数字中随机地选一个，求他能在 3 次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为 7；（2）点数之和不超过 5；（3）点数之和为偶数.8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8 人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书

7、中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件 A=其中恰有一位精通英语；（2）事件 B=其中恰有两位精通英语；（3）事件 C=其中有人精通英语 .10. 甲袋中有 3 只白球，7 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，6 只红球，9 只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为 10 等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着 09 十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0 看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件 A=结果为奇数，事件B=结果为涂黑色的数.求以下事

8、件的概率：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .)(AP)(B()PAB)(P12. 设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线 x= 31的左边的概率.工程数学 概率统计简明教程（第二版）413. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.14. 已知 ， ， ，求：BA4.0)(P.0)(B（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）),(A)

9、(AP)(,BAP.(P15. 设 A，B 是两个事件，已知 P（A）=0.5，P（B）=0.7， =0.8，试求：()P（A -B）与 P（B-A）.*16. 盒中装有标号为 1r 的 r 个球，今随机地抽取 n 个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取 m 个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有 k 个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件 A 的概率 ，随机事件 B 的概率 及条件概率5.0)(P6.0)(P，试求 及 .8.0)(ABP)(B2. 一批零件共 100 个，次品率为 10，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放

10、回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都做的概率为 0.19.（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？4. 罐中有 m 个白球，n 个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的 6 种类型:投诉原因擦伤 凹痕 外观保质期内 18 13 32保质期后 12 22 3如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在

11、保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定 ， ， ，验证下面四个等式：5.0)(AP3.0)(B15.0)(AP； ； ； .)(BP)(BPA7. 已知甲袋中装有 6 只红球，4 只白球，乙袋中装有 8 只红球，6 只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取 1 只球，该球是红球.8. 设某一工厂有 A，B，C 三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的 25、35、40，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为 5、4、2.如果从全厂总产品中抽取一件产品， （1）

12、求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间 A，B，C 生产的概率.9. 某次大型体育运动会有 1 000 名运动员参加，其中有 100 人服用了违禁药品.在使用者中，假定有 90 人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有 5 人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.10. 发 报 台 分 别 以 概 率 0.6 和 0.4 发 出 信 号 “*”和 “”.由 于 通 信 系 统 受 到 干 扰 ，当 发 出 信 号 “*”时 ， 收 报 台 未 必 收 到 信 号 “*”， 而 是 分 别 以 概 率 0.8 和 0.2

13、 收 到 信 号“*”和 “”.同 样 ， 当 发 出 信 号 “”时 ， 收 报 台 分 别 以 概 率 0.9 和 0.1 收 到 信 号 “”和 “*”.求 ： （ 1） 收 报 台 收 到 信 号 “*”的 概 率 ； （ 2） 当 收 报 台 收 到 信 号 “*”时 ，发 报 台 确 是 发 出 信 号 “*”的 概 率 .*11. 甲袋中有 4 个白球 6 个黑球，乙袋中有 4 个白球 2 个黑球.先从甲袋中任取 2 球投入乙袋，然后再从乙袋中任取 2 球，求从乙袋中取到的 2 个都是黑球的概率.12. 设事件 相互独立.证明： 相互独立， 相互独立.BA, BA,B,工程数学

14、概率统计简明教程（第二版）613. 设事件 与 相互独立，且 ， .求下列事件的概率：ABpAP)(qB)(,B14. 已知事件 与 相互独立，且 ， .求： .91)( )()(AP)(,BP15. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.*17. （配对问题）房间中有 n 个编号为 1n 的座位.今有 n 个人（每人持有编号为1n 的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率

15、.（提示：使用概率的性质 5 的推广，即对任意 n 个事件 ，有12,nA112111 1()()().kknnkkijijn nii niiPAPAPA *18. （波利亚（Plya）罐子模型）罐中有 a 个白球，b 个黑球，每次从罐中随机抽取一球，观察其颜色后，连同附加的 c 个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第 k 次取得白球的概率为 （ 为整数）.（提示：记1k，使用全概率公式 及归纳假设.）kA第 次 取 得 白 球 111()=()+()kkkPAPA19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币 n 次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.20. 假设一部机

16、器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率.21. 灯泡耐用时间在 1 000 h 以上的概率为 0.2，求：三个灯泡在使用 1 000 h 以后最多只有一个坏了的概率.22. 某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T，各电梯正在运行的概率均为 0.75，求 ： （ 1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；（3）在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率.23. 设在三次独立试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率相同.若已知 A 至少出现一

17、次的概率等于 ，求事件 A 在每次试验中出现的概率 .79 )(AP*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为 a 及 b.今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.习题三 725. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为 0.4 及 0.5，而以后每次射击的命中率相应递增 0.05，如在第 3 次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.26. 袋中有 2n-1 个白球和 2n 个黑球，今随机（不放回）抽取 n 个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.*27. 3 个外形相同但可辨别的球随机落入编号 14 的四个盒子，（1）求

18、恰有两空盒的概率；（2）已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为 2 的概率.工程数学 概率统计简明教程（第二版）8习题四1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.（1） ；5ip(0,1234,5)i（2） ；6)i(,)i（3） .51pi(,2345)i2. 试确定常数 C，使成为某个随机变量 X 的分布律，并iCXP(0,1234)求：（1） ；（2） ；（3） （其中 F（ ）为 X 的分布函数）.()1(3. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2 这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数

19、字 的分布律与分布函数.4. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5.从中随机地取 3 个，以 表示取出的 3 个球中最大号码，写出 的分布律和分布函数.X5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6，求击中目标的次数 的分布律.X6. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数 的分布律：（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这

20、批产品中.7. 设随机变量 ，已知 ，求 与 的值.X),6(pB)5()1(XPp)2(XP8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对 9 道以上（包括 9 道）题的概率.9 市 120 接听中心在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计算）：求：（1）某天中午 12 点至下午 3 点没有收到紧急呼救的概率；（2）某天中午 12 点至下午 5 点至少收到 1 次紧急呼救的概率. 10 某商店出售

21、某种物品，根据以往的经验，每月销售量 服从参数 的泊松4分布.问在月初进货时，要进多少才能以 99的概率充分满足顾客的需要？11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.000 1.在某天该段时间内有 1 000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率.12. 设鸡下蛋数 X 服从参数为 的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记 Y 为观察到的鸡蛋数，即 Y 的分布与给定 的条件下 X 的分布相0同，今求 Y 的分布律.习题四 9（提示： ）()(0),1,2.PYkXkk对 于13. 袋中有 n 把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽

22、取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.14. 袋中有 a 个白球、b 个黑球，有放回地随机抽取，每次取 1 个，直到取到白球停止抽取，X 为抽取次数，求 .()PXn15. 据统计，某高校在 2010 年上海世博会上的学生志愿者有 6 000 名，其中女生 3 500名.现从中随机抽取 100 名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数 X 的分布律.16. 设 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为 试 求 ： （ 1） 常 数 A;（ 2）X2,()0xf,A其 他.)50(XP17 设 随 机 变 量 的 密

23、 度 函 数 为 ， 求 ： （ 1） 系 数()exfA()A； （ 2） ； （ 3） 的 分 布 函 数 .)1(X18 证明：函数 （ 为正的常数）可作为一个密度函数 .2e,0,()xcf19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间 X（单位：min）是一个连续型随机变量，其密度函数为 23(5),5,()0xfx其 他 .X 为负值表示火车早到了.求火车至少晚点 2 min 的概率.20. 设随机变量 的分布函数为 求 的密度函数，并计算0()1()exFx,X和 .)1(P)2(21. 设随机变量 在 上服从均匀分布，求方程 有实根的概率.X(1,6 012t22. 设随机变量 在

24、上服从均匀分布，证明：对于 ，)0,1ab，并解释这个结果.()Paba23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（单位：min ）是一随机变量，它服从的指数分布，其密度函数为 某顾客在窗口等待服务，若超过 10 5151e()0xf,其 它 .工程数学 概率统计简明教程（第二版）10min，他就离开.（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率.24. 以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：min） ，X 的分布函数是0.21e,()xFx其 他 .求：（1）X 的密度函

25、数；（2）P（至多等待 2 min） ；（3）P（至少等待 4 min） ；（4）P （等待 2 min 至 4 min 之间） ；（5）P（等待至多 2 min 或至少 4 min）.25. 设随机变量 的分布函数为 ，求：（1）常数X()arctn()FxABxA，B ；（2） ；（3）随机变量 的密度函数.(1)X26. 设 随 机 变 量 服 从 ， 借 助 于 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 表 计 算 ： （ 1）)1,0(N;（ 2） ;（ 3） ;（ 4） ;（ 5）).(XP)76.(XP)78.P).1(XP;（ 6） 确 定 a， 使 得 .59)(a27.

26、设 随 机 变 量 服 从 ， 借 助 于 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 表 计 算 ：1,N（ 1） ;（ 2） ;（ 3） ;（ 4） ;（ 5）)4.(XP)5.(XP)8.2(XP)(XP;（ 6） ;（ 7） 确 定 a， 使 得 . 5 (a28. 设随机变量 X 服从正态分布 ，且二次方程 无实根的概率2(,)N20t为 ， 求 的值.1229. 某厂生产的滚珠直径 X 服从正态分布 ，合格品的规格规定直径为)01.,52(，求滚珠的合格率.030. 某人上班路上所需的时间 （单位：min ） ，已知上班时间是 8：30.)1,30(N他每天 7：50 分出门，求:

27、（ 1）某天迟到的概率；（2）一周（以 5 天计）最多迟到一次的概率.习题五 11习题五1. 二维随机变量 只能取下列数组中的值：（0，0） ， （-1，1） ，),(YX， （2，0） ，且取这些组值的概率依次为 .求这二维随机变量的分布律，1,3 125,36并写出关于 及关于 的边缘分布律 .XY2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以 分别记YX,第一、二次取得的球上标有的数字，求 的分布律及 .),(YX)(P*3. 从 3 名数据处理经理、2 名高级系统分析师和 2 名

28、质量控制工程师中随机挑选 4 人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设 X 表示从委员会选出来的数据处理人数，Y 表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X 与 Y 的联合分布律；（2） .()XY*4. 盒中有 4 个红球 4 个黑球，不放回抽取 4 次，每次取 1 个，X=前 2 次抽中红球数，Y=4 次共抽中红球数，求（1）二维随机变量 的联合分布律：（2）给定 ，),( 1的条件分布律.5. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取 2 次.定义随机变量 如下： 分别就YX,10,若 第 一 次 取 出 正 品 ,若 第 一 次 取 出 次 品

29、10Y,若 第 二 次 取 出 正 品 ,若 第 二 次 取 出 次 品下面两种情况（1）放回抽样， （2）不放回抽样.求：（1）二维随机变量 的联合分布律;),(Y（2）关于 及关于 的边缘分布律 ;X（3） 与 是否独立，为什么？6. 设二维随机变量 的联合密度函数为),(Y1,01,4(,)xyyfx其 他 .求：（1）关于 及关于 的边缘密度函数；（ 2） .X0,2PXY7. 设 二 维 随 机 变 量 服 从 在 区 域 D 上 的 均 匀 分 布 ， 其 中 区 域 D 为 x 轴 ， y 轴 及 直 线),(Yy=2x+1 围 成 的 三 角 形 区 域 .求 ： （ 1） 的

30、 联 合 密 度 函 数 ； （ 2）),(； （ 3） 关 于 及 关 于 的 边 缘 密 度 函 数 ； （ 4） 与 是 否 独0,44PXXYXY工程数学 概率统计简明教程（第二版）12立 ， 为 什 么 ？8. 设二维随机变量 服从在区域 D 上的均匀分布，其中 D 为由直线),(YXx+y=1， x+y=-1，x -y=1，x -y=-1 围成的区域.求：（1）关于 及关于 的边缘密度函数；X（2） ；()PY（3） 与 是否独立，为什么？9. 设随机变量 ， 是相互独立且分别具有下列分布律：X -2 -1 0 0.5概率 43Y -0.5 1 3概率 24写出表示 的联合分布律.

31、),(YX10 设进入邮局的人数服从参数为 的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为 p（0f其 他 12步求解估计量的均值和方差.11. 在第 3 题中 的矩估计是否是 的无偏估计？12. 试证第 8 题中 的最大似然估计是 的无偏估计.13. 设 是一个未知的分布参数， 是 的估计量，定义1(,)nX 为估计量 的均方误差，证明：2(,)()MSE.22(,)()()SEDE其中, 表示估计量 相对于中心位置 的分散程度， 则是估计的偏差()D(平方，偏差和分散程度正是描述一个估计量表现的两个重要度量. 14. 设 为总体 的样本，证明:321,X，3216X255都是总体均值 的无偏

32、估计，并进一步判断哪一个估计较有效.15. 设 是取自总体 的一个样本，其中 未知.令nX,1 2(0,)N02，试证： 是 的相合估计.:221nix:2习题十 25习题十1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径 （单位：mm ）服从正态分布X.从某天生产的产品中随机抽取 6 个，量得直径如下：)20,(N14.7，15.0，14.9，14.8，15.2，15.1求 的双侧 0.90 置信区间和双侧 0.99 置信区间.2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 ， 未知.为了决定商店),(2N对该商品的进货量，需对 和 作估计，为此随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，

33、49，81，76，70，59，试求 的双侧 0.95 置信区间和方差 的双侧 0.90 置信区2间.3. 随机地取某种子弹 9 发作试验，测得子弹速度的 ，设子弹速度服从正态分1*s布 ，求这种子弹速度的标准差 和方差 的双侧 0.95 置信区间.),(2N24. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（单位：）正常情况下服从正态分布 ，且),(2N标准差 未知.现测量五炉铁水，其含碳量分别是：04.28，4.40，4.42，4.35，4.37，试求未知参数 的置信水平为 0.95 的置信下限和置信上限.5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布 .现抽查了 25 天，得),(2，求职工每天医疗费均值 的双侧

34、 0.95 置信区间.元元 ， 3017sx6. 一个容量为 n=16 的随机样本来自 和 未知的正态分布总体，已知样本均值和标准差 ，求 的双侧 0.95 置信区间 .2.9.2*7. 设 是取自总体 的一个样本，其中 服从参数为 的指数分布，其中nX,1 X未知， ，求参数 的双侧 的置信区间.01（提示：取枢轴函数 ，可以证明 ）22().n*8. 化工厂经常用不锈钢处理腐蚀性液体，但是，这些不锈钢在某种特别环境下受到应力腐蚀断裂.发生在某炼油厂和化学制品厂的 295 个不锈钢钢失效样本中，有 118 个是由于应力腐蚀断裂的，求由应力腐蚀断裂引起的不锈钢钢失效比率真值的置信水平为 95%

35、的置信区间.（提示：可用中心极限定理构造枢轴函数.）9. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线.设罐头重量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响.从甲生产线抽取 10 只罐头，测得其平均重量 g，已知501x其总体标准差 g；从乙生产线抽取 20 只罐头测得其平均重量 g，已知其总51 498y工程数学 概率统计简明教程（第二版）26体标准差 g.求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头重量的均值差的 的双侧42 210.99 置信区间.10. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命 和 （单位： ） ，随机地抽取甲、XY40h乙两种显像管各 10 只，得数据 和 且由此算得10,x 10,y

36、， ， ， .3.2x75.y5.27)(1ii 219)(10iiy假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等.试求两个总体均值之差 的双侧 0.95 置信区间.21*11. 在 3 091 个男生，3 581 个女生组成的总体中，随机不放回抽取 100 人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的 SE.*12. 抽取 1 000 人的随机样本估计一个大的人口总体拥有私人汽车的人的百分数，样本中有 543 人是拥有私人汽车的人， （1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（ 2）求总体中拥有私人汽车的人百分数的置信水平为 95的置信区间.习题十一 27习

37、题十一1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受 时，可能犯什么错误；1H在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝 时，可能犯什么错误.2 某厂生产的化纤纤度服从正态分布 .现测得 25 根纤维的纤度其样本均)04,(2N值 ，试用 p 值法检验总体的均值是否为 1.40.39.1x*3. 为了研究司机在驾驶车辆过程中使用手机的频率，在全国范围内随机选取了 1 165个司机作为一个样本，其中有 35 个正在使用手机，用 p 值法检验司机使用手机的真实比率p 是否等于 0.02？ =0.05.*4. 科学家研究暴露于低氧对昆虫死亡率的影响.在一个实验室里放置成千上万只昆虫，将他们放置于低

38、氧状态 4 天，结果发现其中 31 386 只死亡，35 只存活.以前的研究表明，暴露于低氧的死亡率为 99%，用 p 值法检验现在的昆虫暴露于低氧的死亡率是否高于99%? =0.1.5. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布 .现安装一台新机器，观测)25,10(N到九周平均每周开工成本 元，假定标准差不变，试用 p 值法检验每周开工平均成本75x是否是 100.6. 设 是取自总体 的一个样本的观测值，要检验假设),(251x )10,(， .:H0:1试给出显著性水平 检验的拒绝域 .R7 某纤维的强力服从正态分布 .原设计的平均强力为 6，现改进工艺后，)9,(2N某天测得 100

39、个强力数据，其样本均值为 6.35，总体标准差假定不变，试问均值的提高是否是工艺改进的结果（取 ）?05.8. 监测站对某条河流的溶解氧（DO）浓度（单位：mg/L）记录了 30 个数据，并由此算得 .已知这条河流每日的 DO 浓度服从 ，试在显著性水平2,5.sx ),(2N下，检验假设： ， .07.2:0H72:19. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了 25 件作寿命测试，得数据（单位：h），并由此算得 ， ，已知这种电子元件的使用寿命服从251,x 1x525109.4ix，且出厂标准为 90 h 以上，试在显著性水平 下，检验该厂生产的电子),(N .元件是否符合出厂标准，即检验假

40、设： ， .90:0H90:1*10. 一位研究某一甲虫的生物学家发现生活在高原上的该种类的一个总体，从中取出n=20 个高山甲虫，以考察高山上的该甲虫是否不同于平原上的该甲虫，其中度量之一是翅膀上黑斑的长度（单位：mm）.已知平原甲虫黑斑长度服从 的正态23.4,.50工程数学 概率统计简明教程（第二版）28分布，从高山上甲虫样本得到的黑斑长度 ，假定高山甲虫斑长也服从正3.2,0.4xs态分布，在显著水平 下分别进行下列检验：05.（1） 01:34(:.4);H（2） 22.05.11. 随机地从一批外径为 1 cm 的钢珠中抽取 10 只，测试其屈服强度，得数据，并由此算得 ， .已知

41、钢珠的屈服强度服从正态分布10,x x*s，在显著性水平 下分别检验：)(2N05.（1） 01:(:2);H（2） 2:0.12. 一卷烟厂向化验室送去 A，B 两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同.从 A，B 中各随机抽取重量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量（单位：mg）为：A：24，27，26，21，24，B：27，28，23，31，26.据经验知，尼古丁含量服从正态分布，且 A 种的方差为 5，B 种的方差为 8，取显著性水平 ，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？05.13. 某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件.现从两件铸件中各抽一个样本进行硬度

42、测试，其结果如下：镍合金铸件（ ）：72.0，69.5，74.0，70.5，71.8，X铜合金铸件（ ）：69.8，70.0 ，72.0，68.5，73.0，70.0.Y根据以往经验知硬度 ， ，且 ，试在),(21N),(2Y21水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高.0514. 用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定其某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）：原方法：26.9，25.7，22.3，26.8，27.2，24.5，22.8，23.0，24.2，26.4，30.5，29.5，25.1，新方法：22.6，22.5，20.6，23.5，24.3，21.9，20.6，23.2

43、，23.4.假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布，且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的平均含量有没有显著差异？取显著性水平为 0.05.15. 为了降低成本，某面包店在制作面包时采用了一种新的发酵方法.分别从新方法之前和之后制作的面包中随机抽样，并分析其热量.两组样本分析结果如下：新方法：n50， ，其中215,ys221(),niisy原方法：m30， ，其中130,8xs2211().miix假设采用这两种方法其热量均服从正态分布，且方差相同，从以上数据分析能否认为因为习题十一 29采用了新的发酵方法使每个面包的平均热量降低了.取显著性水平为 0.05.*16. 随机地挑选 20 位

44、失眠者分别服甲、乙两种安眠药，记录下他们睡眠的延长时间（单位：h） ，得数据 和 ，由此算得 ，10,x 10,y 01.,42*1sx.4,0.42*sy问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、乙两种安眠药的延长时间均服从正态分布，且方差相等，取显著性水平为 0.05.*17. 灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、黑色、肉桂色和棕色等四种颜色的后代，其数量的比例由遗传学理论是 9331.为了验证这个理论，作了一些观测，得到如下数据：实测数 理论数灰色 149 144（2569/16）黑色 54 48（2563/16）肉桂色 42 48（2563/16）棕色 11 16（2561/16）总

45、计 256 256问：关于兔子的遗传理论是否可信（ ）？05.*18. 某电话交换台在一小时（60 min）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有如下记录：呼唤次数 0 1 2 3 4 5 6 7实际频数 8 16 17 10 6 2 1 0问：统计资料是否可以说明，每分钟电话呼唤次数服从泊松分布（ ）？5.*19. 1976-1977 年美国佛罗里达州 29 个地区发生凶杀案中被告人判死刑的情况，白人参与凶杀案中被判死刑的比例要比黑人参与凶杀案中被判死刑的比例要高，具体数据如下： 被害人判刑结果 死刑 非死刑白人 30 184黑人 6 106那么被害人的肤色的不同对死刑的判罚有没有影响？取显著性水

46、平为 0.05.工程数学 概率统计简明教程（第二版）30习题十二1. 下表给出了 10 个 18 岁成年女孩的身高 x（单位：cm）和体重 y（单位：kg）的数据如下：序号 身高 x 体重 y 序号 身高 x 体重 y1 169.6 71.2 6 165.5 52.42 166.8 58.2 7 166.7 56.83 157.1 56 8 156.5 49.24 181.1 64.5 9 168.1 55.65 158.4 53 10 165.3 77.8假定体重服从正态分布.（1）构造体重 y 关于身高 x 的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？（2）给出体重 y 关于身高 x

47、的最小二乘回归直线.2. 考察修理（服务）时间与计算机中需要修理或更换的元件个数的关系.记录了一组修理记录数据如下：序号 修理时间 x 元件个数 y 序号 修理时间 x 元件个数 y1 23 1 8 97 62 29 2 9 109 73 49 3 10 119 84 64 4 11 149 95 74 4 12 145 96 87 5 13 154 107 96 6 14 166 10假定修理时间服从正态分布.（1）构造修理时间 y 关于修理的元件个数 x 的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？（2）给出修理时间 y 关于修理的元件个数 x 的最小二乘回归直线；（3）作回归系数 b

48、 的显著性 T 检验，取显著性水平为 5%；（4）给出 b 的置信水平为 95%的置信区间.3 假定一保险公司希望确定居民住宅火灾造成的损失数额与住户到最近的消防站的距离之间的相关关系，以便准确地定出保险金额.下表给出了 15 起火灾事故的损失及火灾发生地与最近的消防站的距离.序号 距消防站距离 x（km） 火灾损失y（千元） 序号 距消防站距离 x（km） 火灾损失y（千元）1 3.4 26.2 9 2.6 19.62 1.8 17.8 10 4.3 31.33 4.6 31.3 11 2.1 244 2.3 23.1 12 1.1 17.35 3.1 27.5 13 6.1 43.26 5.5 36 14 4.8 36.47 0.7 14.1 15 3.8 26.18 3 22.3 假定火灾损失数额服从正态分布.（1）构造火灾损失 y 关于距消防站距离 x 的散点图，该散点