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类型将军饮马问题拓展.doc

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:5884180
  • 上传时间:2019-03-20
  • 格式:DOC
  • 页数:4
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    1、1“将军饮马问题”的探究与启示【摘要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题,是较多学生解题的“障碍”问题,现通过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题”,利用“两点之间线段最短”加以证明,同时对数学教育工作者提出了启示。【关键词】轴对称 最小值 问题探究 问题启示【正文】一、问题再现基本问题:人教版八年级数学上册 P42有一道探究题,源于古希腊著名的“将军饮马问题”,大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。课文原题如下:如图 1,要在燃气管道 l 上修建一个泵站,分别向 A,B 两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? 课本给出了如下的作图及

    2、证明方法:如图 2,作 B 关于直线 l 的对称点 B,连结 AB与直线 l 交于点 C,点 C 就是所求的位置. 证明:如图 3,在直线 l 上另取任一点 C,连结 A C,B C, BC,因为直线 l 是点 B,B的对称轴,点 C,C在 l 上,CB=CB, CB= CB,AC+CB=AC+C B=A B . 在A CB中,A BA C+ CB,AC+CBA C+ CB即 AC+CB 最小.反思:本问题实际上是利用轴对称变换的思想,把 A,B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短” ,即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中 C 在 A B与 l 的交

    3、点上,即 A、C 、B三点共线)。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型。二、问题探讨1、在三角形(或四边形)中的运用:已知正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且DM=2,N 是 AC 上的一动点。则 DN+MN 的最小值为多少?2分析:要求 DN+MN 的最小值,联想“将军饮马问题”,作点 M 关于 AC 的对称点 E,且易知点 E 应该在线段 BC 上,这样 MN=NE,那么题目就转化成求 DN+NE 的最小值了,由于点 N 在 AC 上移动且D、N、E 可能构成一个三角形,因为“两点之间线段最短 ”,所以,当点 N 移动到 DE 与

    4、 AC 交点处,即点 D、N、E 共线时,DN+NE=DE=10,达到最小值。反思:若引导学生把题中的 D、M 看着是基本问题中的 A、B 两点,把 AC 看着是基本问题中的燃气管道 l,本问题即为基本问题,学生可通过基本问题的联想和迁移解决本问题。2、在平面直角坐标系中的运用:(2009 年济南)已知:抛物线的对称轴为 X=1,与轴交于 两点,与 轴交于点 其中 、xAB, yC, 30, 2C, (1)求这条抛物线的函数表达式(2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 的周长最小请求出点BP 的坐标(3)若点 是线段 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合) 过点DOD 作 交 轴于点 连接

    5、、 设 的长为 ,EC xE Dm的面积为 求 与 之间的函数关系式试说明 是否存在 SmS最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由。 分析:(本题只对第 2 问作详细分析)(1)抛物线的解析式为.(2)连结 AC、BC.因为 的长度一定,要使 周长最小,就是使243yxBCPBC最小。B 点关于对称轴的对称点是 A 点,通过 、C(0,-2) 可求 AC 的解析式PC 30,为 AC 与对称轴 的交点即为所求的点 。 (3)当 时,23yx 1x41, 1m34S最 大反思:本题对第 2 问的解答是转化为“求定直线 上一动点与直线外两定点 B、C 的x距离和的最小值” ,它的原型就

    6、是“将军饮马问题”的基本问题,由于和函数结合一起,增加了命题的想象空间,这里,蕴含了丰富的“数”与“形”相互转化的数学思想。3、在代数式中的运用:已知 a 、b 均为正数,且 a+b=8,求代数式的最小值。16422ba分析:由 a 、 b 均为正数,且 a+b=8,得 = 16422ba,构造合适图形可将其转化为求两条线段和的)8(22最小值问题。如图,取 AC=2,BD=4 ,AB=8,作 C 关于 AB 的对称点 C,连接 CD 交 AB于 P,连接 CP,设 PA=a,则 PB=8a,CP= ,DP= 。此时 C、P、D16)8(2a三点共线,CD=CP+DP= =10 为最268小值

    7、。3反思:正是由于 a 、b 均为正数,可以把此题构造“将军饮马问题”的基本图形,顺利地求出 的最小值为 13,想法新奇但又顺理成章。9422a三、问题推广1、由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题:义务教育课程标准实验教科书八年级上册 P47第 9 题,如图,A 为马厩,B 为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边给马喝水,然后回到帐篷,请你帮助他确定这一天的最短路线。分析:作 A 关于 MN 的对称点 G,B 关于直线 l 的对称点 H,连接 GH 交 MN 于 I,交直线 l 于 L,

    8、连接AI、BL ,即可得出答案;反思:根据对称点推出AI=GI, BL=HL,HK=BK,AJ=GJ ,则四点 G、I 、 L、H 在同一直线上(基本问题中三点共线的推广),根据两点之间线段最短即可求出答案。2、从用“三角形周长最短”证明推广到用“一边为定值的四边形周长最短”的证明:在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3, OB=4,D 为边 OB 的中点若 E、F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形CDEF 的周长最小时,求点 E、F 的坐标分析:由于 DC、EF 的长为定值,如果四边形 CDEF 的

    9、周长最小,即 DE+FC 有最小值为此,作点 D 关于 x 轴的对称点 D,在 CB 边上截取 CG=2,当点 E 在线段 DG 上时,四边形 CDEF 的周长最小反思:此题主要考查轴对称最短路线问题(将军饮马问题),它是在基本图形证明线段和(一边为定值的三角形周长)最短的基础上增加了平移的线段(GE )和(两边为定值的四边形周长)最短的问题,只要学生充分体会“将军饮马”的问题,通过对基本问题知识的类比与迁移,可以解决此问题四、问题启示基于对“将军饮马问题”的探索,笔者认为对数学教育工作者有两方面的启示:1、对习题设计者(试卷命题者)的启示:对习题的变式题的设计要“从学生发展的内在需要出发,从

    10、教学内容的发生、发展过程的角度出发” ,能融数学的教与学为一体,重视知识的形成过程,重视知识的“内化” ;对试题的设计要立足于教材,对例题或基本图形进行深入的挖掘,以教材的例题或基本图形为起点,结合学生的生活经历,难度视本题型在试卷所处的位置而定。2、对教师教学的启示:从本文的解法反思中可以看出,即使是比较复杂的问题,所用到的地地 KI LlM B HAGNJ4知识也是简单的基础问题,这就要求教师在日常的教学中,特别是单元复习和中考复习时,不仅要从不同角度去分析问题,还原知识的发生、发展及形成的过程,教给学生解题的方法,而且要与学生共同探究基本问题与解题的联系,使学生能够说出“为什么这样想” 、 “用到哪些知识”等,增强学生解答综合题的信心,提高学生解答综合题的成功率。参考文献:1、金建荣. 趣谈将军饮马问题J. 中学生数学(初中版).2005(2)2、刘金英、张义民、王立明. 中考数学试题分类解析(二) J。中国数学教育(初中版).2011(1-2)

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