1、1让学生有效参与课堂教学“向量的正交分解与向量的直角坐标运算”教学实录及反思赵玉娟（威海市第三中学） 邹玲（威海市第二中学）2009 年 4 月 15 日，威海市教研中心“普通高中新课程有效教学研究” 课题组 数学子课题组 在威海市第三中学 组织了一次课堂教学观摩研讨活动，在本次活动中，赵玉娟老师执教了“ 向量的正交分解与向量的直角坐标运算” 一节 公开课威海三中是一所生源 质量较差的农村中学，在本节课中赵老师通过较好的教学设计，使学业基础较差的学生都能积极地参与到教学中，取得了较好的教学效果，受到与会老师的好评本文是本节课主要教学过程的实录和课后研讨反思的整理，供广大同行在开展课堂有效教学研
2、究中交流参考一、课堂教学实录师：今天我们先来看一道物理题（多媒体展示图片），一个物体放在光滑的斜面上，它受到了几个力的作用？请同学们作一下受力分析（学生们刚要七嘴八舌地说，老师用手势示意要举手回答并示意一位举手的同学起来回答 ）生 1：物体受到重力和斜面对它的支持力两个力的作用师：物体在这两个力的作用下，是保持静止吗？还是以什么形式运动？生 1：物体会沿斜面下滑师：物体只受到了重力和斜面对它的支持力这两个力的作用，并没有受到沿斜面方向的力，却为什么会沿斜面下滑呢？生 2：因为重力能分解为物体对斜面的压力和使物体下滑的力师：重力分解出的这两个力在力的方向上有什么关系？2生 2：垂直师：很好我们知
3、道重力是一个向量，在这个例子中重力这个向量被分解成了两个方向互相垂直的向量像这样把一个向量分解为两个互相垂直的向量，就叫做把向量正交分解 （板书）这是本节课要学习的第一个定义师：大家再考虑第二个问题：在直角坐标系中，每个点都对应唯一的一个坐标，点的坐 标是如何定义的呢？生 3：过该点向 x 轴作垂 线，垂足所对应的是该点的横坐标同理过该点向 y 轴作垂线，得到 该点的纵坐标师：很好这样每个点都能找到它所对应的唯一的一组有序实数对，也就是它的坐标那么， 对于平面内的每一个向量是否也存在一个有序实数对与之对应呢？（停顿）我们先来看这样一个问题 （多媒体展示问题一）问题一：如图，向量 e 1，e 2
4、 分别是直角坐标系中与 轴、 轴同方向的单位向量，试xy用向量 e 1，e 2 分别表示向量 a，b，c，d学生在黑板上板书：a = 2 e 1 + 3 e 2， b = 2 e 1 + 3 e 2，c = 2 e 1 3 e 2, d = 2 e 1 3 e 2 （教师巡回 订正答案）师：问题一实际上就是把向量 a，b，c，d 以 e 1，e 2为基底进行正交分解象这样由 e 1，e 2 两个互相垂直的基向量组成的基底叫做正交基底，正交分解实际上就是把向量在正交基底下进行分解而在直角坐标糸中分别取与与 轴、 轴同方向的单位向量建立一个正交基底xy是我们今后学习中常用的方法，这个基底也叫做直角
5、坐标糸 的基xOy底好了，现在请大家思考， a，b，c，d 这几个向量在刚才的正交分解中所得到的结果，也就是刚才用向量 e 1，e 2 分别表示出来的分解式是O e1e2abc dxy3不是唯一的？为什么？师：可以在小组内讨论一下（学生小组讨论）生 4：根据平面向量基本定理可知分解式是唯一的生 5：因为基底 e 1，e 2 是确定的，所以 a，b，c，d 每一个向量都存在唯一的实数对与它相对应，也就是说分解式是唯一的师：很好这样问题一中的向量 a 就与唯一的实数对（2，3）相对应我们回 头看看，e 1，e 2 是两个什么样的向量？生 6：互相垂直的单位向量生 7：是直角坐标系内与坐标轴方向相同
6、的两个单位向量，也就是直角坐标糸 的基底xOy师：生 7 回答得非常好，非常准确此时我们就说数对（2，3）是向量 a 在这个直角坐标系内的坐标，记作 a =（2，3）师：谁来说一下向量 b，c，d 的坐标分别是多少？生 8：分别是（ 2，3）、（2，3）、（2，3）师：以此题为基础，各小组讨论一下，如何定义坐标平面内的任意一个向量的坐标？（学生各小组讨论）生 9：先确定直角坐标系的基底，然后写出向量 a 关于这个基底的分解式 a = a1e 1 + a2e 2，分解式中两个基向量的系数 a1，a2 就是向量a 的坐标师：准确地说是两个基向量的系数 a1，a2 所组成的有序实数对（a1，a2）就
7、是向量 a 的坐标记作 a =（a1，a2）这是我们今天学习的第二个定义 （板 书定义）师：这个定义是准确的，但我想问的是 a1，a2这两个数具体是怎样求出来的？4生 10：在直角坐标系中过向量 a 的起点、终点分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分 别记为 A1，A2，B1，B2，然后分别找出向量 在 x 轴1AB上的坐标 a1 和 在 y 轴上的坐 标 a2 就可以了2B师：很好 （根据生 10 所说在黑板上作图）也就是说一个向量在坐标平面内的坐标，实际上是通过把这个向量进行正交分解后，转化成两个分向量在两个坐标轴上的坐标来定义的大家体会一下，这种定义方式和我们学习过的点在坐标平面内的坐标
8、的定义方式是完全一致的，也是先定义了数轴上的点的坐标，然后推广到坐标平面内的情况，体现了由 线到面，由一维到二维的思想方法师：下面我们一起来做几个练习（多媒体展示练习：已知在直角坐标系 中， ， ，xOy(1,0)A(,1)B，求向量 ， ， 的坐标 ）(2,3)POABP（学生板书： ， ， ）(1,0)(,1)(2,3)P师：观察这三个向量的坐标与它的终点坐标之间有什么关系？生 11：一样的师：这三个向量在位置上有什么共同点？生 11：起点都在原点师：由此，你能得到什么结论？生 11：起点在原点的向量的坐标等于它的终点的坐标师：很好这是我们得到的第一个结论 （板书：结论一）（多媒体展示思考
9、题：当点处在坐标系中的不同位置时，其坐标也就不同那么如果一个向量在坐标系中平移时，其坐标会怎样呢？）（学生思考）生 12：不变因为向量平移以后，过它的起点和终点向 x 轴、y 轴5作垂线，得到的两个分向量的长度和方向与平移之前都保持不变，所以它的坐标不变（教师用多媒体辅助演示）师：这样我们就得到了第二个结论：向量平移坐标不变（板书结论二），这和点在坐标平面内的情况有所不同师：前面我们除了学习了向量的加法、减法和数乘向量三种向量的运算之外，还学习了一种向量间的特殊运算，就是轴上向量的坐标运算既然轴上向量的坐标可以推广到平面内的向量的坐标，那么轴上向量的坐标运算，就应该也能推广到平面内向量的坐标运
10、算大家看问题二（多媒体展示问题二：已知向量 a ，b ，你能得出1(,)xy2(,)xy向量 a b，a b， a 的坐标吗？）师：大家可以在小组内讨论一下（学生小组讨论）生 13：向量 a b 的坐标是 ，（教师板书等式）向量 a 1212(,)xyb 的坐 标是 ， a 的坐标是 1212(,)xy1(,x师：哪位同学上来选择其中的一个等式来加以证明（学生在黑板上板演 a b 的 证明过程）1212(,)xy师：有了这三个公式，我们就可以用直角坐标来进行向量的加法、减法和数乘运算下面我们做几道练习，熟练一下公式（多媒体展示练习，学生板书，订正答案）师：（小结）请看黑板，今天我们主要学习了两
11、个定义、两个结论、6三个运算公式，请大家课后认真阅读一下教材上本节课的内容，然后再完成作业 （布置作业，略）二、反思本节课有两个主要特点，首先是学生参与课堂教学的效果比较好，可以说是有效地参与到课堂教学中了，学生们通过独立思考、小组讨论、回答问题 、练习、板演等形式 积极地投入到学习中去，经历了知识主要的发生发展的过程，对培养学生形成积极向上的健康心理、严谨思维以及探索创新等良好个性品质都起到了比较好的作用有效教学不仅是要在知识的传承和掌握上追求高效率高效益，更重要的是要在学生综合素质的发展上追求追求高效率高效益，这就要求在课堂教学教学中必须把学生的终身发展放在第一位要实现这个目的，就必须让学
12、生积极主动地参与到课堂教学中，在课堂教学中唱主角本节课为了达到这一目的，主要从提出问题和教学形式两个方面进行了一些有效的设计本节课的几个主要问题，象在坐标系基底下向量正交分解的分解式是否唯一，如何定义坐标平面内作任一向量的坐标，怎样用直角坐标进行向量的线性运算等都是本节课知识内容的核心问题，是学生能否实现自我知识建构的关键在传统的教学模式中，象这样的问题通常都是由教师直接讲述，特别在学生基础不太好的情况下，更是直接灌输给学生甚至直接要求学生背下来就可以了，对学生个性品质的培养可以说是无从谈起在本节课中，教师敢于把这样的教学重点难点问题放手给学生，充分体现了执教者先进的教育教学理念7本节课中教师
13、围绕这几个核心问题，在每个环节上设置了一系列的辅助性的问题，不断地引导和启发学生积极思考，进而成功地突破了教学的重难点，取得了较好的教学效果，展现了教师较好的教学艺术但有些 问题的设计目的性太强，没有给学生留下充足的思维空间例如在学习“ 起点在原点的向量的坐标等于它的终点的坐标” 这一内容时，当学生在黑板上板书完“ ， ， ”(1,0)OA(,1)B(2,3)OP后，教学过 程如下：师：观察这三个向量的坐标与它的终点坐标之间有什么关系？生：一样的师：这三个向量在位置上有什么共同点？生：起点都在原点师：由此，你能得到什么结论？生：起点在原点的向量的坐标等于它的终点的坐标师：很好这是我们得到的第一
14、个结论 （板书：结论一）这一环节看似比较流畅，但几个问题的思维含量都比较低，对学生能力的培养没有太大的价值，而且明显的目的指向限制了学生的真正思考在其他的环节中也有类似情况存在本节课在教学形式上多次鼓励学生地到黑板上进行板书演示，在问题探究有困难的时候，组织学生进行小组讨论、合作交流，这些做法在一定程度上提高了学生有效参与课堂教学的兴趣和效果本堂课共有三次小组讨论第一次是教师给出思考题，没有学生举手回答时组织的；第二次是给的问题太过抽象，很难表述规范答案8时安排的；第三次是讨论如何推导向量的坐标运算公式，这个问题比较简单，用时也比较少从实际效果来看，第一次讨论最成功，第三次讨论没太有必要，因为
15、问题太简单，不需讨论也很容易得出正确结论第二次讨论因为问题太过抽象，而且教师的语言表述不很准确，效果也不理想因此，合理安排小组讨论的关键取决于教师设计的问题是否有讨论价值，只有多数学生独立思考不易直接得到答案，但是通过学生的讨论交流互相补充能够作出回答的问题，才是需要讨论的最佳问题本节课的第二个主要特点是教师的语言比较有效，非常值得借鉴要提高 课堂教学的效率，有效地运用教学语言是非常重要的一个方面，许多老 师在这一点上没有引起足够的重视，影响了课堂教学的有效性本节课教师语言的有效性突出表现在两个方面，第一是无关紧要的话不说，不啰嗦例如在引入课题和课堂小结时都干脆利落、不拖泥带水第二，也是最重要
16、的一点，学生回答问题时教师不重复、不抢话、不打断、不阻 拦在传统的教学观念中，教师重复、修正学生的回答，可以加深学生的印象，帮助学生巩固知识，尽快掌握正确的结论特别是当学生回答问题的声音比较小时，教师往往会大声重复，以期让全班同学都能听到这样 教师的提问就单纯地成为对单个学生掌握情况的反馈 实际上，让学生准确规范地回答问题，不仅是提供一个对学生综合素质极佳的培养锻炼机会，也是搭建一个全体同学同时与之交流沟通的学习平台，促进大家对自我知识结构的强化和批判在本节课中，9教师每个问题只问一遍不罗嗦、不重复 这样不但节省了时间，而且学生在听讲时全神贯注，唯恐漏听或听不清问题，无形中增加了课堂的吸引力教
17、师在学生回答问题时不重复学生的回答学生若声音太小，则让学生自己重复，让全班听清学生若表述不当，则让其他学生或学生自己补充修正，教师只做简单点评这样不仅有效地锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生良好的心理素质，并且最大化地发挥了学生回答问题的教学价值，所有的学生都在同时积极地思考回答得是否正确或如何进行改正，极大地提高了课堂教学的有效性当学生在回答问题时抢话或打断学生的回答，是许多教师易犯的毛病这样 做的教师常常认为及时将学生拉回到正确的思路上可以避免学生犯错误，并节省教学时间殊不知经历挫折和失败正是学生自我建构知识体系的重要过程，也是对学生进行思维锻炼和综合素质培养的重要过程本节课中教师对学生走上“ 弯路” 时的处理方法是先让学生说完，然后引导启发其他的同学或学生自己进行补充或更正，课堂效果比较好另外，教师在本节课中的教学语言方面也存在着一些问题，主要是有些表述不很准确，还需要进一步改进
