1、复合函数在高考命题中的赏析河师大附中 张自发一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y关于 x 函数的 y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知 的定义域，求 的定义域fx()fx()思路：设函数 的定义域为 D，即 ，所以 的作用范围为 D，又 f 对f作用，作用范围不变，所以 ，解得 ， E 为 的定义域。g() g)(xfgx()例 1. 设函数 的定义域为（0，1 ） ，则函数 的定义域为_。fu() f(ln)解析：函数 的定义域为（0 ，1）即 ，所以 的
2、作用范围为（0，1）u0， f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 1lx解得 ，故函数 的定义域为（1，e）xe()， fx(ln)例 2. 若函数 ，则函数 的定义域为_ 。ff()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知x()1x即 f 的作用范围为 ，又 f 对 f(x)作用xR|所以 ，即 中 x 应满足ff()()且 1f()fx1()即 ，解得x1x2且故函数 的定义域为f()Rx|1且（2 ） 、已知 的定义域，求 的定义域gxf()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ，所以 f 的作用范围为f()xgxE()E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 为 的定义域。
3、， f例 3. 已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为_。()32x12， x()解析： 的定义域为 ，即 ，由此得fx， ， 3215x，所以 f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以15， x15，即函数 的定义域为x()，例 4. 已知 ，则函数 的定义域为_ 。fx()lg2248fx()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知fxx()lg2248x20解得 ，f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x24()， ，即 的定义域为()， x()4，（3 ） 、已知 的定义域，求 的定义域fgfhx()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ， 的作
4、用范围为()gxE()fE，又 f 对 作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，F 为 的定义hx()hx()域。例 5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_。fx()21， fx(log)2解析： 的定义域为 ，即 ，由此得fx()， x1， 12x，的作用范围为f12，又 f 对 作用，所以 ，解得log2xlog21x， x24，即 的定义域为f(l)24，评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步
5、练习：1、 已知函数 )x(f的定义域为 1,0，求函数 )x(f2的定义域。答案： 1,2、 已知函数 )x23(f的定义域为 3,，求 )x(f的定义域。答案： 9,3、 已知函数 )(fy的定义域为 )0,1(，求 |)12(|f的定义域。答案： 23,1)0,(4、设 ，则 的定义域为（ ）xxflgxff2A. B. 4,0,4,1,C. D. 21 2解：选 C.由 得， 的定义域为 。故 ，解得0x()fx|x2,.x。故 的定义域为4,1,xxff24,1,5、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf )3,1()0()(axffxg解析由已知，有 .23,231,axa
6、x（1 ）当 时，定义域为 ；a|（2 ）当 ，即 时，有 ，23102a定义域为 ；|ax（3 ）当 ，即 时，有 ，a2312a定义域为 .|x故当 时，定义域为 ；123|ax当 时，定义域为0a.|点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题（ 1）引理证明已知函数 .若 在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又)(xgfy)(xguba,(函数 在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 在区间 ）)(uf )(xgfyba,(上是增函数.证明：在区间 ）内任取两个数 ，使ba, 21,xb21因为 在区间 ）上是减函
7、数，所以 ,记 , )(xg,( )(xg)(1xu即2u),21,21dcu且因为函数 在区间(c,d)上是减函数，所以 ,即fy 21ff，)()(21xf故函数 在区间 ）上是增函数.gfba,(（2 ） 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3 ）、复合函数 的单调性判断步骤：)(xgfy 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。)(ufy)(xg 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若
8、两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一)(xgfy个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 为减函数。)(xgfy（4 ）例题演练例 1、 求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明 奎 屯王 新 敞新 疆)32(log1xy解：定义域 102 x或单调减区间是 设 则 ),3(221),3(,xx且log121y )3log21y=)(2x)(2x)(x 31201012 又底数 )(x)3(2x 即 012y1y 在 上是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆),3(同理可证： 在 上是增函数 奎
9、 屯王 新 敞新 疆),例2、讨论函数 的单调性.)23(log(xxfa解由 得函数的定义域为012.3,|x或则当 时，若 ， 为增函数， 为ax12xu )123(log)(xxfa增函数.若 ， 为减函数.31x2 为减函数。)1(log)(xfa当 时，若 ，则 为减函数，若 ，则0)123(log(xfa 31x为增函数.)23(l)(xfa例 3、.已知 y= (2- )在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogx解：a0 且 a1当 a1 时，函数 t=2- 0 是减函数x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是增函数，lx aloga1由
10、x 0，1时， 2- 2-a0,得 a2,xa1a2当 00 是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是减函数，alogx alog0a1 奎 屯王 新 敞新 疆由 x 0，1时， 2- 2-10, 0a1xa综上述，0a1 或 1a2 奎 屯王 新 敞新 疆例 4、已知函数 （ 为负整数）的图象经过点2)3()(2axf，设 .问是否存在实数 使得Rm),02( )(,xfpgFfxg )0(p在区间 上是减函数，且在区间 上是减函数？并证明你的结论。xF)2(,f0,(f解析由已知 ，得 ，02)32ama其中 即 ，.,a93解得 .
11、7213721 为负整数， aa ，1)(34)( 2xxf即 ，.12 242)() xfg .()(4pfpF假设存在实数 ，使得 满足条件，设 ，)0)(xF21x .()( 212121 xx ，当 时， 为减函数，3f )3,)( ，0)(21F .01,02121 pxp , ,x8x ,6)(21pp .06当 时, 增函数,)3(,21x(xF.0)(21xF , ,62)21pp . 06由、可知 ，故存在6.1（5）同步练习：1函数 y （x 23x2）的单调递减区间是（ ）1logA （，1） B （2，）C （ ， ） D （ ，）3解析：先求函数定义域为（o，1 ）（
12、2，） ，令 t（x ）x 23x2 ，函数t（x ）在（ ，1）上单调递减，在（2 ，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y （x 23x 2）在（2，）上单调递减1log答案：B2 找出下列函数的单调区间.（1 ） ；)1(23ayx（2 ） .2答案：(1)在 上是增函数，在 上是减函数。,(),23（2 ）单调增区间是 ，减区间是 。113、讨论 的单调性。)0,(),logaayx且答案： 时 为增函数， 时， 为增函数。,0()0,(4求函数 y （x 25x4 ）的定义域、值域和单调区间31l解：由 （x）x 25x40，解得 x4 或 x1，所以 x（，1 ）（4
13、， ） ，当 x（，1）（4 ，） ， x 25x4 R ，所以函数的值域是 R 因为函数 y （x 25x4 ）是由 y （x）与 （x）31log31logx 25x 4 复合而成，函数 y （x）在其定义域上是单调递减的，函数 （x）x 25x 4 在（， ）上为减函数，在 ，上为增函数考虑到函数的定252义域及复合函数单调性，y （x 25x 4）的增区间是定义域内使 y （x）31log 31log为减函数、 （x）x 25x 4 也为减函数的区间，即（ ，1） ；y （x 25x4 ）的减区间是定义域内使 y （x）为减函数、 （x ）31log 3logx 25x 4 为增函数的区间，即（4，）
