1、第 1 页 共 10 页2015-2016 学年度普宁华侨中学高三级第一次月考试题理科数学 2015 年 10 月 5 日第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 在复平面上对应的点位于（ ）3iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设 cos( ) ( b0)椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P， |PF|53(1)求椭圆 C1 的方程；(2)过点 A 的直线与椭圆 C1 相交于 M、N 两点，求使 成立的动点 R 的轨迹方( 1，0) FM FN FR 程21. （本小题满分
2、12 分）已知函数 ，其中 a 为常数，且 xaxxf )12(ln)( 0A BA1 CDB1C1 D1E第 4 页 共 10 页（1）当 时，求 的单调区间；a()fx（2）若 在 处取得极值，且在 上的最大值为 ，求 a 的值.()fx1e,01选做题：请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答，并按要求在答题卷上注明题号多答按所答的首题进行评分22（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲。如图，过圆 外一点 作它的一条切线，切点为 ，过 作直线 于 OMAPOM(1)证明： ； 2AP(2) 为线段 上一点，直线 且交圆 于 点，过 点的切线交直线 于 .NNBOBNK证明
3、： 09K23（本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程。直线 ,:(),:2cos()124xatl Cy 为 参 数 圆 （极轴与 轴的非负半轴重合，且单位长x度相同） （1）求圆心 C 到直线 l的距离；（2）若直线 l被圆 C 截的弦长为 65,a求 的值。24。（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲。已知函数 3fxxa当 时，解不等式 ；12a12f若存在实数 x，使得不等式 成立，求实数 的取值范围aKBPAO MN第 5 页 共 10 页理科数学月考 1 参考答案一、选择题：BCDAD BCDAD AB二、填空题:13、1 14、 15、 16、201623
4、5()4xy3,012、 解：令 ，21()gxf 2211()()0gxfxfx函数 为奇函数 时， ，函数 在 为减函数(0,)x/()0xfx()gx(0,)又由题可知， ，所以函数 在 上为减函数0,fgR2211(6)(186()(6)(860fmmm即 ，)gg,316、 (20(3(20)(0)ffff 16)4)14216 (2016)f三、解答题：17解：（1）由 ，得 ，即 ， （2 分）nan11()na1na当 时， （3 分）2n312412324n 即 ； （4 分）an因为 ，所以 （ ） （5 分）1n*N（2）由 与 ，得 （6分）nabnnb2 （7分）23
5、1nT （8分）4 12()2n得 （11分）23n第 6 页 共 10 页 （12分）1()2nnT18解：() 证明： 1D面 ABC， E面 ABCD 所以 1CE （ 1 分）RtAE中， ， 2 （3 分）同理： 2C，又 ， 2 （4 分）D 所以， E面 1 （5 分） 又 1E面 1 所以， DC （6 分）()解法一：几何法 由（）证可知 1是所求二面角 1ED的平面角。 （8 分）在 RT1中， ， 2；故， 21tan1（10 分）即二面角 1DEC的大小的余弦值为 63（12 分）解法二：利用向量法设平面 1的法向量为 )1,(yxm，由( )得 )1,(1ED， )0
6、,1(C （7 分）0yxm且 0E解得： 2,即 ),2(； （9 分）又平面 CDE的法向量为 11， 364|,cos11 m所以，二面角 1DEC的余弦值为 。 （12 分）19解：（1） （1 分）87902951,x（2 分）6405y25221()(41)3,iix51()()()10()12435,iiiy（4 分）3.0,4b， （5 分）73.91.xya A BA1 C YD B1 C1D1 Ex yz第 7 页 共 10 页故回归直线方程为 . （6 分）1.037yx（2）随机变量 的可能取值为 0，1，2. （7 分）（9 分）24(0);6CP24();3CP24
7、1().6CP故 的分布列为0 1 2P636（10 分）所以 . （12 分）1210E20解：(1)抛物线 C2：y 24x 的焦点 F 的坐标为 ，准线为 x1，(1，0)设点 P 的坐标为 ，依据抛物线的定义，由 ，得 1x 0 ，解得 x0 . (2 分)(x0，y0) |PF|53 53 23因为点 P 在抛物线 C2 上，且在第一象限，所以 y 4x 04 ，解得 y0 .所以点 P 的坐标为 . (3 分)2023 263 (23，263)因为点 P 在椭圆 C1： 1 上，所以 1. x2a2 y2b2 49a2 83b2又 c1，且 a2b 2c 2b 21, 解得Erro
8、r! . 所以椭圆 C1 的方程为 1. (5 分)x24 y23(2)设点 M 、N 、R ，则 ， ， .(x1，y1) (x2，y2) (x，y) FM (x1 1，y1) FN (x2 1，y2) FR (x 1，y)所以 .(6 分)FM FN (x1 x2 2，y1 y2)因为 ，所以 x1x 22x 1，y 1y 2y. FM FN FR 因为 M、N 在椭圆 C1 上，所以 1， 1.x214 y213 x24 y23上面两式相减得 0. (x1 x2)(x1 x2)4 (y1 y2)(y1 y2)3把式代入 式，得 0.(x 1)(x1 x2)4 y(y1 y2)3当 x1x
9、2 时，得 . (8 分)y1 y2x1 x2 3(x 1)4y设 FR 的中点为 Q，则 Q 的坐标为 .(x 12 ，y2)因为 M、N、Q、A 四点共线，所以 kMNk AQ，即 .y1 y2x1 x2y2x 12 1 yx 3第 8 页 共 10 页把式代入 式，得 ，化简得 4y23 0. (10 分)yx 3 3(x 1)4y (x2 4x 3)当 x1x 2 时，可得点 R 的坐标为 ，( 3，0)经检验，点 R 在曲线 4y23 0 上( 3，0) (x2 4x 3)所以动点 R 的轨迹方程为 4y23 0. (12 分)(x2 4x 3)21 解：显然函数 的定义域为（0，+
10、）.xf（1）当 时， ， （1 分）axf3ln)(2xf)(2令 ，解得 .0)(xf12,x当 时， ，所以函数 在 上单调递增； （2 分）20)(f()fx21,0当 时， ，所以函数 在 上单调递减； （3 分）1x)(xf()f,当 时， ，所以函数 在 上单调递增； （4 分）0x,1所以 的单调递增区间为 , ；单调递减区间为 . （5 分）)(xf)2(+（ ， ） )1,2(（2）因为 xaxaf )(112 令 ,解得0)(xf12,因为 在 处取得极值，所以 ，即 . （6 分）)(f12x2a当 ，即 时，0a021ax因为当 时， ，所以 在（0，1）上单调递增；
11、当 时， 所以)(f)(xf ex10)(xf在 上单调递减；故 在区间 上的最大值为 .)(xf1,efe,()f由 ，解得 . （7 分）2a当 ，即 时，2102x第 9 页 共 10 页因为当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， ，所ax2100)(xf)(xf)21,0a12xa0)(xf以 在 上单调递减；当 时， ，所以 在 上单调递增；故 在)(f), e1)(f)(f,e)(f区间 上的最大值 1 只可能在 或 x=e 处取得.e,0a2因为 ，21()ln()ln102 4faa所以由 ，解得 . （9 分）)(l)(2eef 2e当 ，即 时，12aeax12因为当
12、时， ，所以 在（0，1）上单调递增；当 时， 所以0x0)(f)(xf ax210)(xf在 上单调递减；当 ， ，所以 在 上单调递增；故 在)(f)21,aea2)(f)(fe, )(f区间 上的最大值 1 只可能在 x=1 或 x=e 处取得.e,0因为 ，0)1()(ln)1( f所以由 ，解得 （舍去）. （10 分）)2(l)(eaef 21ea当 ，即 时，a210x2因为当 时， ，所以 在（0，1）上单调递增；当 时， 所以0)(f)(xf ex10)(xf在（1，e）上单调递减；故 在区间 上的最大值 1 只可能在 x=1 处取得.)(xf e,因为 ，所以此时 a 无解
13、. （11 分）)()12(lnaa综上所述， 或 . （12 分）e22解：证明：（1）由 是圆 的切线知: （2 分）MAOAM又 ；APO 在 中，由射影定理知： （4 分）Rt 2P第 10 页 共 10 页（2）证明：由 是圆 的切线知： 同（1） （6 分）BKOBNOK2BONK由 OA得： （7 分）MP即: 又 ，则 （9 分）PNPMV: （10 分）09(用 四点共圆来证明也得分 )K、 、 、23解：（1）把 tyax214化为普通方程为 ,02ayx （2 分）把 )cos(2化为直角坐标系中的方程为 ,yx (4 分)圆心 到直线的距离为 5|a (5 分),C（2）由已知圆的半径为 ，弦长的一半为 (7 分)23所以， (8 分)2135a02a， 2或 (10 分)24解:(1) （1 分）1(2()353)xfxx等价于 或 或 （3 分）1()2fx211523xx解得 或 ，所以不等式的解集为 （5 分）34x|4(2)由不等式性质可知 （8 分）()()=3fxaxa若存在实数 ，使得不等式 成立，则 ，解得xf32实数 的取值范围是 （10 分）a3(,2
