1、197协方差分析第一节 协方差分析的意义协方差分析有二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。一、对试验进行统计控制为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重(记为y)的回归关系，将仔猪增
2、重都矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。若y的变异主要由x的不同造成(处理没有显著效应)，则各矫正后的 间将没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。若y的变异除掉x 不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各 间将y有显著差异(但原y 间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的 和原y的大小次序也常不一致。所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真
3、实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析(analysis of covariance)。二、估计协方差组分在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式： 22)()(yxr若将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，得（10-1）)1()1(/22nynxr其中是x的均方MS x，它是x 的方差 的无偏估计量；1)(2n 2x是y的均方MS y，它是y 的方差 的无偏估计量；y198称为x与y 的平均的离均差的乘积和，简称均积，记为MP xy，即1)(nxMPxy= = （10-2）1)(nyx1)(nyx与均
4、积相应的总体参数叫协方差（covariance），记为COV( x,y)或 。统计学证明了，x均积MP xy是总体协方差COV(x,y )的无偏估计量，即 EMP xy= COV(x,y)。于是，样本相关系数r可用均方MS x、MS y，均积MP xy表示为：（10-3）MSPr相应的总体相关系数 可用x与y的总体标准差 、 ，总体协方差COV( x,y)或xy表示如下：xy（10-4）yxyxCOV),(均积与均方具有相似的形式，也有相似的性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分而获
5、得相应的均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的方法亦称为协方差分析。在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方EMS的关系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值。同样，在随机模型的协方差分析中，根据均积MP和期望均积EMP的关系，可得到不同变异来源的协方差组分的估计值。有了这些估计值，就可进行相应的总体相关分析。这些分析在遗传、育种和生态、环保的研究上是很有用处的。由于篇幅限制，本章只介绍对试验进行统控制的协方差分析。第二节 单因素试验资料的协方差分析设有k个处理、n次重复的双变量试验资料，每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资料为具kn对x、y观测
6、值的单向分组资料，其数据一般模式如表101所示。表101 kn对观测值x、y的单向分组资料的一般形式处 理 处理1 处理2 处理i 处理k观测指标 x y x y x y x y观测值xij、y ij(i=1,2,kj=1,2,n)x11x12x1jx1ny11y12y1jy1nx21x22x2jx2ny21y22y2jy2nxi1xi2xijxinyi1yi2yijyinxk1xk2xkjxknyk1yk2ykjykn总 和 x1. y1. x2. y2. xi. yi. xk. yk.平均数 表101的x和y 变量的自由度和平方和的剖分参见单因素试验资料的方差分析方法一节。199其乘积和的
7、剖分则为：总变异的乘积和 是 与 和 与 的离均差乘积之和，即：TSPijx.ijy.(10-5)knyxxkinjijkinjijij .)(11 =kn-1 Tdf其中， 。 knyxyxkiki .,.,.11处理间的乘积和 是 与 和 与 的离均差乘积之和乘以n，即：tSPii(10-6)ki ikiiit knyxyxn11)(dft处理内的乘积和 是 与 和 与 的离均差乘积之和，即：eSij.iij.i(10-7)kinj ki tTkiinjijiijij SPyxyxyxP1 11.)(=k(n-1) edf以上是各处理重复数n相等时的计算公式，若各处理重复数n不相等，分别为
8、n1、n 2、n k，其和为 ，则各项乘积和与自由度的计算公式为：i1injkiiijTyxSP1.= -1 (10-8)Tdfki1 kikt nyxnyxSP121kdft- =SPT-SPtinjijeiyxSPknyxyxn.21= -k =dfT-dft (10-9)efi1有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS，就可进行协方差分析。【例10.1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳仔猪做了以下试验：试验设对照、配方1、配方2、配方3共四个处理，重复12次，选择初始条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头，完全随机分为4组进行试验，结果见表102
9、，试作分析。此例， =18.25+15.40+15.65+13.85=63.15. 4321xx=141.80+130.10+144.80+133.80=550.50yyk=4，n=12，kn=412=48200表102 不同食欲增进剂仔猪生长情况表 （单位：kg）处 理 对照 配方1 配方2 配方3观 测指 标初生重x50日龄重 y初生重x50日龄重 y初生重x50日龄重 y初生重x50日龄重y1.50 12.40 1.35 10.20 1.15 10.00 1.20 12.401.85 12.00 1.20 9.40 1.10 10.60 1.00 9.801.35 10.80 1.45
10、12.20 1.10 10.40 1.15 11.601.45 10.00 1.20 10.30 1.05 9.20 1.10 10.601.40 11.00 1.40 11.30 1.40 13.00 1.00 9.201.45 11.80 1.30 11.40 1.45 13.50 1.45 13.901.50 12.50 1.15 12.80 1.30 13.00 1.35 12.801.55 13.40 1.30 10.90 1.70 14.80 1.15 9.301.40 11.20 1.35 11.60 1.40 12.30 1.10 9.601.50 11.60 1.15 8.5
11、0 1.45 13.20 1.20 12.401.60 12.60 1.35 12.20 1.25 12.00 1.05 11.20观 察 值xij,yij1.70 12.50 1.20 9.30 1.30 12.80 1.10 11.00总 和 x i.,yi. 18.25 141.80 15.40 130.80 15.65 144.80 13.85 133.80平 均 ,1.52 11.82 1.28 10.84 1.30 12.07 1.15 1.15协方差分析的计算步骤如下：(一)求x变量的各项平方和与自由度1、总平方和及自由度 75.148.6325.841.63)0.85.10.(
12、. 22222)(knxSijxT=kn-1=412-1=47df2、处理间平方和与自由度3.04815.6).1365.0.125.8(.1 22222)( knxSkixt=k-1=4-1=3)(tdf3、处理内平方和与自由度= - =1.75-0.83=0.92)(xe)(xT)(tS= - =47-3=44 ftdf(二)求y变量各项平方和与自由度1、总平方和与自由度 76.9485.031.6485.0).10.24.1( 2222.)(knySijyT=kn-1=412-1=47df2、处理间平方和与自由度 68.1450.)8.130.48.130.4(12.1 22222.2)
13、(knySiyt=k-1=4-1=3tdf3、处理内平方和与自由度= - =96.76-11.68=85.08)(ye)(yT)(ytS= - =47-3=44fdf201(三)求x和 y两变量的各项离均差乘积和与自由度1、总乘积和与自由度 knyxSPkinjijT.125.8140.5.630.72 12450630.1 =kn-1=412-1=47),(yxTdf2、处理间乘积和与自由度knyxnSPkiit 11245063)80.15.380.1465.0.134.580.2.( =1.64=k-1=4-1=3),(yxtdf3、处理内乘积和与自由度= - =8.25-1.64=6.
14、61eSPTt= - =47-3=44),(yxf),(yxf),(yxtdf平方和、乘积和与自由度的计算结果列于表103。表 103 x与y的平方和与乘积和表变异来源 df xSySxySP处理间( t) 3 0.83 11.68 1.64处理内 (误差)(e ) 44 0.92 85.08 6.61总变异(T) 47 1.75 96.76 8.25(四)对x和y 各作方差分析 (表104)表104 初生重与50日龄重的方差分析表x变量 y变量变异来源 dfSS MS F SS MS F F值处理间 3 0.83 0.28 13.33* 11.68 3.89 2.02处理内(误差) 44 0
15、.92 0.021 85.08 1.93总变异 47 1.75 96.76F0.05=2.82F0.01=4.26分析结果表明，4种处理的供试仔猪平均初生重间存在着极显著的差异，其50 日龄平均重差异不显著。须进行协方差分析，以消除初生重不同对试验结果的影响，减小试验误差，揭示出可能被掩盖的处理间差异的显著性。(五)协方差分析1、误差项回归关系的分析 误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间差异的影响的误差变异中找出50日龄重(y)与初生重(x)之间是否存在线性回归关系。计算出误差项的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验，若显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线性回归关系来校正y值(5
16、0日龄重)以消去仔猪初生重(x)不同对它的影响。然202后根据校正后的y值(校正50日龄重)来进行方差分析。如线性回归关系不显著，则无需继续进行分析。回归分析的步骤如下：(1)计算误差项回归系数，回归平方和，离回归平方和与相应的自由度从误差项的平方和与乘积和求误差项回归系数：(10-10)184.792.06)()( xeyxSPb误差项回归平方和与自由度(10-11)9)()(xeRdfR(e)=1误差项离回归平方和与自由度= - =85.08-47.49=37.59 (10-12)(erS)(y)(eRS= - =44-1=43dfdf(2)检验回归关系的显著性(表105)表105 哺乳仔
17、猪50日龄重与初生重的回归关系显著性检验表变异来源 SS df MS F F0.01误差回归 47.49 1 47.49 54.32* 7.255误差离回归 37.59 43 0.8742误差总和 85.08 44F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来校正y，并对校正后的y进行方差分析。2、对校正后的50日龄重作方差分析(1)求校正后的50日龄重的各项平方和及自由度 利用线性回归关系对50日龄重作校正，并由校正后的50日龄重计算各项平方和是相当麻烦的，统计学已证明，校正后的总平方和、误差平方和及自由度等于其相应
18、变异项的离回归平方和及自由度，因此，其各项平方和及自由度可直接由下述公式计算。校正50日龄重的总平方和与自由度，即总离回归平方和与自由度(10-13)85.7.1276.9)(2)()()( xTyyRyTSPSS= - =47-1=46df)()(f校正50日龄重的误差项平方和与自由度，即误差离回归平方和与自由度(10-14)59.372.0618.5)(2)()()( xeyeRyeSPSS= - =44-1=43df)()(f上述回归自由度均为1，因仅有一个自变量x。校正50日龄重的处理间平方和与自由度=57.87-37.59=20.28 (10-15)eTtSS=k-1=4-1=3 f
19、df(2)列出协方差分析表，对校正后的50日龄重进行方差分析(表106)203查F表： =4.275(由线性内插法计算)，由于F=7.63 ，P0.01，表)43,(01. )43,(01.F明对于校正后的50日龄重不同食欲添加剂配方间存在极显著的差异。故须进一步检验不同处理间的差异显著性，即进行多重比较。表106 表10-2资料的协方差分析表校正50日龄重的方差分析变异来源 df SSx SSy SPxy b df SS MS F处理间(t) 3 0.83 11.68 1.64机 误( e) 44 0.92 85.08 6.61 7.1848 43 37.59 0.8742总 和(T ) 4
20、7 1.75 96.76 8.25 46 57.87校正处理间 3 20.28 6.76 7.63*3、根据线性回归关系计算各处理的校正50日龄平均重误差项的回归系数 表示初生重对50日龄重影响的性质和程度，且不包含处理间差)(eyxb异的影响，于是可用 根据平均初生重的不同来校正每一处理的50日龄平均重。校正50日龄平均重计算公式如下：(10-16).)(.)xbyiexii 公式中： 为第i处理校正50 日龄平均重；.y为第i处理实际50 日龄平均重(见表102)；为第i处理实际平均初生重 (见表102)；.x为全试验的平均数， 3156.48.6.knx为误差回归系数， =7.1848)
21、(eyxb)(eyxb将所需要的各数值代入(1016)式中，即可计算出各处理的校正50日龄平均重(见表 107)。表107 各处理的校正50日龄平均重计算表处 理 -.ix( - )eyxb.i 实际50日龄平均重 校正50日龄平均重- ( - ).iy)exb.i对 照 1.52-1.3156=0.2044 7.18480.2044=1.4686 11.82 11.82-1.1686=10.3514配方1 1.28-1.3156=-0.0356 7.1848（-0.0356）=-0.2588 10.84 10.84+0.2558=12.0758配方2 1.30-1.3156=-0.0156
22、7.1848（-0.0156）=-0.1121 12.07 12.07+0.1121=12.1821配方3 1.15-1.3156=-0.1656 7.1848（-0.1656）=-1.1898 11.15 11.15+1.1898=12.33984、各处理校正50日龄平均重间的多重比较各处理校正50日龄平均重间的多重比较，即各种食欲添加剂的效果比较。(1)t检验 检验两个处理校正平均数间的差异显著性，可应用t 检验法：(10-17).jiySt(10-18)(2. .2xejieySnMji式中， 为两个处理校正平均数间的差异；.jiy204为两个处理校正平均数差数标准误；.jiyS为误差离
23、回归均方；eMn为各处理的重复数；为处理i的x 变量的平均数；.为处理j的x 变量的平均数；SSe(x)为x 变量的误差平方和例如，检验食欲添加剂配方1与对照校正50日龄平均重间的差异显著性：=10.3514-12.0758=-1.7244.21y=37.59/43=0.8742 n=12eSM=1.52, =1.28, SSe(x)=0.92.x.将上面各数值代入(1018)式得：=.21yS 47.092.)815(8740于是 3.35t查t值表，当自由度为43 时(见表106误差自由度)，t 0.01(43)=2.70(利用线性内插法计算)，|t| t 0.01(43)，P0.01，表
24、明对照与食欲添加剂1号配方校正50日龄平均重间存在着极显著的差异，这里表现为1号配方的校正50日龄平均重极显著高于对照。 其余的每两处理间的比较都须另行算出 ,再进行t检验。.jiyS（2）最小显著差数法 利用t检验法进行多重比较，每一次比较都要算出各自的，比较麻烦。当误差项自由度在 20以上，x变量的变异不甚大(即x变量各处理平均.jiyS数间差异不显著)，为简便起见，可计算一个平均的 采用最小显著差数法进行多重.jiyS比较。 的计算公式如下：.jiy= (10-19).jiyS)1(12) kSnMxete公式中SS t(x)为x变量的处理间平方和。然后按误差自由度查临界t值，计算出最小
25、显著差数：(10-20)(dfetLSD.jiy本例x变量处理平均数间差异极显著，不满足“x变量的变异不甚大”这一条件，不应采用此处所介绍的最小显著差数法进行多重比较。为了便于读者熟悉该方法，仍以本例的数据说明之。此时=.jiyS 435.0)1(92.081874.2由 =43,查临界t值得：t 0.05(43)=2.017，t 0.01(43） =2.70edf于是 LSD0.05=2.0170.4353=0.878LSD0.01=2.700.4353=1.175不同食欲添加剂配方与对照校正50日龄平均重比较结果见表108。表108 不同食欲添加剂配方与对照间的效果比较表食欲添加剂配方 校
26、正50日龄平均重 对照校正50日龄平均重 差数2051 12.0758 10.3514 1.7244*2 12.1821 10.3514 1.8307*3 12.3398 10.3514 1.9884*多重比较结果表明：食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较，其校正50 日龄平均重间均存在极显著的差异，这里表现为配方1、2、3号的校正50日龄平均重均极显著高于对照。(3)最小显著极差法 当误差自由度在20以上，x变量的变异不甚大，还可以计算出平均的平均数校正标准误 ，利用LSR 法进行多重比较。 的计算公式如下：ySyS= (10-21)1(1) knMSxete然后由误差自由度 和秩次距k查S
27、SR表（或q表），计算最小显著极差：efd（10-22）ySRL对于【例10.1】资料，由于不满足“x变量的变异不甚大”这一条件，不应采用此处所介绍的LSR 法进行多重比较。为了便于读者熟悉该方法，仍以【例10.1】的数据说明之。此时=0.8742，n=12，SS t(x)=0.83，SS e(x)=0.92，k=4，代入(1021)式可计算得：eMS= yS 3078.)14(92.081874. SSR值与LSR值见表109。表109 SSR值与LSR值表秩次距k 2 3 405.SR2.86 3.01 3.1013.82 3.99 4.10.L0.883 0.929 0.95701.17
28、9 1.232 1.266各处理校正50日龄平均重多重比较结果见表1010。表1010 各处理校正50日龄平均重多重比较表（SSR法）处 理 .iy-10.3514.iy-12.0758.iy-12.1821.iy配方3 12.3398 1.9884* 0.2640 0.1577配方2 12.1821 1.8307* 0.1063配方1 12.0758 1.7244*对 照 10.3514多重比较结果表明：食欲添加剂配方3、2、1号的哺乳仔猪校正50 日龄平均重极显著高于对照，不同食欲添加剂配方间哺乳仔猪校正50日龄平均重差异不显著。习 题1、何为试验控制？如何对试验进行统计控制？2、什么是均
29、积、协方差？均积与协方差有何关系？2063、对试验进行统计控制的协方差分析的步骤有哪些?4、一饲养试验，设有两种中草药饲料添加剂和对照三处理，重复9次，共有27头猪参与试验，两个月增重资料如下。由于各个处理供试猪只初始体重差异较大，试对资料进行协方差分析。中草药饲料添加剂对猪增重试验结果表 (单位：kg)处 理 2号添加剂 1号添加剂 对照组观测指标 初重 x 增重y 初重 x 增重y 初重 x 增重 y30.5 35.5 27.5 29.5 28.5 26.524.5 25.0 21.5 19.5 22.5 18.523.0 21.5 20.0 18.5 32.0 28.520.5 20.5
30、 22.5 24.5 19.0 18.021.0 25.5 24.5 27.5 16.5 16.028.5 31.5 26.0 28.5 35.0 30.522.5 22.5 18.5 19.0 22.5 20.518.5 20.5 28.5 31.5 15.5 16.0观测值21.5 24.5 20.5 18.5 17.0 16.0(b=0.9832，线性回归关系极显著)。5、四种配合饲料的比较试验，每种饲料各有供试猪 10 头，供试猪的初始重（kg）及试验后的日增重（kg）列于下表，试对试验结果进行协方差分析。处 理 号料 号料 号料 号料观测指标 始重 x 增重 y 始重 x 增重 y
31、始重 x 增重 y 始重 x 增重 y36 0.89 28 0.64 28 0.55 32 0.5230 0.80 27 0.81 22 0.62 27 0.5826 0.74 27 0.73 26 0.58 25 0.6423 0.80 24 0.67 22 0.58 23 0.6226 0.85 25 0.77 23 0.66 27 0.5430 0.68 23 0.67 20 0.55 28 0.5420 0.73 20 0.64 22 0.60 20 0.5519 0.68 18 0.65 23 0.71 24 0.4420 0.80 17 0.59 18 0.55 19 0.51观测值16 0.58 20 0.57 17 0.48 17 0.51（b=0.0073，线性 回归关系极显著）
