1、6.4,一、平面图形的面积,定积分的应用,二、经济应用举例,由连续曲线,以及两直线,所围成 的曲边梯形面积:,一、平面图形的面积,(定积分的几何意义),1.,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 S ,所围成图形,2.,由曲线,面积为,所围成图形,由曲线,面积为,所围成图形,由曲线,面积为,总结：,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积 .,解: 由,得交点,所围成图形,由曲线,3.,直线,面积为,所围成图形面积为,由曲线,4.,直线,轴,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,例3. 求椭圆,解:
2、 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,设,原积分=,原积分=,椭圆面积A=,二、经济应用举例,1、已知总产量变化率求总产量,总产量为Q,其变化率是连续函数 ，,（ 为时间）,例1、已知某产品的年销售率为,求总量函数,解：,总量函数为,2、已知边际函数求总量函数,已知,求,固定成本；,（ 为产量）,例2、已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为,且固定成本为100。其中Q为销售量，,为总成本， 为总收益，求总利润函数.,解：,总成本函数为,总收益函数为,总利润函数为,6.5,广义积分初步,积分区间,被积函数,无限,无界,无穷限积分,瑕积分,广义积分,一、无穷限积分,1.定义：,如果对给定的实数
3、a和任意实数b(ba)，函数,f(x)在 上可积，且极限 存在，则称,无穷限积分 收敛，并称此极限值为该无穷限,积分的积分值，记为,若上极限不存在，则称无穷限积分 发散。,类似,可定义无穷限积分 的收敛与发散。,存在,则称 收敛,否则称其发散。,（c为某个常数）,若 均收敛，称 收敛,否则称其发散。,2.几何意义：,表示由曲线 与直线x=a,x轴所围成的向右延伸的平面图形的面积。,3.计算,是 的一个原函数）,例1.讨论下列无穷限积分的敛散性,(1). (2).,解：(1),所以，原无穷限积分收敛，且,(2).,解：,与 均收敛，所以,也收敛，且,例2.讨论下列无穷限积分的敛散性,(1). (
4、2).,解：(1),所以，原无穷限积分收敛。,(2).,解：,所以，原无穷限积分发散。,二、瑕积分,称为瑕积分，,（或有限个点）处无界。,使被积函数无界的点称为瑕点。,若被积函数f(x)在 上的某点,定义：,若对任意小的正数 ，函数f(x)在区间,上皆可积，且,则当 存在时，,称瑕积分 收敛，,记为,若此极限不存在，则称瑕积分 发散。,类似的，当f(x)在b或c(acb)点无界时，可定义瑕积,分 的敛散性。,若,则定义,若,则定义,例1. 计算下列瑕积分,(1). (2).,解： (1).,x=0为瑕点，,(2),解：,x=1是瑕点,作变量替换，令,则,当,所以原积分=,例2：讨论瑕积分 的敛
5、散性。,解：,为瑕点,所以,当,例3:计算瑕积分,解：,第八章,8.1预备知识,多元函数微积分学,一、空间直角坐标系与空间中的点,二、空间曲面与方程,三、平面区域的概念,一、空间直角坐标系与空间中的点,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,在空间直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,坐标平面 :,2
6、. 两点间的距离公式,A,B两点间的距离公式:,对两点,与,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,(2) 坐标满足此方程的点都在曲面 S 上,二、空间曲面与方程,常见的空间曲面有平面、柱面、旋转曲面和二次曲面,1. 平面,空间平面方程的一般形式：,其中 为常数，且,不全为零。,例如， 时，,就得到,（即 yz 平面）,定义2. 一条平面曲线,2、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,
7、一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转轴,例如 :,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,3、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.,平行直线l并沿定曲线 C 移动 形成的轨迹,叫做
8、柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,4、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程.,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),三、平面区域的概念,设
9、为xy平面上一定点，为一正数。以 为圆心,为半径的开圆,称为点 的 -邻域。,D为xy平面上的一点集，点 。若存在 ，使得,则称 D为内点；,若 为xy 平面上一点，且对任意的,，总存在,使得,则称 为 D 的边界点，,D的全体边界点所成的集合，,称为D的边界。,若D的任意一点都是内点，,则称D为开集；,设D为一开集， 和 为D内任意两点，若在D内存在,一条直线或由有限条直线段组成的折线将 和 连接,起来，则称D为连通区域，简称为区域；区域与区域,的边界所构成的集合，称为闭区域，如果存正数R，,使得 ，则称D为有界区域；否则，称D为无界,区域。这里 表示以圆点（0，0）为中心、R为半,径的开圆
10、。,例1：,D的内点和边界点都是哪些点。,例2：,试判断 是否为区域，若是区域，是否是有界区域。,内点：,边界点：,为有界区域， 为无界区域， 不是区域。,定义1,的一个平面点集，如果对D中,设D是xy平面上,任意一点（x,y)，按照某个确定的规则f,变量z总有唯,一的数值与点(x,y)对应，则称变量z是变量x和y的二,元函数，,记为：,其中x和y称为自变量，点集D称为函数 的定义域。,几何意义：,二元函数的几何意义表示空间中的一张曲面，其定义域D为该曲面在xy平面上的投影。,第二节 多元函数的概念,例1,解,所求定义域为,极限，,定义1,二、多元函数的极限,且 时恒有,记为,设函数z=f(x
11、,y)在点 的某邻域内有,定义（在点 处是否有定义无关紧要），A为某个,常数。如果对任意给定的 ，存在 ，使,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限存在 p以任意方式趋于,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,( 4) 二元函数极限的概念可相应的推广到 n 元函,数上去。,或,也可记为,或,时极限都存在且相等。,例1.求,解:,原式=,例2 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,（1）,若,极限值与k有关，,则可断言极限不存在；,（2）,找两种不同趋近方式，,存在，,但两者不相等，,令P(x,y)沿 y=kx 趋向于,使,此时也
12、可断言,间断点。,三、多元函数的连续性,定义3,如果,如果,若函数 在 内每一点都连续，,函数 在 上连续。,则称,一元函数中关于连续函数的运算法则，,对于多元函数仍适用，,积、商（分母不为零）仍连续，,复合函数也连续。,多元连续函数的,注,因此多元连续函数的和、差、,闭区域上连续函数的性质,上有界，,（1）有界性与最大值最小值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，,（2）介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，,必在D,且能取得它的最大值和最小值。,在 D 上取得介于最大值和最小值之间的任何值。,必定,练 习 题,一、,填空题,:,1,、,若,则,=,_,.,2,、,若,则,_,_,;,_,.,3,、,若,则,_,.,4,、,若,则,_,.,5.函数,的定义域是,_,.,二、求下列各极限：,1.,2.,练习题答案,
