1、,1. 线性方程的叠加原理,3 三类方程的比较,其中 为任意常数。,称为线性微分方程,*线性算子,*线性微分算子：,特别,称为齐次的。,类似可定义线性定解条件及齐次定解条件。,三类方程代表：,*叠加原理I 设,为任意常数）必满足方程（或定解条件）,满足线性方程（或线性定解条件）,则它们的线性组合,特别 满足齐次方程（或齐次定解条件）时， 也满足齐次方程（或齐次定解条件）,（其中 为任,*叠加原理II 可把上述情况推广无限个相加情况（算子需要求与无限个相加可交换）。,*叠加原理III 设,再设,满足线性方程（或线性定解,其中 为参数。,特别 满足齐次方程（或齐次定解条件）时， 也满足齐次方程（或
2、齐次定解条件）,条件）,满足一定的条件，,那么 满足方程（或定解条件）,应用：把复杂线性问题拆解成简单的问题，如分离变量法，非齐次问题齐次化处理（泛定方程与定解条件混合叠加）。,2.解的性质的比较,（1）解的光滑性,对于弦振动方程来说，如果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存在；对于热传导方程，只要初始条件是有界的，那么其解是无穷可微的；对于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。,三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。下面我们以三类典型方程（波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程）为例来叙述其差别。对于一般的变系数方程，
3、情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。,（） 解的极值性质,热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。,（）影响区和依赖区,从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速，某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因此不存在扰
4、动传播的问题。,（）关于时间的反演,一物理状态的变化是否可逆，在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变量是否是对称的，即以t代替t后方程是否不变化。拉普拉斯方程不存在此问题，双曲型方程是可逆的，热传导方程是不可逆的,定解问题的提法比较,椭圆型方程：定解问题中只有边界条件而没有初始条件。故一般不提初边值问题和柯西问题。 抛物型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件只需给出一个。 双曲型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件需要给出两个。 定解问题适定性：存在性、唯一性、稳定性 课本给出了不稳定的定解问题的例子。 对于弦振动方程和热传导方程，一般我们是不能提出狄利克雷问题（同时指定t0和tt0时刻的未知函数取值），因为这样的定解问题一般是无解的。,
