1、第四单元 集中量数和差异量数 （measures of cenral tendency),集中量数学习目标： 各种集中量数的含义、性质和作用 各种集中量数的计算方法 各种集中量数的具体应用,两组学生某科的测验分数,甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84,什么是集中量数？,集中趋势与离中趋势：描述一组数据的全貌。 集中量数：描述数据集中程度的统计量。 算术平均数 中数 百分位数 众数 加权平均数 几何平均数 调和平均数,表1 80名小学二年级学生身高的次数分布表,一、 算术平均数 (均数, M, arithmetic average/mea
2、n),（一）计算方法 未归表的原始数据计算算术平均数：8、2、5、3、7 已归表的原始数据计算算术平均数,未归表已归表,两组学生某科的测验分数,甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84,（二）算术平均数的优缺点,优点： 反应灵敏； 严密确定； 计算简便； 适合代数运算； 不易受抽样变动影响。 缺点：易受极值影响。 算术平均数是总体平均数的做好估计值。,（三）计算和应用平均数的条件和原则,适用条件：所有数据同质、准确可靠且无极值影响。 同质数据：使用统一个观测手段，采用相同的观测标准，能反映某同一特质的数据。 平均数与个体数值相结合：要反映个
3、体数据的差异，包括分布形态。 平均数与标准差、方差相结合：配对使用。数据差异,二、中数,(一)中数（ median，中点数、中位数、中值，Md/Mdn） 位于一组按大小顺序排列的数据中间位置上的数据。,（一）未归表的原始数据求中数的方法,数据个数为奇数与偶数的情形 3，5，7，8，9，11，14 17，15，14，12，11，10，9，6 数据个数为奇数与偶数时有重复数据的情形 11，11，11，11，13，13，13，17，17 11，11，11，11，13，13，13，17，17，18,求中数：当重复数目位于数列中间,个数为奇数时 11、11、11、11、13、13、13、17、17,12
4、.5,13.5,求中数：当重复数目位于数列中间,个数为偶数时 11、11、11、11、13、13、13、17、17、19,12.5,13.5,求中数：当重复数目位于数列中间（靠左）,个数为偶数时 11、11、11、13、13、13、15、17、17、19,12.5,13.5,表1 80名小学二年级学生身高的次数分布表,（二）已归表的原始数据计算中数,129.5,132.5,内插法由小向大计算：,（三）中数的优缺点及应用,优点：计算简便；不易受极值影响 缺点： 反应不灵敏 受抽样变动影响比算术平均数大 不适合代数运算 适用情况： 一组数据有极值时 一组数据中个别数据不清楚时 资料属于等级性质时,
5、三、众数 (mode，范数、密集数、通常数，M0),一组数据中出现次数最多的那个数。 （一）计算方法： 用观察法寻找粗略众数未归表：2、4、3、6、4、5、4、6 已归表：频数最多那组的组中值,用公式计算众数的近似值（数理众数） 皮尔逊经验法：W.I.King插补法：,b,适用于偏态分布L 为众数所在组的下限fa 为上一组的次数fb 为下一组的次数,Mo=Lb+fa /(fa + fb).i 当fa =fb时， fa /(fa +fb) =1/2 当fa fb时， fa /(fa +fb) 1/2 当fafb时， fa /(fa+ fb)1/2,Mo=La-fb /(fa + fb).i 当f
6、a =fb时， fb /(fa +fb) =1/2 当fa fb时， fb/(fa +fb)1/2,金氏插补法求众数：,（二）众数的优缺点及应用,优点：简明易懂；不易受极值影响 缺点： 反应不灵敏 受抽样变动影响较大 不适合代数运算 适用情况： 需要快速而又粗略寻找一组数据的代表值时 当一组数据出现不同质时 当一组数据有极值时 分析一组数据的分布是否偏态及程度,平均数、中数与众数三者间的关系,M0 Md M M Md M0正偏态 负偏态,1、正偏态： MMdM0； 2、负偏态： MMd M0 3、三者关系：M0 = 3Md - 2M,四、其他集中量数,1、加权平均数(weighted mean
7、):不同比重数据（或平均数）的平均数。,2、几何平均数(geometric mean)：当一个数列的后一个数据是以前一个数据为基础成比率增长时，可用集合平均数求平均增长速度。,3 、调和平均数(harmonic mean)： 也称倒数平均数，是一组数据倒数的算术平均数的倒数。 主要用于求学习速度。,1.单位时间的工作量,2.单位工作量所用时间,3.平均单位工作量所用时间,4.平均单位时间的工作量,两组学生某科的测验分数,甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84,差异量数 (measures of variation),理解差异量数的含义 认
8、识标准差的性质、作用 掌握标准差的计算方法 熟悉运用各种差异量数描述一组数据的特征及若干组数据的比较 掌握标准分数及其运用,主要的差异量数,一、全距(Range) 二、百分位距(Percent Rank) 三、四分位差(Quartile) 四、平均差(AD) 五、方差( Variance) 六、标准差(SD),一、全距(range，两极差，R ),全距计算：R=Xmax Xmin优点：概念清楚，意义明确。 缺点：,易受极值影响；不考虑中间数值，反应不灵敏是差异量的粗略指标，主要在统计分组时使用,二、百分位差（百分位距） （percentile deviation),(一)百分位数的计算 百分位
9、数：是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值。Pp 计算方法：与归组表中数的计算方法类似。,百分位差：指两个百分位数之差。 常用的百分位差： P90 - P10 P93 - P7 百分位差的优点：,简明易懂，计算方便较少受极值影响缺点：忽略部分数据不适合代数运算,(二)百分等级的计算,百分等级：某一分数所在的百分位置。 计算方法:根据累加次数分布图进行估计 百分位数的逆运算,三、四分位差(quartile deviation),是在依一定顺序排列的一组数据中间50%的次数的距离的一半。 Q =（Q3 - Q1）/ 2,3,原始数据计算法 例：将16个原始数据从小到大排列好： 12、1
10、4、15、17、19、20、22、25、29、30、31、33、35、37、39、40,Q1=18,Q3=34,主要在有极值或个别数值不清楚、不确 切时使用。,四、平均差,(ADaverage deviation, or MDmedian deviation) 是每一个数据与该组数据平均数离差的绝对值的平均数。 计算方法 未归表数据求平均差：已归表数据求平均差：,平均差的优点：,意义明确计算容易反应灵敏缺点：不适合作进一步的代数运算,2,五、方差和标准差 (variance and standard deviation),方差：是离差平方的算术平均数。s2 ; 2 标准差：是方差的平方根。s
11、; 计算方法 未归表数据求方差和标准差,已归表数据求方差和标准差汇合标准差或总体标准差,方差和标准差的应用及其优缺点,优点： 严密确定 计算简单 反应灵敏 适合代数运算,缺点： 较费解 个别数值不清时，无法计算,第五单元 标准差的应用,一、差异系数(coefficient of variation，变异系数/相对标准差) 用于差异量的比较 单位不同的资料 平均数相差较大资料 计算方法,二、标准分数,标准分数（standard score，Z）：以标准差为单位，标志某一分数离开团体均数的距离。 计算方法：标准分数的性质： =0Sz =1 为正值，则 xi x；为负值，则 xi x,标准分数的优点
12、及其应用,优点：Z分数的平均数为0，标准差为1，因此具有很强的可比性。 应用： 通过计算Z分数，判断和比较数值在团体中相对位置的高低 通过计算Z分数和查表，判断和比较数值在团体中的百分位置 通过计算不同质数值Z分数的总和，比较数值在团体中的位置 表示标准的测验分数：Z = aZ + b,附：正 态 分 布 表,Y,P,0 Z,三、异常值的取舍,如果原始分数属于正态分布或接近正态分布，则Z分数分数的范围大致在-3.00到+3.00之间（约占全体的99.73%）。,99.73,-3s,+3s,四、差异量数的选用,(一) 优良差异量数的标准1、根据客观数据获得的； 2、根据全部观测值计算得到的； 3
13、、意义明确、易理解； 4、计算方便、迅速； 5、较少受抽样变动的影响； 6、适合代数运算。,(二) 各种差异量数优缺点比较,差,较差,好,好,大,小,较小,较小,大,较小,小,小,不适合,不适合,不适合,适合,(三) 各种差异量数的关系,1、当样本数量相当大（N500）时：R 6s；小样本， R与s的比率要小一些。 2、当N值相当大时，且分布呈正态时： s 1.2533AD 1.4826Q AD 0.7979s 1.1829Q Q 0.6745s0.4853AD,(四) 如何选用差异量数,1、当样本是随机取样时，s、Q、R的可靠性依次降低； 2、当要求计算容易时，R、Q、s依次变得复杂； 3、当要求统计量进一步使用时，只有s适合； 4、在偏态分布中，Q比s更常用； 5、当分布是截尾分布时，只有Q能够正确指出分布的变异性。,差异量数和集中量数的关系及配对使用时的选择,要反映一组数据的全貌，必须同时使用集中量数和差异量数进行描述。 差异量数大，集中量数的代表性就小；反之则大。 配对使用的选择：平均数与标准差（方差）；中数与Q或其他百分位差。,
