1、数学中国 1圆锥曲线最值问题1、已知 P、Q、 M、N 四点都在椭圆 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点. 已知 共12yx FQP与线， 共线，且 . 求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.F与 0F2、已知椭圆 C: （ab0）的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 .12yx ,363(1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值.233、已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为xOy (30)F,设点 .(20)D1,2A（1）求该椭圆的标准方程；（2）
2、若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；PPAM（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。O,BC4、已知曲线 C1= 所围成的封闭图形的面积为 4 ,曲线 C1 的内切圆半径为 ，|1(0)xyab5253记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点顶点的椭圆.（1）求椭圆 C2的标准方程；（2）设 AB 是过椭圆 C2中心的任意弦，l 是线段 AB 的垂直平分线，M 是 l 上异于椭圆中心的点.（a）若|MO |= |OA|(O 为坐标原点 )，当点 A 在椭圆 C2 上运动时，求点 M 的轨迹方程；（b）若 M 是 与椭圆 C2 的交点，求AMB 的面积的最小值。l5、已知
3、为椭圆 的两焦点， 为 上任意一点，且向量 与向量 的夹角余弦)0,1(,(21FP1PF2的最小值为 。3（1）求椭圆 的方程；C数学中国 2（2）过 的直线 与椭圆 交于 两点，求 （ 为原点）的面积最大值及相应的直线 的1FlCNM,Ol方程。6已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为 1ABD， 234xyBD（1）当直线 过点 时，求直线 的方程；(01)， AC（2）当 时，求菱形 面积的最大值6CBD7、已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 O5x5e（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点，点A(5,0)B22(5)1xy
4、在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点的坐标；MMM数学中国 3圆锥曲线最值问题答案1、解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1） ，且PQMN ，直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k.又 PQ过点 F（0，1） ，故 PQ 方程为 将此式代入椭圆方程得.1kxy.02)(kx设 P、Q 两点的坐标分别为 则),(,21yx .2,221 kxk21212)()(|x从 而 ,)(82k2)1(|PQ亦 即（i） ,同上可推得kMNk,0的 斜 率 为时当 .)1(2| 2kMN故四边形面积 |21PQS224(1)k.542
5、k因为24(),25uuk令 得 ()5u1.96,9161 SS所 以为 自 变 量 的 增 函 数是 以且时当（ii）当 k=0 时，MN 为椭圆长轴， 、 ,|MN2|PQ.2|MNP综合（i） ， （ii）知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 .12、解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ， 所求椭圆方程为 c63ca， b213xy（）设 ， （1）当 轴时， （2）当 与 轴不垂直时，1()Axy， 2()Bxy， ABx 3AB设直线 的方程为 由已知 ，得 把 代入椭圆方km2k(1)4mkykxm程，整理得 ， ， 22(31)630x1263xk213)xk22
6、21()ABk2226()()k数学中国 4222221()31)3(1)9kmk242 12(0)34961696kk当且仅当 ，即 时等号成立当 时， ，综上所述 2k3k3ABmax2AB当 最大时， 面积取最大值 ABOB max122S3、解(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= ,则半短轴 b=1.又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆的标准方3程为 142yx(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x 0,y0),由中点标公式得 x=x0=2x1，y 0=2y ，21由点 P 在椭圆上,得 , 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 .1)2(4)12(y
7、x )4()(2(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此ABC 的面积 SABC =1.当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 ,142yx解得 B( , ),C( , ),142k2k142k2k则 ,又点 A 到直线 BC 的距离 d= ,ABC 的面积 SABC =2kBC 2k2412d于是 SABC = 由 1,得 SABC ,其中,当 k= 时,等号成1422kk2k221立.S ABC 的最大值是 . 4、解：（I）由题意得 由2453abab0，解得 a2=5, b2=4，椭圆的标准方程为数学中国 5=1.254xy（II） （1）假设 A
8、B 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 y=kx(k0),A(xA,yA).解方程组 得2154,xyk 2220,4545AAkxyk所以22222(1)| ,AOxyk设 M(x,y)，由题意知 |MO|=|OA| ( 0)，所以 |MO|2=2|OA|2，即 , 220(1)45kxy因为 l 是 AB 的垂直平分线，所以 直线 l 的方程为 y= ,即 k= ,1k因此 ，又 x2+y2=1，所以 ，故 222220(1)0()4545xxyyxyA 22540xy2245又当 k=0 或不存时，上式仍然成立.综上所述，M 的轨迹方程为 （ 0）,22.45xy（1）
9、 当 k 存在且 k 0 时，由（1）得 ,由2220,45AAkxyk21,4,yxk（2） 解得22 2,545MMxykk所以|OA| 2= ,220(1)A 2280(1)|45kABO220(1)|54kM解：由于 =222|4AMBS22()()kk= =20(1)45k20(1)54k=（ ） 2，2160()8409数学中国 6当且仅当 4+5k2=5+4k2 时等号成立，即 k= 1 时等号成立，此时AMB 面积的最小值是 SAMB= . 409当 1400,5.9AMBkS当 k 不存在时， 25综上所述， 的面积的最小值为AB.5、解：（）由题意得直线 的方程为 因为四边
10、形 为菱形，所以 D1yxABCDACBD于是可设直线 的方程为 。由 得 Cyxn234n， 226340xn因为 在椭圆上，所以 ，解得 A， 216403设 两点坐标分别为 ，则 ， ，C， 12()xy， ， ， 12nx214x， 所以 所以 的中点坐标为 1yxn2yn12AC3n，由四边形 为菱形可知，点 在直线 上， 所以 ，解得 ABCD34， 1yx142所以直线 的方程为 ，即 2yx20（）因为四边形 为菱形，且 ，所以 6ABCABC所以菱形 的面积 由（）可得 ，ABCD23S 222112316()()nxy所以 所以当 时，菱形 的面积取得最大值 234(16)4Snn0nABCD46、解：（）由题意可知，设双曲线的方程为21(,)xyabab，设 2cab，由准线方程为 5x得2ac，由 5e得 c ， 该双曲线的方程为214yx；（）设点 D 的坐标为 (,0)，则点 A、D 为双曲线的焦点， |MADa所以 |2|2|MABMB ， 是圆 22(5)1xy上的点，其圆心为数学中国 7(0,5)C，半径为 1，故 ， 从而 |2|10MABD 10CDB当 ,MB在线段 CD 上时取等号，此时 |AB的最小值为 10直线 CD 的方程为 5yx，因点 M 在双曲线右支上，故 x由245xy解得 42542,33y 所以 点 542(,)3。
