1、 平面曲线的方程 课程名称 解析几何 年级 专业、层次 本科授课题目（章、节） 第二章 第一节 平面曲线的方程基本教材及主要参考书（注明页数）教材：解析几何（第四版）吕林根，许子道等编高等教育出版社出版，2006 年 5 月出版P.6678 参考书：1空间解析几何（大学基础数学丛书之一）朱鼑勋编上海科学技术出版社，1981 年 3 月出版2空间解析几何学朱鼑勋，陈绍蔡著北京师范大学出版社，1981 年 3 月出版目的与要求：通过本节的学习，使学生系统地理解平面曲线方程的概念，掌握向量方程和参数方程的求法及关系，了解几种著名的平面曲线及它们参数方程的建立. 教学内容与时间安排、教学方法：引入 5
2、min本章的目的 5min本章的知识结构 5min一、普通方程 10min二、参数方程 矢量式参数方程 10min坐标式参数方程 10min三、例子 5min小结以及布置习题 5min教学方法：讲授法、讨论法；教学手段：讲解、板书、模型演示教学重点、难点及如何突出重点、突破难点：教学重点：平面曲线方程的概念；平面曲线参数方程的求法.难点：平面曲线参数方程的求法.通过解说，演示以及举例子克服难点难关基本内容本章的目的是建立轨迹与其方程的对应，在空间或平面上取定标架之后，空间或平面上的点就与有序实数组( x, y, z)或( x, y)建立了一一对应关系，在此基础上，进一步建立作为点的轨迹的曲线、
3、曲面与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题，进而为用代数的方法研究曲线和曲面创造了条件，奠定了基础. 空间轨迹与平面轨迹相比要复杂得多，但它的方程的建立，以及对某些问题的处理，两者却非常相似.本章的知识结构为：轨迹 方程方程 轨迹一、普通方程 1. 平面上的曲线（包括直线），都可以看成具有某种特征性质的点的集合. 曲线上点的特征性质，包含两方面的意思：(1) 曲线上的点都具有这些性质；(2) 具有这些性质的点都在曲线上. 因此曲线上点的特征性质，也可以说成是点在曲线上的充要条件. 2. 当平面上取定了标架之后，如果一个方程 F(x, y) = 0 或 y =
4、f (x)与一条曲线有着关系：(1) 满足方程的( x, y)必是曲线上某一点的坐标；(2) 曲线上任何一点的坐标 (x, y) 满足这个方程，那么这个方程 F(x, y) = 0 就叫做这条曲线的普通方程，而这条曲线叫做这个方程的图形. 3. 对于一条给定的曲线，要求出它的方程，实际上就是在给定的坐标系下，将这条曲线上的点的特征性质，用关于曲线上的点的两个坐标 x, y 的方程来表示.二、参数方程1曲线常可表现为一个动点运动的轨迹，但是运动的规律往往不是直接反映为动点的两个坐标 x 与 y 之间的关系，而是直接表现为动点的位置随着时间改变的规律. 当动点按照某种规律运动时，与它对应的径矢也将
5、随着时间 t 的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢，我们称它为变矢，记做 . 2. 如果变数 t (a t b)的每一个值对应于变矢 的一个完全确定的值（模与方向） ，那么我们就说 是变数 t 的矢性函数，记做= , (a t b)显然当 t 变化时，矢量 的模与方向一般也随着改变. 3. 设平面上取定的标架为 O; , ，矢量就可用它的分量表示，这样矢性函数 = ，就可以写为= x(t) +y(t) , (a t b)其中 x(t)， y(t)是 的分量，它们分别是变数 t 的函数. 4. 若取 t (a t b)的一切可能取的值，径矢 的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意
6、点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由 t 的某一值 t0(a t0 b)完全决定，则把= x(t) +y(t) , (a t b)叫做曲线的矢量式参数方程，其中 t 为参数. 如图 2-1.5. 因为曲线上点的径矢 的分量为 x(t), y(t)，所以曲线的参数方程也常写成下列形式(a t b)把这个表达式叫做曲线的坐标式参数方程. 如能从上式中消去参数 t（如果可能的话），那么就能得出曲线的普通方程 F(x, y)=0.6. 曲线的参数方程的表达形式不唯一.三、例子例 1 已知两点 A 和 B，求满足的动点 M 到两定点距离之差为定值的轨迹方程.例 2 一圆在一条直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P 的轨迹. 此曲线我们叫旋轮线或称摆线.例 3 已知大圆半径为 a，小圆半径为 b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动滚动，动圆上某点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或称内摆线），求其方程.例 4 一动点到两定点距离的乘积等于定值 m2，求此动点的轨迹(此轨迹叫做卡西尼卵形线).例 5 把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头的轨迹. 该曲线叫渐伸线或切展线.小结以及布置习题
