平面曲线的弧长.doc

1、3 平面曲线的弧长教学目的与要求：理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算平面曲线的弧长的公式.教学重点，难点：在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算平面曲线的弧长的公式.教学内容：一 平面曲线的弧长在这一部分中我们首先建立了曲线弧长的相关概念，然后曲线在三种表示情形，即分参数方程、直角坐标方程、极坐标方程给出时，得到了相应的弧长公式。其中曲线 C 由参数方程给出时的弧长公式是以定理 10.1 的形式给出的，其余两种类型通过转化为参数方程，也很简便地得到了相应的弧长公式。先建立曲线弧长的概念。设平面曲线 C= 。如图 1014 所示，在 C 上从 A 到 B 依次取分点：A=P0，

2、P 1，P 2，P n1 ，P n=B，它们成为对曲线 C 的一个分割，记为 T。然后用线段联结 T 中每相邻两点，得到 C 的 n 条弦（i=1， 2，n） ，这 n 条弦又成为 C 的一条内接折线。i1记，111,maxniTiinTPsP分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义 1 对于曲线 C 的无论怎样的分割 T，如果存在有限极限则称曲线 C 是可求长的，并把极限 s 定义为曲线 C 的弧长。定义 2 设平面曲线 C 由参数方程x=x（t） ，y=y（t） ，t ， （1）给出。如果 x（t）与 y（t）在 ， 上连续可微，且 x（t）与 y（t）不同时为零（即 x 2（t ）+y

3、2 (t) 0，t ， ） ，则称 C 为一条光滑曲线。定理 10.1 设曲线 C 由参数方程（ 1）给出。若 C 为一光滑曲线 ，则 C 是可求长的，且弧长为s= （2）22xtytd证 1 。 对 C 作任意分割 T=P0，P 1，P n，并设 P0 与 Pn 分别对应 t= 与 t= ，且Pi（x i，y i）=（x（t i） ，y（t i） ） ， i=1，2，n1。|0,liT于是，与 T 对应地得到区间 ， 的一个分割T： =t0t 1t 2t n 1 tn= .2 在 T所属的每个小区间i=t i1， t i 上，由微分中值定理得x i= x（t i）x（t i1 ）= ,;ii

4、ixty i=y（t i）y（t i1 ）= iiiy从而曲线 C 的内接折线总长为sT=ni iix12= 。ni iity1223 又因 C 为光滑曲线，当 x（t ）0 时，在 t 的某邻域内 x=x（t）有连续的反函数，故当 x0时，t0；类似地，当 y （t ）0 时，亦能由y0 推知t0。所以当时，必有t i0。反之，当t i0 时，显然有 。由此知道：21iiixP 1iP当 C 为光滑曲线时， 与 是等价的。T4 由于 在 ， 上连续从而可积，因此根据定义 1，只需证明：tytx22（3） 22100 ,limnTiiisxyt而后者即为（2）式右边的定积分。为此记，2222i

5、iiiixyxy则有sT= .122ini ii t利用三角形不等式易证,iiiiiyy由 y（t）在 ， 上连续，从而一致连续，故对任给的 0，存在 0，当 时，T只要 ， i，就有i，i =1，2，n。 i因此有 . niiiiniT ttyxs 1221 1niit即（3）式得证，亦即公式（2）成立。 推论 （ 1）若曲线 C 由直角坐标方程 y=f（x） ，xa，b 表示，其中 f（x）在a，b 上连续可微时，这时弧长公式为s= 。 （4）dfba21（2）若曲线 C 由极坐标方程 r=r（ ） ， ， 表示，其中 r（ ）在 ， 上连续，且 r（ ）与 r（ ）不同时为零时，这时弧长

6、公式为s= （5）dr22证明：（1）若曲线 C 由直角坐标方程 y=f（x） ，xa ，b表示，把它看作参数方程，即为 x=x，y=f（x） ， xa ，b。当 f（x）在a，b 上连续可微时， C 为一光滑曲线，由定理 10.1 弧长为s= 。fba21(2) 曲线 C 由极坐标方程 r=r（ ） ， ， 表示, 把它化为参数方程:.,sincosryrx由于 ，sincorrx co,2222y因此当 r（ ）在 ， 上连续，且 r（ ）与 r（ ）不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线。由定理 10.1 弧长为s= d22例 1 求摆线 x=a（tsin t） ，y=a（1cos t

7、） （a0）一拱的弧长（见图 103） 。解 x（t）=a（1cos t） ，y（t）=a sin t，由公式（2）得s= 20 202cosd=2a 。 8inadt例 2 求悬链线 y= 从 x=0 到 x=a0 那一段的弧长。2xe解 y= ，1+ y 2= ，由公式（4）得xe2xs= 。 aaxa ededxy002 21例 3 求心形线 r=a（1+cos ） （a0）的周长。解 由公式（5）得s= 20022cos1ddr=4a 8a下面简单介绍弧微分与微分三角形。若把公式（2）中的积分上限改为 t，就得到曲线（1）由端点 P0 到动点 P（x（t ） ，y（t） ）的弧长，即s（t）= 22taxyd由于被积函数是连续的，因此，ds= 。22dttdt 2dyx特别称 s（t）的微分 ds 为弧微分。如图 1015 所示，PR 为曲线在点 P 处的切线，在直角三角形 PQR中，PQ 为 dx，QR 为 dy，PR 则为 ds。这个三角形称为微分三角形。课后作业题： 1. 1) 3) 5)