1、平面向量的数量积及运算律江阴市青阳中学 叶春华【教学设计思路】教材分析：本节课是平面向量的数量积及运算律第一课时，在整个向量知识体系里面占有很重要的地位。在前面已经讲了向量的加减法，实数与向量的积，平面向量的坐标运算等内容，而后面正余弦定理的推导等内容也要用到这块知识点，可以说这一节课起着承上启下的作用。另外，平面向量的数量积也是考试甚至是高考的热点与难点，因为一般情况下它会与三角函数、不等式、解析几何等联系在一起进行综合考查。学情分析：学生的层次处于我校的中等水平，应该说学生的认知水平和思维品质还可以，而且学生对前面的有关向量的知识点已经有了较好的掌握。但考虑到本节课的重要性，教师授课时还须
2、充分发挥学生的主观能动性，留给学生更多的思维空间，避免让学生吃“夹生饭” 。【知识与技能】1、掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义；2、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、掌握向量垂直的条件。【教学重点】平面向量的数量积的重要性质及运算律【教学难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【教学过程】课前预习：布置学生复习高一物理课本中关于功的相关内容，以及课本中平面向量的数量积及运算律的有关内容。情景设置：先让学生回顾物理课本中功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生F位移 ，那么力 所作的功 可用下式计
3、算 ，其中 是 与 的SFWcosSS夹角。我们从力所作的功出发，引入向量数量积的概念。探索研究：首先，我们来学习向量的夹角。如图，已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则abaAObB叫做向量 与 的夹角。显然，当 时， 与 同)180(0AOB 0ab向；当 时， 与 反向。如果 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，018abab09ab记作 。已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量ba叫做 与 的数量积，记作 ，即 ，并且规定，零cos cosba向量与任一向量的数量积为零。由此可以看出，两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，且这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。其符号由
4、夹角的余弦值决定：当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于零；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于零；当两个向量的夹角是直角时，它们的数量积等于零。下面我们继续学习数量积的几何意义。如图， ， ，过点 作aAObB垂直于直线 ，垂足为 ，则1BOA1Bcos1b叫做向量 在 方向上的投影，当 为锐角时，它是正值；当 为钝角cosbba时，它是负值；当 为直角时，它是零。当 时，它是 ；当 时，0b018它是 。因此，我们得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与b aa在 的方向上的投影 的乘积。bacos总结提炼：根据向量数量积的定义，容易得到如下重要性质（用投影仪给出） 。设 ，
5、都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则abebae（1） ；cosae（2） ；0（3）当 与 同向时， ；当 与 反向时， 。特别地，bbaba或 ；2aa（4） ；bcos（5） 。ba已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：c,（1） ；ab（2） ；)()()(b（3） 。cc对于运算律（1） 、 （2）让学生上黑板证明， （3）教师给予证明。对于实数的乘积我们知道它满足结合律，那么对于向量的数量积是否也满足结合律呢？可让学生回答，然后教师给予指正：向量的数量积不满足结合律，这是因为 与 的结果都是数量，所以 与 都没有意义，当然bac cba)()(就不可能相等。例题精讲：例 1 已知 ， 与 的夹角 ，求 。4,5ab012解： )(45coscos0ba例 2 求证：（1） ；22)(（2） 。ba证明：（1） baba )()(22（2） 2)( ba例 3 已知 ， 与 的夹角为 ，求4,6bab06).3()(ba解： 226)3()( 7460cos4622 说明：本例与多项式求值一样，先化简，再代入求值。随堂练习：课本 121 页练习第 1、2、3 题作业布置：习题 5.6 第 1、2、3 题
