1、高中数学讲义1思维的发掘 能力的飞跃知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中n1m有 种方法，在第 类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有2mm种不同的方法又称加法原理1nN乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个子步骤，做第一个步骤有 种不同的方法，做第二个n1步骤有 种不同方法，做第 个步骤有 种不同的方法那么完成这件事共有2种不同的方法又称乘法原理1nNm加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联
2、系的，即各个步骤都必须完成， 这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、 组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个n()mn n不同元素中取出 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）m排列数：从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出() n个元素的排列数，用符号 表示Amn排列数公式： ， ，并且 (1)21mn nNm全排列：一般地
3、， 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示规定： n !0!1组合：一般地，从 个不同元素中，任意取出 个元素并成一组，叫做从 个元素中任取() n个元素的一个组合m组合数：从 个不同元素中，任意取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中，nm()n任意取出 个元素的组合数，用符号 表示C组合数公式： ， ，并且 (1)21!C!()mn ,mnNn组合数的两个性质：性质 1： ；性质 2： （规定 ）mn 11Cn01n排列数组合数的计算与证明高中数学讲义2 思维的发掘 能力的飞跃排列组合综合问题解排列组合问题
4、，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分 类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相 邻的元素“ 捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素” 内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以
5、先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题把 个元素排成一排，从n()mn n个空中选 个空，各插一个隔板，有 111mnC7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之 别一般地平均分成 堆n（组），必须除以 ！，如果有 堆（组）元素个数相等，必须除以 ！m8错位法：编号为 1 至 的 个小球放入编号为 1 到 的 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小n球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特 别当 ，3，4，5 时的错位数各为2n1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、
6、3 个、4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此 类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考 虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分 类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出
7、部分元素进行排列的 问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处 理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题 ，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的 问题，需要构造模型典例分析排列数组合数的简单计算【例 1】 对于满足 的正整数 ， （ ）13n n56.12n高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃A B C D712n75An85n125An【例 2】 计算 _37 【例 3】 计算 ， ；310A6【例 4】 计算 _， _27C57【例 5】 计算 ， ；31068【例 6】 计算
8、 ， ， ， ， 37A41037C48502319C【例 7】 已知 ，求 的值43210nn 【例 8】 解不等式 286xA【例 9】 证明： 9878A高中数学讲义4 思维的发掘 能力的飞跃【例 10】 解方程 322A10xx【例 11】 解不等式 286x【例 12】 解方程： 3211C4xx【例 13】 解不等式： 188C3m【例 14】 设 表示不超过 的最大整数（如 ， ） ，对于给定的 ，定义xx2514nN， ，则当 时，函数 的值域是（ ）(1)1)Cxnn ， 3x， 8CxA B 6,2836,53C D4,561284,【例 15】 组合数 恒等于（ ）Crn
9、1nrZ ， 、A B C D11rn1rn1Crn高中数学讲义5思维的发掘 能力的飞跃【例 16】 已知 ，求 、 的值122C:3:5mmnnn排列数组合数公式的应用【例 17】 已知 ，求 的值3212012CCnn21n【例 18】 若 ，则 _26200C,()nNn【例 19】 若 ，则 11C345mnn nm【例 20】 证明： 1()Ckkknnn【例 21】 证明： 1001Cnni ini i【例 22】 求证： 121A()Ammnn高中数学讲义6 思维的发掘 能力的飞跃【例 23】 证明： 102nknC【例 24】 证明： 12301()2nnnnnCCC 【例 2
10、5】 求证： ；112CCnnnm【例 26】 计算： ，239C012945613C【例 27】 证明： （其中 ）0120CCCkkkkkmnnmnmn min ，k高中数学讲义7思维的发掘 能力的飞跃【例 28】 解方程 12533C4xxx【例 29】 确定函数 的单调区间3Ax【例 30】 规定 ，其中 ， 为正整数，且 ，这是排列数 （A(1)mxx xRm0A1xAmn是正整数，且 ）的一种推广,nn求 的值；315排列数的两个性质： ， （其中 是正整数） 是否都1Amn1mmnn,n能推广到 （ ， 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不mxR能，则说明理由
