1、1平行与垂直的证明位置关系证明的主要方法：直线与直线平行：平行公理； 线面平行的性质定理； 面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理； 面面平行 线面平行。平面与平面平行：面面平行的判定定理； 垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角； 面面垂直的判定定理。基本思想：（1）线与面的平行一般归结为证线与面内线的平行；面与面的平行一般归结为证一个面内两相交直线与另一个面的平行，相当于证两个线面平行，最终又归结到证线与线的平行，因此，线面平行、面面平行最终都归结为证线线平行。（2）线与面的垂直
2、一般归结为证线与面内两相交直线垂直；面与面的垂直一般证一个面内一条直线与另一个面的垂直，最终又归结到证线与线的垂直，因此，线面垂直、面面垂直最终都归结为证线线垂直。（3）线与线的垂直一般通过证一条直线垂直于另一条直线所在的平面而说明（4）要深刻体会几种转化关系线线平行 线面平行 面面平行 ； 面面平行 线面平行 线线平行线线垂直 线面垂直 面面垂直 ； 面面垂直 线面垂直 线线垂直几个性质定理怎么用：在题目中如果具备了线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直这些条件，那就应该要想到它们会产生的结论，即使有可能用不到。如已知了线面平行，那你就应该要想到“这条直线会平行经过该直线且与平面相交的交线”
3、等。一线面平行例 1P1712. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 M 为棱AB 的中点求证：AC 1/平面 B1MC；3.如右图所示，空间四边形 ABCD 被一平面所截，截面 EFGH 为平行四边形，又ADBCa 且 AD 与 BC 成 600 角。2（1）求证：BC/平面 EFGH；（2）E 在 AB 的何处时，截面 EFGH 面积最大？最大面积是多少？练习：1.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，SABCDAB侧棱 底面 分别为 的中点SD EF， ， S，证明 平面 ；EF二面面平行例 1P171 例 22已知 是异面直线， ，求证： .ba, /,baa/性质应用：
4、P171 例 3三线面垂直例 1如图，正四棱柱 中， ，点 在 上且1ABCD124ABE1CEC3证明： 平面 ；1A E B CFSDA BCDEA1 B1C1D13例 2在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 平面ABCDPABPD。FEFEABC于 点交中 点 ， 作是 ,（1）证明： ；平 面/（2）证明： ；P平 面例 3P174 例 1例 4四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 已知SABCDABSBCAD， ， ， 5 23S证明 ；例 5如图，平行四边形 中， ， 将 沿 折ABCD602,4ABDCBD起到 的位置，使平面 平面EBDE（I）求证： （）求三棱锥 的侧面积
5、。A BCDPEFDBCAS4四面面垂直例 1P175 例 2例 2如图所示，四棱锥 的底面 是边长为 1 的菱形， ，PABCD 06BCDE 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD， 。证明：平面 PBE 平面 PAB；3例 3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 M 为棱 AB 的中点求证：平面 D1B1C平面 B1MC练习：1如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点 E 在棱 PB 上.PABCDPDABC底 面求证：平面 ；E平 面PABCED52如图， 为空间四点在 中， 等边三ABCD平 ABC 22ABC平角形 以 为轴运动（）当平面 平面 时，求 ；（）当 转动时
6、，是否总有 ？ D证明你的结论3如图，正方体 的棱线长为 1，线段 上有两个动点 E，F，且1ABCD1BD，则下列结论中错误的是 2EF（A） （B） /ABCD平 面（C）三棱锥 的体积为定值EF（D）异面直线 所成的角为定值,4如图，在三棱锥 中， 是等边PABCP三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC（）若 ，且平面 平面 ， 4求三棱锥 体积。PABCDAC6NMABDCO5如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍，P 为侧2棱 SD 上的点。 （）求证：ACSD；（）若 SD 平面 PAC，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面
7、PAC。若存在，求 SE：EC 的值；若不存在，试说明理由。6已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC， 底面PADB,90ABCD，且 PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点 奎 屯王 新 敞新 疆21（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；7如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的菱形， , OABCD 4ABC, , 为 的中点， 为 的A平2MNB中点（）证明：直线 ；N平（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； A BCDP M7对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且一般都是
8、放到一个三角形内解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用1.异面直线所成角的求法：(0， 2（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；（3）向量法：异面直线上的向量所夹的角为锐角或者直角时，就是异面直线所成角，异面直线上的向量所夹的角为钝角时，就是异面直线所成角的。2.直线与平面所成的角 0,2（1）定义法：关键在于在斜线上的合适位置（一般可考虑特殊的一些点如端点、中点）作出平
9、面的垂线，通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；（2）向量法：直线和平面的法向量所成的锐角的余角就是直线与平面所成的角。3.二面角的求法 0， （1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）向量法：两个半平面的法向量的夹角就是二
10、面角的平面角或者其补角。在两个半平面内分别做棱的两条垂直向量，向量的夹角就是二面角的平面角或者其补角。4.空间距离的求法求点到平面的距离，定义法：关键是找出点到平面的垂线段。作出垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；向量法用公式，向量法求距离的公式：d ，注意各个量的意义。|ABn注：文科对 2，3，4 不作要求，但异面直线所成角是要求掌握的。1.已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则 所SCDESBAESD，成的角的余弦值为（ ）A B C D133322.正方体 中， 的中点为 ， 的中点为
11、 ，异面直线 ABMNBM与 所成的角是（ ）CN8A B C D30 90 45 603.四面体 中，各个侧面都是边长为 的正三角形， 分别是 和 的中点，SCa,EFSCAB则异面直线 与 所成的角等于（ ）EFAA B C D0906045034.在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，若 P 是棱 A1A 上的一点，则直线 PC 与 D1B1所成的角是（ ）A.在 45到 90范围内变化 B.45 C.90 D.605.如图，已知 AA1与 BB1是异面直线，且 AA1=2，BB 1=1，ABBB 1，A 1B1BB 1，则 AA1与 BB1所成的角为（ ）A.30 B.60 C.45 D.90注：对 2，3，4 各举一例1已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角1ABC1AB1CA的正弦值等于（ ）A B C D64042322.三棱锥 则二面角,73,10,8,6,PCAPABCAPACB的大小为_3.矩形 ，沿对角线 把 折起，使 点在平面 上的4,3,BDD射影 落在 上，AE BD 于 F。E求 的长。 求 点到平面 的距离。ACACD（A） （B）A B C D E F A B C D F E 8
