1、,1,Thomas H. Cormen 等著 The MIT Press,Introduction To Algorithms 算法导论 （ Part III Data Structures ）,2,Part III Data Structures,本部分讨论的数据结构可看作是动态集合集合中元素分为两部分: Key , 辅助数据 集合上的操作 查询 (Search, Minimum, Maximum, Successor, Predecessor) 修改(Insert, Delete) Note 有的操作必须假定集合是全序集（线性序） 注意与偏序集的区别 全序集满足三分律，任两元素间是可比较的
2、，有最大、小值,3,Chapter 13. 红黑树,4,13 红黑树,二叉搜索树上执行查找、前趋、后继、最大/小值、插、删等动态集合。操作时间取决于树高O(h)，当它退化为单支树时，其时间和单链表上操作时间一样为O(n) 平衡二叉树O(lg n) 完全平衡 -满二叉树 平衡的二叉搜索树 AVL62年 至多1.44lgn 红黑树72年 Bayer 高至多为2lg(n+1) 4阶B树红黑树 keys：13，subtrees：24,5,13 红黑树,6,13 红黑树（续）,B-树只适于外部查找，内部查找只适用于阶数较低的B-树。4阶B-树转换为红黑树，后者变为二叉搜索树，其平衡性由B-树得以保证,7
3、,13.1 定义及性质,Def 1. 红黑树是满足下述性质（简称RB性质）的二叉搜索树: 每个结点或红或黑 根为黑色 每个叶子（nil）为黑（外部结点） 若结点为红，则其两个孩子必为黑 每一结点到其后代叶子的所有路径含有相同数目的黑结点,8,13.1 定义及性质,结点结构 color1位表示红或黑 内点：含关键字 外点：所有空指针域加上外结点（树叶）,9,13.1 定义及性质（续）,例子（三种表示） Fig13.1(a)通常表示 所有nil指针域用1个哨兵NILT表示（包括根的双亲指针），哨兵的color为黑。哨兵 简化边界条件处理，NILT是一个含有5个域的对象，和通常结点一样，若每个nil
4、域用一个哨兵表示，浪费空间，但其好处是其父亲无二义性，即每个PNILT有确定的值。所有NIL共享一个NILT时，处理稍复杂 省略空指针表示 Def 2: 结点x的黑高bh(x)是该结点到它的任何后代叶子路径上的黑点数（不包括x本身）。性质5保证此定义有效,10,13.1 定义及性质（续）,Def 3: 红黑树的黑高是根的黑高：bh(rootT) Lemma13.1：一棵n个内点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)Pf： 方法1,11,13.1 定义及性质（续）,方法2,12,13.1 定义及性质（续）,方法3 先证任一结点x为根的子树至少有2bh(x)-1个内点（用B树易证，每一B树中结点有一
5、黑点，而B树关键字RB树中结点数相应的满二叉树关键字数） 对x的高度 （不是黑高）用归纳法证明 归纳基础：若h(x)=0，则x为叶子（nil）bh(x)=0，20-1=0无内点，故成立。 设h(x)0，则x是内点，有两孩子。的每孩子黑高为bh(x)或bh(x)-1x的红孩子黑高应为bh(x)，该红孩子没有计算在bh(x)中，而x自身也未算入x的黑孩子黑高应为bh(x)-1， 该孩子在bh(x)中已计算一次，但该孩子在自己的黑高中不计算,13,13.1 定义及性质（续）,14,13.1 定义及性质（续）,（）根黑高至少为树高h的一半 性质4：红点必有两黑孩子即：bh(root) h/2 /根到任
6、何叶子的路径上至少有一半结点为黑点（不包含根）由（1）知该树内点数n至少为2h/2-1，i.e.，,Ex13.1-3 Ex13.1-5,15,13.2 旋转,插入、删除等修改操作可能违反红黑树性质，恢复时须修改某些结点颜色和改变指针 属性：双亲P，左子L，右子R，颜色C，关键字k左旋 Step1: 记录y Step2: 连到x右 Step3: y连到px（y是子树根） Step4: x连到y左,16,13.2 旋转（续）,对x做左旋时，假定x的右子y非空(y不动，x-y左旋 )对y做右旋时，假定y的左子x非空(x不动，x-y右旋 ) 旋转仍保留了排序树性质不变 x y /红黑性质暂不讨论 右旋
7、与之对称 算法,17,18,19,右旋与之对称,20,13.3 Insertion,思想及步骤 Step1: 将z插入到RB树中（与二叉搜索树相同），z总是作为叶子插入（不是指外部结点） Step2：将z涂红 Step3: 使之满足RB性质（着色其它结点及旋转），即调整 算法,21,22,23,13.3 Insertion（续）,调整分析 z作为红点插入后，其两个外部结点作为左右孩子是黑色的，不违反性质1，3，5（非红即黑，叶子为黑（外部点）、黑高定义完整 指任一结点黑高不变） 只可能违反性质2（当z作为根插到空树中）和性质4（当pz为红点） 若z作为根插入，将其涂黑（违反性质2，恢复） 若z
8、非根，则Pz存在 若pz为黑色，无须调整 若pz为红色，则调整（违反性质4）,24,13.3 Insertion（续）,pz为红，它不是根（根为黑）， ppz必存在，且为黑色 分六种情况调整，其中case13为z的双亲pz是其是其祖父ppz的左孩子（右孩子对称） Case1：z的叔叔y是红色,将pz和y置为黑色,ppz 置为红色 令ppz为新z BST性质不变,25,13.3 Insertion（续）,Note现在可能违反性质4的是ppz和它的双亲 令它是新的z，继续保持性质5的基础上向上调整，最多至根（若ppz与其双亲不违反性质4，则终止） 当红色向上传播至根时，（违反性质2），将其涂为黑色
9、，故树的黑高最多加1，但性质5不变,26,13.3 Insertion（续）,Case2：当z的叔叔y是黑色，且z是双亲pz的右孩子 Case3：当z的叔叔y是黑色，且z是双亲pz的左孩子上述变换仍保持性质5不变，旋转后又保持性质4. 调整终止 Note: ，根为黑色 Case1和Case2，Case3互斥,z pz,左旋z,pz,ppx,pz,z,ppz,变色pz和ppz,右旋ppz,27,28,29,13.3 Insertion（续）,时间分析RB树高O(lgn)，插入为O(lgn)，调整为O(lgn)，2个旋转O(1)（至多2个旋转）总的时间： O(lgn),30,13.4 Deleti
10、on,二叉搜索树上的删除，设被删结点为z只要短路z即可，（实际上case1是case2的特例），即用z的唯一（可能非空的）孩子x取代之,31,13.4 Deletion（续）,Case3：z的两子均非空 找z的中序后继y，即右子树中最左下结点y，y的左孩子为空；或z的中序前趋，即左子树中最右下结点y，y的右孩子为空 因为y最多只有一个非空孩子x（可能两子均空），故可用x取代y，与y的双亲短路，删去y 将y的内容copy至z中即：case3是将删z的操作变为删y的操作，而 删y的操作与case1和case2相同。物理上删y，逻辑 上删z。y的内容copy至z不破坏排序树的性质，三 种情况统一到c
11、ase2处理,32,33,34,13.4 Deletion（续）,调整方法 RBDeleteFixup（T,x）/恢复RB性质被删结点y为黑色，故对于任何y的祖先结点而言，它们到叶子的路径上少了一个黑点，违反性质5想象将y的黑色涂到x上，,35,13.4 Deletion（续）,但是双黑结点违反性质1（非红即黑）故调整时试图恢复性质1，消去双黑结点的一层黑情况1：若x是根，不影响性质5，直接移去一层黑（黑高减1）情况2：若x原为红，则将y的黑色加到x上（注意y只有一非空孩子），终止情况3：若x非根且原为黑，则通过变色和旋转将x上额外的一层黑色向树上方移动直至x指向某个红点或x指向根时终止，调整
12、共分为八种情况：Case14与Case58对称，前者x是px的左子，后者x是px的右子,36,13.4 Deletion（续）,Case1: x的兄弟w是红色 x非根， 必有兄弟w。 （严格二叉树）又w不可能是nilT，即它可能为红点 w为红， px必为黑调整后子树根的黑高不变，BST性质不变,W和px变色 px左旋 w指向x的新兄弟,37,13.4 Deletion（续）,Case2Case4：x的兄弟w为黑色，由w的孩子颜色区别 Case2：x黑兄弟w的两孩子为黑（w至少有一红孩子是case3，case4）w有两黑子，故w可变红 令A及D的黑色涂到B上，现在A是单黑结点。若B原为红（例如从
13、case1而来）则终止；否则继续脱去B上的双黑,px,t(R/B),原x,w变红 x上溯至px,只有此种情况须循环,38,13.4 Deletion（续）, Case3：x黑兄弟w的右子为黑（左子必为红）,w变红 x上溯至px,t,t,case3,case4,w左子c变黑，w变红 w右旋，w指向x的 新兄弟,39,13.4 Deletion（续）, Case4：x黑兄弟w的右子为红，左子可红可黑，之上黑点数目变换前后不变，而，之上多了一个黑点，相当于x上多余黑点计数被移去，故调整终止Ex13.4-5,40,41,42,43,Chapter 14. 数据结构扩张,44,14 数据结构扩张,工程上
14、的数据结构往往要扩充现有的数据结构，即增加附加信息。在扩充结构上要引入许多新操作，增加的info须通过原结构上的基本操作来修改维护本章讨论两种RB树的扩充结构 OS树和区间树,45,14.1 动态顺序统计,Ch9中讨论过该问题，即在无序集合上找ith最小元时间为O(n)本章相当于是在有序集合上完成上述功能， 有序可在O(lgn)时间内完成，与有序数组不同的是后者是静态结构，插删效率较低 通过修改RB树，使之支持： 选择问题：给定一个Rank，求给定集合的相应元素 Rank问题：求给定元素x在集合中的秩 快速支持O(lgn)的扩充RB树称为顺序统计树（OS树）,46,14.1 动态顺序统计（续）
15、,Def：OS树是一棵RB树，在每个结点上扩充一域Sizex，它是以x为根的子树中内部结点的总数（包括x本身），即子树的Size 若定义SizeNIL=0，则有恒等式：/或SizenilT=0Sizex = Sizeleftx + Sizerightx+1,T,47,14.1 动态顺序统计 (续),选择问题 OSSelect (x,i) 找给定秩的元素在以x为根子树中检索ith最小元在T中找ith最小元，可令x=rootTStep1: r Sizeleftx + 1; 即确定x的秩（在以x为根的子树中）Step2: 若i=r, 则返回x 若ir，则递归地在x的右子树中继续找第(i-r)个最小元
16、 时间：每次递归下降一层，至多为树高O(lgn),48,14.1 动态顺序统计 (续),确定给定元素的秩设x指向给定结点，要返回它在OS树中的秩。即:确定x在树T中是第几个最小元？也就是在T的中序序列中有多少个元素排在它之前再加上x本身。 Step1在以x为根的子树中，排在它之前的结点数为： r sizeleftx+1 /包括x本身r是x在以x为根的子树中的秩,49,Step2 若x是T的根，则返回r 若x是其双亲px的左子树，则px及x的右兄弟为根的子树中所有结点均不小于x，故只需将计算结点x上移至px（即，r是x在以x和px为根的子树中的秩） 若x是px的右子树，则px及左子树中所有结点均
17、应排在x之前，故累加此数到r中后可将计算点x移至px即：r r + sizeleftpx + 1r是x在以px（新x）为根的子树中的秩重复2，3至1时终止，即当x上溯至根后，r即为整个树T中所有排在x之前的元素个数（包括x本身）即：当x=rootT时，r是x在T中的秩,50,算法,51,14.1 动态顺序统计 (续),维护子树的SizeOSSelect和OSRank之所以能快速地计算，原因是OS树中给出了Size信息。但若在修改RB树的基本操作中不能有效地维护Size信息，这些新操作就失去了意义。一般地：对基本数据结构进行扩充信息，必须保证能有效地维护这些信息，所谓有效维护附加信息是指：扩充后
18、的基本操作（主要是指修改）与扩充前的基本操作的渐近时间相同,52,14.1 动态顺序统计 (续),插入 RB树上插入分两阶段 Phase1：从根自下，插入新结点，增加Size后，只要将：搜索插入位置路径上各结点的Size加1，新结点Size置为1即可，附加成本O(lgn) Phase2：从叶子向上调整：变色，旋转；仅旋转改变了RB树结构，故为维护Size，只需考虑对该操作修改。旋转操作是局部操作，仅有执行旋转的边上（轴）的两个结点的Size域可能违反其定义，故只需在旋转操作尾部加上相应修改Size操作即可,53,14.1 动态顺序统计 (续),例如LeftRotate(T,x) (右旋与此对称
19、)sizeysizex; /y取代x为子树的根sizexsizeleftx+sizerightx+1;/旋转后的结点数每个旋转操作时间O(1)，而插入过程中，至多有两个旋转 OS树上作插入总时间代价仍为O(lgn)，与RB树相同,54,14.1 动态顺序统计 (续),删除 RB树上删除亦为两阶段 Phase1：物理上删去y，从y上溯至根的路径上各结点size减1，额外时间O(lgn) Phase2：至多有三个旋转会改变结构，故旋转操作所花的修改size时间为O(1)。 结论：在OS树上删除操作的时间仍为O(lgn),55,14.2 怎样扩充一个数据结构,在算法设计中，经常需要扩充一个基本的数据
20、结构，使之： 支持某些附加功能（开发新操作） 加速某些已有功能（加速已有操作） 扩充步骤 选择一基本数据结构 确定附加info（不一定仅是数据，亦可能是指针） 维护附加info（有效） 开发新操作,56,14.2 怎样扩充一个数据结构（续）,不一定非得按上述次序进行，如，若第三步不能有效维护附加info，step2，4就无讨论的必要。OS树按此次序设计:Step1：选择RB作为，它有效地支持全序下的动态集合的操作（求最大/小，前趋，后继等）Step2：在RB树中增加Size，使OSSelect和OSRank能快速实现，在RB树上时间会更多Step3：有效性Step4：新操作OSSelect和O
21、SRankNote：若在RB树中增加rank域，则OSSelect和OSRank能快速进行，但插删可能引起树中每结点上Rank的修改，其时间为O(n)，得不偿失,57,14.2 怎样扩充一个数据结构（续）,扩充RB树定理当扩充RB树时，能否有效维护附加Info呢？若满足下述定理，则附加info可有效维护之。 Th14.1：设f是在RB树T的n个结点上扩充的域，对任意xT，假设结点x的f域的内容fx能够仅通过结点x，leftx，rightx的info（包括fleftx 和 frightx）计算，则可以在插删时维护T中所有结点的f域而不改变这些操作的渐近时间O(lgn)Pf：基本思想：fx的变化只
22、会传播到x的祖先，即改变fx只可能影响fpx的变化，而修改fpx只可能引起fppx的修改，如此向上传播，直至frootT被修改后，没有其他节点需修改为止。附加成本O(lgn)。具体插删的证明（略）,58,14.2 怎样扩充一个数据结构（续）,Ex 14.1-4 Ex 14.1-7,59,14.3 区间树,将RB树扩充为支持区间 闭区间：实数有序对t1,t2使得t1 t2，一区间代表一集合：t : t1 t t2 开、半开区间：本节只讨论闭区间，其结果易扩展到开/半开区间上 区间可用来表示一个事件所占用的时间，故在一时间区间数据库中，可询问某一给定区间上所有发生的事件 区间t1,t2可表示为一对
23、象i，它有两属性： lowi=t1 /起点 highi=t2 /终点,60,14.3 区间树（续）,两区间重叠是指 i i 即：( lowihighi ) and ( lowihighi ) 亦即：两区间低端都不大于另一区间高端 当一区间低端大于另一区间高点时，这两区间必不重叠 任两区间i,i满足区间三分律，即下述3种恰有其一成立 i和i重叠 highilowi highilowi,61,14.3 区间树 (续),区间树是对红黑树的扩充，每个结点增加“区间”等属性：intx，它支持： 插入：IntervalInsert(T,x) 将节点x插入树中 删除：IntervalDelete(T,x)将
24、节点x从树T中删去 查找：IntervalSearch(T,i)在T中找与区间i重叠的区间，找到则返回结点，否则返回nil 结点结构,62,14.3 区间树（续）,按上节四个步骤设计区间树 Step1：基本结构以RB树做基础，对任意x T x包含区间intx x的key为区间低点：key=lowintx Step2：附加info每节点x包含值maxx，它是以x为根的子树中所有结点的区间高端的最大值,63,14.3 区间树（续）,Step3：维护附加info（有效性） maxx=max( highintx, maxleftx, maxrightx )即附加信息maxx由区间intx的高端及左、右
25、子树中的max值确定由Th14.1知，插，删等改变树形态的操作，其执行时间仍为O(lgn) Step4：开发新操作 查找与给定区间i重叠的区间intx,64,65,14.3 区间树（续）,查找一个与i重叠的区间 基本思想 IntervalSearch (T, i): Step1: 从根开始查找：x rootT Step2: 若x非空且i与intx不重叠，则 若x左子树非空且左子树中最大端点lowi，则令xleftx，即到左子树中继续找 否则，左子树中必定找不到，故令xrightx，即到右子树中继续找 Step3：返回x /（x=nil）or intx 与 i 重叠,66,14.3 区间树（续）
26、,算法的正确性从根往下走一条路径，而不是遍历整棵树，能保证若有与i重叠的区间，就一定可以找到一个吗？即当考察结点x不与i重叠，则搜索方向是安全的吗？Th14.2 Case1：若算法从x搜索到左子树（走左分支），则左子树包含一个与i重叠的区间，或者在x的右子树中没有与i重叠的区间（即要保证走左分支时，若找不到与i重叠区间，则右子树也无区间与i重叠） Case2：若从x搜索右子树（走右分支），则左子树不含有与i重叠的区间,67,14.3 区间树（续）,Pf： 先证case2 算法走右分支的条件是：leftx=nil or maxleftxlowi1）x左子树为空，则不会有与i重叠的区间2）x左子树
27、非空，但maxleftxlowimaxleftx是x左子树中最大端点，对 i x左子树，有highi maxleftx lowi /i在i之间由区间三分律知，i与i不重叠，即左子树中任一区间与i不重叠,68,14.3 区间树（续）,再证case1 算法走左分支时： 若x左子树包含于i重叠的区间，则搜索该子树是安全的，case1已证 若x左子树无区间与i重叠，则此时x右子树中亦没有区间与i重叠maxleftx lowi区间 i x左子树（Note左子树非空）使得highi = maxleftx lowi /i不可能在前即highi lowi不成立,69,14.3 区间树（续）,i和i不重叠 且 highi lowi不成立 有highi lowi /不重叠的两区间必有一区间高端小于另一区间低端 又区间树的key是区间低点，由搜索树性质知区间i x的右子树，则highilowi lowi /i在i之前，注意i在x的左子树中，i在x的右子树中 由三分律知，i和i不重叠 Note: 该定理只能保证从某路径搜索无结果，则从另一路径搜索亦无结果；但不能保证从某路径搜索有结果，从另一路径亦有结果 Ex 14.1-4 14.1-7 14.3-3,
