1、7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 1 -培育学生多元多维的几何认识NCTM 几何课程标准简介与评价北京教育学院数学系 王建明 100044Email: 摘要 NCTM 几何课程标准的经验值得我们反思我们的几何课程改革中，标准的制定不仅要发展学生根据已知事实提出猜想、并进行推理与证明的能力，发展学生对公理化思想的理解，还要培育学生多元多维的几何认识在我们的几何课程标准研制中，信息技术应该是不可或缺的、必须考虑的重要因素关键词 课程标准，几何教学，NCTM ，信息技术作者简介：王建明（1963） ，男，江西人，副教授，整体微分几
2、何硕士，从事几何和数学教育教学与研究NCTM 于 2000 年 4 月 12 日在芝加哥的第 78 次年会上，发布了备受关注的学校数学的原则和标准 （The Principles and Standards for School Mathematics，简称 NCTM标准 2000 ）的最后版本我国义务教育阶段国家数学课程标准 （简称义务课标 ）进入了大面积实验阶段， 高中数学课程标准框架设想（简称高中课标 ）也于 2002 年 3 月 18 日发表了征求意见稿鉴于颇受各方争议的“几何”课程标准的改革历来是一个难点，为此介绍 NCTM 标准 2000中关于几何标准的整体要求，以期获得一些借鉴，
3、同时也就相关问题提出了作者的看法7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 2 -1学龄前12 年级所有学生的几何课程标准的整体要求（1）分析 2 维和 3 维图形的特征和性质，发展关于几何关系的数学论证（2）用 坐标和其它表示方法确定位置和描 述空间关系（3）应用 变换和对称分析数学问题情景（4）使用可视化、空间推理和几何模型解决问题2几何课程的整体要求通过几何的学习，学生将学习关于几何图形的知识，学会分析它们的性质和相互关系空间的可视化2 和 3 维物体抽象表示法的建立和处理，以及从不同的角度透视物体是几何思想中一个重要方面直到最
4、后高中阶段的证明，几何都是学生推理和判断能力得以发展的天然场所几何模型和空间推理提供了解释和刻画现实世界的方法，几何也是问题解决中的重要工具几何思想在数学的其它领域和现实世界中，可用于表示和解决问题，所以在可能的情况下，几何应该和数学其它领域结合几何表示法可以帮助学生理解面积和分数的意义，柱状图和散点图可以显示数据的内涵，坐标图可以联结几何与代数空间推理有助于地图使用、路线规划、地面设计和艺术创作通过几何学习，学生可以学会观察周围的结构和对称通过使用具体模型、制图和动态几何软件，学生会自主地着迷于几何思想通过设计好的活动、合适的工具和教师支持，从最早期的学校教育开始，学生可以提出几何猜想并探索
5、它们，可以学会仔细地思考几何概念几何学具有比定7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 3 -义更多的内涵；它是刻画关系和关于推理的学问学生在几何学习过程中逐渐建构自己的理解，由非形式化到形式化的思维长期以来，几何被看作学校数学课程中，学生学习推理、了解数学公理结构的场所几何标准中包含一个重要核心发展学生以定义和已有事实为基础的、仔细的推理和证明信息技术在几何的教与学中起着重要作用如动态几何软件使学生可以模拟大量 2维图形，使学生与图形产生交互式的经验通过信息技术，学生可以获得产生猜想和探索猜想的许多案例，但是，重要的是使他们认识到
6、这些都不构成证明可视化和空间推理也可以通过计算机动画和其它信息技术的交互性得到提高（1）分析 2 维和 3 维图形的特征和性质，发展关于几何关系的数学论证儿童天性就喜欢观察、描述形状的变化，并注意它们的性质虽然识别形状也重要，但是对性质和图形之间相互关系的关注更重要例如，学龄前2 年级的学生可以观察到长方形用于铺瓷砖来说很好，因为它们有四个直角在此阶段，学生可以通过他们看得见、抓得住和能处理的实物学习几何图形随后，图形特征和性质的学习变得更抽象到了高些年级，学生可以关注、讨论图形的构成，比如边和角，图形分类的性质又例如，用实物和动态几何软件研究大量长方形后，35 年级的学生能够猜测长方形的两条
7、对角线相等且互相平分从初中进入高中，当学生学习相似和全等时，他们应该学习演绎推理和更形式化的证明技巧，以解决问题和证明猜想在所有阶段，学生都应该学会为他们的猜想和解答给出令人信服的解释最7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 4 -终他们应该能够刻画、表示和研究一个几何体系中的各种关系，在一个逻辑体系内表达和判断结论；他们还应该能够理解定义、公理和定理的作用，有能力构造自己的证明（2）用坐标和其它表示方法确定位置和描述空间关系儿童最早接触到相对位置的概念，比如，上下、前后、远近和中间等随后，他们可以用垂直网格图确定物体的位置，并通
8、过垂直线和水平线测量点与点之间的距离这种与直角坐标平面的经验，在今后将有助于他们解决几何和代数中的各种问题在初中和高中，坐标平面可以帮助学生发现和分析图形的性质在初中阶段，在地图上用比例尺找到平面中两点间的距离，或者毕达哥拉斯关系（勾股定理）是重点可以用解析法表示几何图形，以便建立代数与几何的基本联系，比如在初中用解析法表示直线，在高中用解析法表示三角形和圆在用直观和坐标表示分析问题和学习数学时，学生应该获得对数学的体验比如在小学阶段，整数加法的解释可以展示在数轴上随后几年里，学生可以用数轴表示其它类别的数的运算在35 年级，网格图和数组可以帮助学生理解数的乘法又例如，为了使社区的救护车从任意
9、一点达到一所新医院的路径最短，初中生也许会用街区测量距离可以要求高中生寻找飞机在两城市间的最短飞行距离，并要求他们比较地图上和地球仪上两城市间的距离假如学生要寻找一辆汽车穿越几个城市的最短距离，他们也许要用点线图高中生应该把笛卡儿坐标作为解决问题和证明结果的手段（3）应用变换和对称分析数学问题情景7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 5 -儿童带着图形可以移动的直觉进入学校学生通过用镜子、叠纸和临摹等活动经历过滑行、翻转和旋转等运动形式以后学生关于变换的知识应该更形式化和系统化35 年级阶段，学生可以研究变换的效果，并开始用数学
10、术语描述它们通过动态几何软件，他们可以学习如何给出变换的定义例如，要旋转一个图形，学生必须定义旋转中心、旋转方向和旋转角度初中生应该理解平移、旋转和反射等保距变换的意义高中生应该学习表示变换的多种方法，包括用矩阵和函数表示图形是如何在坐标平面上变换的他们还应该理解复合变换的作用所有各个阶段，适当地考虑对称以便使学生深入理解数学、艺术和美学（4）使用可视化、空间推理和几何模型解决问题从学生的早期学校学习开始，他们应该通过可触及的几何实物，在技术的支持下把实物旋转、压缩和变形，逐渐发展他们的可视化能力以后他们应该自主地分析和画出透视图、计算图形的组成部分、描述看不见但可以推导出来的图形属性在他们形
11、成关于全等、相似和变换的理解过程中，学生必须学习用系统的方法，具体地和抽象地改变物体的位置、方向和大小空间可视化包含 2 和 3 维图形之间的变化以及它们之间的表示法通过叠纸，小学生可以学习预测 2 维方形展开图能否与 3 维图形吻合初中生应该可以解释和画出物体的俯视图和侧视图应该鼓励学生根据物体仅有的侧视图和正视图给出物体的一种结构应该鼓励学生思考能否建立多个满足两条件的结构初中和高中生应该找到三维结构所需要的最少视图高中生应该能够形象化并画出空间结构的其它截面图，并指出该结构的变化范围7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 6
12、 -3评价与启示NCTM标准 2000为学校数学提供了 6 个原则和 10 个标准包括平等原则、课程原则、教的原则、学习原则、评价原则和信息技术原则10 个标准包括 5 个内容标准：数与运算、代数、几何、测量和数据分析与概率；5 个过程标准：问题解决、推理与证明、交流、联系和表示通过 6 个原则和 10 个标准，NCTM 为未来的学校数学勾画了一副美好的远景：在学校或者学区的课堂上，所有学生都能够获得高质量的、引人入胜的数学教学所有学生都被给予很高的期望，并且关注每个人的需要教师知识渊博，并且有丰富的教学资源支持他们的教学，教师还能够在专业上不断成长数学课程内容丰富，使学生有机会理解性地学习重
13、要的数学概念和技能现代信息技术是如上教学环境的重要组成部分学生充满信心地投身于教师精心选择的各种各样的数学活动中学生从广泛的数学课程上获得知识教师帮助学生根据事实提出猜想，修改和探究猜想，帮助学生使用不同推理和证明技巧去证实或证伪这些猜想学生是灵活的、足智多谋的解决问题的高手利用现代信息技术，在训练有素的教师指导下，学生或独立或合作地开展富有成果的、反思性的学习活动或口头或书面地，学生有效地交流他们的思想和结论学生们高度重视数学，并积极地参与到学习数学的活动中毫无疑问，这是一副美好的、理想数学教学的情景，所以NCTM 也认为现实与理想是有距离的这样的美景是所有数学教学的理想国我们的数学课程标准
14、研制也应该有美好的理想，但同时也要紧密联系中国的国情因此我们认为，在借鉴 NCTM标7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 7 -准 2000的几何标准经验时，有如下的几点值得思考3.1 几何课程应该关注几何的教育价值从标准 2000中看到“推理与证明”是 5 个过程标准中的一个，并且在几何的整体要求中，首先谈到了几何在推理与证明的作用尤其在高中阶段，还特别谈到了几何的“演绎推理”的功能事实上，在这一点上，以前我们的认识是片面的，现在制定新的高中标准时，应该在几何推理与证明的教育功能方面，有个合适的度关键在于课程设计时，强调的应该
15、是“过程” ，而不是以往的过于复杂的“技能” ；重要的是使学生通过几何的学习，领会和理解“推理与证明”在数学中的地位和价值，而不是通过“推理与证明”显示学生的几何理解能力因此，一句话，应该对以往的“推理与证明”有观念上的更新完全的否定和完全的继承都是不合中国国情的 高中课标注意到义务课标在几何证明方面的不足，专门制订了在“选修 1-2 和 2-2”中，通过“推理与证明”进一步发展学生的科学理性思维精神3.2 几何课程应该培育学生多元多维几何观如上所述标准 2000中几何的整体要求有 4 点，但在不同阶段的具体要求是发展的除了“数学论证” ，另外 3 点的要求总结为一个观点就是：几何课程标准应该
16、使学生有机会获得对几何多元多维认识多元多维的几何认识，包括网格几何、坐标几何（包括仿射几何） 、向量几何、变换几何、几何与其它学科的联系（如物理学、建筑和艺术等） 、几何问题解决、直观几何（如简单图论和直观拓扑等）和几何的新发展（如分形几何） 多元多维的几何观既关注了几何学科的科学发展，同时也关注了学生个性的发展7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 8 -我们认为，多元多维的几何观毫无疑问是正确的发展方向，结合我们的国情应该有所选择这种选择包括，学生不同的学习阶段，在不同的地区也可以区分在这个意义上，我们就应该可以理解义务课标中
17、以直观几何为主线的设计思想同时，随着学生由初中进入高中，面对的选择也是不一样的，因此，高中阶段应该关注向量几何和几何代数化这个结果从形式上看，在高中数学新大纲和高中课标中都有所体现，比如在高中数学新大纲中把向量作为处理几何问题的工具，在高中课标中还有矩阵对几何变换的解释，这些都是使学生获得几何多元多维认识的改革但应该看到，具体的内容上仍然存在不断发展的需要3.3 几何课程应该关注信息技术的作用NCTM标准 2000一个重要的特点就是强调了信息技术在学校数学中的作用，这是符合时代发展的在标准 2000的 5 个其它原则和 10 个标准中多次谈到信息技术在课程设计、数学教与学、评价的原则中的作用，
18、还特别指出“不能使信息技术成为又一个不平等的因素” 由于几何具有现实的直观性，结合教与学的各个过程，充满了信息技术的参与，信息技术使得几何直观性变成可视化包括图形计算器，动态几何软件和几何画板等信息技术信息技术应该得到了非常的重视对此应该引起我们认真的对待值得欣慰的是，不论是在高中数学新大纲 ，还是在义务课标中都谈到了信息技术的作用然而，不论是理论的研究，还是在教学实践上，我们都还有许多课题需要研究比如，信息技术对数学课程内容的影响；信息技术是如何支持学生的数学学习的；信息技术对教师的辅助教7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang -
19、9 -学影响的因素；信息技术如何改变传统的评价方式等因为信息技术对学校数学的影响是多方面的，因为信息技术已经深入到学生的生活，深入到教师的教学，并且这种影响越来越深3.4 关于高中课程标准研制的思考相比较国外数学课程标准的研制，尤其是 NCTM 的标准2000 ，我国正在研制和实验的高中课标 ，应该努力克服以往我们在数学教学大纲或数学课程标准制定过程中出现的以下问题：（1）标准制定过程中“证据”的问题也就是我们提出的论点，应该有相应的实验数据或者调查报告或者学术研讨会的科研成果 （2）相关课题的辅助问题数学课程标准的研制，决不是一个“数学教学大纲” ，更不是一套教材，而应该是一个系统工程只有在
20、各种辅助研究课题的支持下，课程标准才能获得对问题尽可能的全面认识 （3）标准内容研讨的广泛性问题课程标准应该在可能的情况下，最为广泛地获得所有关心数学教育的人士的认识和参与，包括数学教育专家、中学教师、数学家、教育管理者、学生家长在强调科技的时代，应该允许他们在相关的网站上发表他们的看法提供观点的支持性案例遗憾的是，在义务课标的研制过程中，就缺少网络的支持，这种现象仍然没有改变 （4）中国传统文化对数学课程的影响这是另一个更深入的问题张奠宙先生曾经呼吁建立中国特色数学教育学，也就是我们还要下力气研究在具有 5000 年文化历史的东方大地上，我们的数学教育的特点进而从文化的视角搞清楚我们的数学课
21、程标准参考文献：7f5ed15a89afe6c6bba1b4069c14d517.pdf 作者：jmingwang - 10 -1NCTM ， The Principles and Standards for School Mathematics M National Council of Teachers of Mathematics 20002国家数学课程标准研制工作组编义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）M北京：北京师范大学出版社，2001：24333王建明等，高中几何课程标准之我见J数学教育学报，2001，10（4）：55-584王申怀，几何课程教改展望J课程教材教法2000（5）：
22、24265国家高中数学课程标准制订组， 高中数学课程标准的框架设想，数学通报2002（4）：封 246国家教育部，普通高中数学课程标准（实验）M北京：人民教育出版社，2003：56Cultivating students multidimensional understanding of geometry WANG Jian-ming(Department of Mathematics, Beijing Institute of Education, Beijing, China, 100044)Abstract: Geometry standards should focus on developing students understanding of mathematical reasoning and proof, and cultivating students understanding of geometry multidimensionally. Mathematical education technology is an essential factor that should be considered in geometry curriculums. We can learn a lot from NCTM when we
