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类型传染病动力学.docx

  • 上传人:kpmy5893
  • 文档编号:5846914
  • 上传时间:2019-03-19
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    传染病动力学.docx
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    1、1传染病动力学模型姓名:魏薇薇 学号:2009210927院系:数理与信息学院 专业:系统理论摘 要:本文首先介绍传染病动力学的相关概念,接下来介绍两个基本的传染病动力学模型,最后建立一个传染病动力学的偏微分方程模型,并对模型做一些适当的分析.关键词:传染病动力学;常微分方程;偏微分方程;数学模型Model of Epidemic DynamicsAbstract:This article first introduces the concepts of epidemic dynamics, followed by two basic model of epidemic dynamics, f

    2、inally it creates a partial differential equations model of epidemic dynamic ,and do some proper analysis to the model.Keywords:Epidemic dynamics;Ordinary differential equations;Partial differential equations;mathematical model前言传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素

    3、,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际.1 两个基本的传染病动力学模型在传染病动力学中,长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓

    4、室”模型,它的基本思想由 Kermack 与 McKendrick 创立于 1927 年,但一直到现在仍然被广2泛的使用和不断地发展着.下面我们以他们提出的两个经典的基本模型为例,来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念,并显示由模型所能得到的主要结论.1.1 K-M 的 仓室模型SIR所谓 仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类(即三个仓室):易感者(susceptibles)类 记为 ,表示 时刻未染病但有可能被该Stt类疾病传染的人数.染病者(infectives)类 其数量记为 ,表示 时刻已被感染成病人Itt而且具有传染力的人数.移出者(removed)类 其数量记为

    5、 ,表示 t 时刻已从染病者类移出Rt的人数.设总人口为 ,则有 .K-M 的 模型是一个十分NttSItSIR简单粗糙的模型.它的建立基于以下三个基本假设:(1)不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素.这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多,从而后者可以忽略不计.这样,此环境的总人口始终保持为一个常数,即 ,或NtK.StIRtK(2)一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力,这里假设 时刻t单位时间内,一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数 成正比,S比例系数为 ,从而在 时刻单位时间内被所有病人传染的人数(即新病人数)t为 .)

    6、(tIS(3) 时刻,单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比,比例系数为 ,从而单位时间内移出者的数量为 .显然 , 是单位时间内移出者在病 ()It人中所占的比例,称为移出率系数,当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中仅包括康复者时,移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率.3在以上三个基本假设下,易感者从患病到移出的过程可用下述框图描述. SIR对每一个仓室的人口变化率建立平衡方程式,便得到以下模型:(1.1.1),.dItSdRIt下面,我们通过对模型(1.1.1)的分析和解的渐近性态研究来初步显示动力学模型对认识传染病流行规律所起的作用.将(1.1.1)中三个方程两端分别相加,

    7、得,0dtRIS从而(常数).KtIt由于(1.1.1)中前两个方程中不含 ,故实际上我们只需先讨论前两个方程:R. SIdt(1.1.2)由于 , 单调递减且有下界(为 0),故极限0dtS)(t limtS存在.由(1.1.2)有, . (1.1.3)1dIS可见,当 时, 达到极大值.从而不难在相平面 上画出系统(1.1.2)SI ,SI的轨线分布图,如图 1.1 所示.方程(1.1.3)的所有平衡点都在 轴上,而且为0I4系统(1.1.2)的一条奇线.由图 1.1 可见,当初始时刻易感者数量时,0S随着时间增长,染病者数 将先增加达到最大值 ,然后再逐渐减少而最It I终消亡.这一现象

    8、表明,只要 ,即 ,疾病就会流行.0S01I0 S(1.1)令, (1.1.4)001SR则当 时,疾病流行;当 时,疾病不会流行,染病者数量 将单调下降01R0It而趋向于零. 是区分疾病流行与否的阈值.0应当指出,(1.1.4)中的 表示平均移出时间,也就是平均患病期.事实上,1由移出率系数 的定义可见,若病人数量为 ,则单位时间内移出者的数目为 ,nn故经过时间 ,病人全部移出 .1要防止疾病流行,必须减少 使它小于 ,有表达式(1.1.4)可知,这可以0R1通过加强治疗以缩短染病期 或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力 ,或通过1 隔离措施以减少与患病者可能接触的人数即这里的易感者数 来

    9、实现.更为有0S效的方法是通过疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类 ,从而减R5少初始时刻易感者数量 .设人群中通过接种疫苗成功的比例为 ,则0S 01p0S就变成了 ,从而 变小为01p0R.001pS要求 ,即要求01R. (1.1.5)0011pSR由(1.1.5)式可知, 越大,为防止疾病流行所需要接种的人口比例 就越高.0R p由此可见,对 值的估计是十分重要的.由(1.1.4)式可见,要估计 的值,难0R点在于估计 ,因为 不仅取决于疾病的种类,而且还依赖于人群所处的社会环境和病人的活动情况.下面介绍一种对 的近似估计法.0R求解方程(1.1.3),它通过初值 的解为,S

    10、I, 000lnS(1.1.6)由于当 时, , ,代入(1.1.6)式并注意到 ,得 t0ItSt0SIK0ln.K(1.1.7)用数学分析的方法容易验证方程(1.1.7)有且仅有惟一的正实根 .并可解得S0,lnKS(1.1.8)6与 是可以测定的,例如可以通过血清检查测定.从而可根据(1.1.8)式确0S定 的值,然后由 来确定 .在测得平均患病期 后,也可由(1.1.8)0SR01式估算出 .1.2 K-M 的 仓室模型SI一般来说,通过病毒传播的疾病如流感、麻疹、水痘等康复后对原病毒具有免疫力,适合用上述 模型描述;通过细菌传播的疾病,如脑炎、淋病等康复后IR不具有免疫力,可以被再次

    11、感染,1932 年 Kermack 和 Mckendrick 针对这类疾病提出了康复者不具有免疫力的 模型,疾病的传播机制如下面框图所示:SISI这里假设患病者康复后将重新成为易感者,其它假设与 模型相同.此时模型SIR为. dItS(1.2.1)利用 ,可将方程组(1.2.1)化成方程式SIK,dSKSt.(1.2.2)易见,当 时,方程(1.2.2)有惟一的平衡点 ,它是渐近稳定的,即从KS任一 出发的解 均单调增加趋向于 ,从而 将单调减小而0SSt KIt趋向于零,说明疾病不会流行.当 时,方程(1.2.2)有两个正平衡点: , 不稳定;K ,SS渐近稳定 .从任一 出发的 均随 的增

    12、大而趋向于 ,从而S0,Sktt7,这时疾病流行且病人不会消失,最终保持在 的数量而变成一种1It 1地方病.这当然是人们所不希望的.因此, 是区分疾病流行与否,或者是否产生地方病的阈值,当0KR时,疾病逐渐消失;当 时,疾病流行而导致地方病产生.0101R2 传染病动力学的偏微分方程模型传染病动力学的常微分方程模型没有考虑到年龄对传染病发展情况的影响. 实际上,出生率与自然死亡率如在人口模型中考虑过的那样,应与年龄有关;对传染病本身来说,除极少数疾病(如出血热)外,其发病情况均与年龄有关,有的传染病(如麻疹)在婴儿阶段由于天然免疫力在一段时间内不会发病,同时发病率、治愈率、及死亡率的等也均与

    13、年龄有关.因此,必须加入年龄坐标 .此外,病的x发展情况通常还和发病时间的长短(病程)有关治愈率和死亡率等均可能和病程有关,因此还需再引入一个病程坐标 .这就使所考虑方程呈现相当复杂的形y态.可以考虑下述一些不同的情况:A. 不考虑预防及隔离措施(因而结果偏于“安全” )的情况,或者将预防及隔离措施以某种方式换算为对发病率打一个适当的折扣的情形.a. 病愈后终身免疫的传染病(如麻疹).b. 病愈后有一段时间免疫力,但不能终身免疫的传染病.c. 病愈后无免疫力,可以立即再感染而重新得病的传染病.B. 考虑预防及隔离措施的情况,或单独考虑其中一种措施的情况.这里又可相应地分为若干情况,不赘述.下面

    14、对情况 Aa不计预防及隔离措施,而病愈后为终身免疫的传染病(如麻疹),建立相应的数学模型.其余情况可类似进行讨论.将全体人口分为三类:.未发病者;.正发病者;.病愈者. 8三类人之间的相互关系如下图:以下记 为时间, 为年龄,而 为病程.txy设 为人的最大寿命, 为最大病程( ).于是求解区域应为ABBA.yxt0以 记第类人在 时刻按年龄 的分布密度函数, 记第tp,1txxtp,3类人在 时刻按年龄 的分布密度函数, 记第类人在 时刻按年龄 及xytp,2病程 的分布密度 函数,于是,在时刻 ,年龄在 中第类人数为y dxxt,1,年龄在 中第类人数为 ,年龄在 、病程在dxdx, xt

    15、3 d,中第类人数为 ,其中 及 的定义域为yytp,2dtp1xt3,而 的定义域为 .由于年龄为Axt0,xt,ByAxt0,的人其病程 ,故当 时恒有yy2y决定了函数 , ,及 ,就决定了此传染病的动力学特征.xtp1t3xtp下面推导它们应满足的方程.注意到对任何人来说,时间增量=年龄增量=病程增量,我们有在 时刻,年龄在 中的第类人数 应等于在 时刻dtdx, dxtp,1t年龄在 中的第类人数 减去在 中年龄在txdtx,1中的自然死亡数 及发病数dtxt, ptd,dtxp,1.d9由此可得到 满足xtp,1, 11 1,ptxtdxptx(2.1)这儿 为自然死亡率, 为发病

    16、率.考虑到传染病的特点,在 中年龄xddt,在 中的发病人数与人数 及时间 均应成正比,同时还和第, xtp,1dt类人的总数ABdxytpt022,(2.2)成正比,故,ABdxytPxtpx022,从而(2.1)式可写为, xtpxxt 121(2.3)而 由(2.2)式定义.tp2同理,对 我们有yxt,2在 时刻,年龄在 、病程在 中的第类人数dtdx,dy,应等于在 时刻,年龄在 、病程在xyp2 t txt中的第类人数 减去在 中年龄在tty, yxtp,2 dt,、病程在 中的第类人的自然死亡数dxdy,、传染病死亡数)(tdtyp,2xtdtyx,及治愈数 .tx,2 ty,p

    17、2xyt10注意到 dtyxtpydtp,22x,ydtxp,22tyxtyt,222,ppptxttdt 故得 应满足的方程为yxtp,2yxtpyxtyxtp, 222 td,2(2.4)同理,我们有在 时刻、年龄在 中的第类人数 等于在 时刻、dtdx, dxtp,3t年龄在 中的第类人数 减去在 中年龄在tx, xdt,3中的第类人的自然死亡数 加上在txt, xt,3中年龄在 中的第类人的治愈数为 d,dtxt,.tytpyxB02,由此我们得到3320,Bpdxpyptxdyt (2.5)下面看初始条件及边界条件.初始条件为11. :0txp01,yx,02xp03(2.6)边界条

    18、件:由于新生婴儿进入第类状态,且从 开始,故出生的婴儿o数将给出在 的边界条件.设出生率为 ,并设最低生育年龄为 ,我0xxbAa们得到在时段 中出生的婴儿总数dt,应等于在时刻 、年龄区间在dxttpyxtptxbAaB0321 , dt中第 类人数 ,dt,0 ttt0,11故有边界条件, :x0,1tpdtpdtptbBAa 0321 ,(2.7 ).t此外,第类及第类人中不包括新生婴儿,故应有边界条件, :0x0,2ytpByt,(2.8). :,3tt(2.9)又由于第类人中的发病者进入第类人,病程从 开始,故第类人0y的发病数应给出 处的边界条件.我们有0y在 中年龄在 中的第类人

    19、的发病数 应等于在dt,dx, dxtp,1时刻, 年龄在 、病程在 中的第类人数 ,故t tx, dt,0t0,2得如下的边界条件12. :0yxtpxtp,0,12Axt0,(2.10)其中 ,而 由(2.2)式定义.tpx2t2这样就得到定解问题(2.3)-(2.10),其中 由(2.2)式定义.tp2在对已知的资料加以适当的假设(包括相容性条件)后,我们要求该问题的解 , , ,使在区域 上xtp1yxtp2xtp3ByAxt0,连续.可以看到这个问题有如下一些特点:()有三个未知函数,其中 及 具有两个自变数,而另一个未知xtp,1t3函数 则具有三个自变数.它们的方程及边界条件互相

    20、耦合在一起.yxtp,2()(2.3)-(2.5)均为主部为常系数的一阶偏微分方程,但除(2.4)是关于本身(无耦合)的普通的一阶线性偏微分方程外,关于 的方程t2 xtp,3(2.5)中包含 对 的积分,因而是线性、非局部的方程,而关于 的方程2py ,1(2.3)由于包含 ,不仅具非局部的形式,而且是非线性的.t()在 处对 的边界条件具有非局部的积分泛函的形式,但还是线0x1性的;而在 处的边界条件不仅是非局部形式, 而且是非线性的.y总之,这是一个一阶双曲型方程组的非局部、非线性混合初边值问题,而且未知函数具有不同个数的自变数.对这类方程组的定解问题尚有大量问题(如解的整体存在性、解的性质等)有待进一步研究讨论.结束语用数学方法来考察传染病的理论,对它的发病机理、动态过程和发展趋势进行研究,已逐渐成为一个活的研究领域.本文首先介绍了两个经典的传染病动力学模型,然后引入多个变量从偏微分方程的角度来考察传染病的流行规律.从而使所建立的模型与实际更加符合,也能更好的研究传染病的流行规律.

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