1、随机信号分析习题六：1. 分别求下列信号的希尔伯特变换(1) 。10()sintt(2) 。2co2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：(1) 指数衰落正弦波 0()cos()atXtAet(2) 调幅波 00()1),ttt=(3) 线性调制波 200()cos,bXtAt3. 设低频信号 的频谱为()at (),2()0others证明当 时，有0200()cs()sinincoHattat4. 试证：(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数；(2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。5. 试证：(1) ；00jtjtHe(2) ；1()t6. 设 为 的希尔伯特变换，证明：x(1) 和 在范围
2、 内的功率相等，即()tt2211lim()li()TTTTxdtxtd(2) 在范围 内， 和 是正交的，即t。 1lim()02TTxtd7. 证明下式成立，其中 为平稳随机过程， 为 的解析信号：()XtXt()t(1) ；()2xxxRjR(2) )0Et8. 一个线性系统输入为 时，相应的输出为 。证明若该系统的输入为 的希(Xt()Yt ()Xt尔伯特变换 ，则相应的输出 的希尔伯特变换为 。)t()t()t9. 证明若加到系统 的输入为 ，则相应的输出为对应于 的解(2HjU()Xt ()t析信号，即 ()()Ztjt10. 设谱密度为 的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，
3、此滤波器的增益为02N1，中心频率为 ，带宽为 。试求滤波器输出端的窄带过程 及其同相和正交cf2B()Xt分量的自相关函数 、 、 。()XRc()sR11. 设窄带过程 的功率谱 如图所示，试求：tS(1) 的同相和正交分量的功率谱密度。()t(2) 互谱密度 。()sc-740-4-5 4 75 7()XS12. 设如图所示系统的输入是谱密度为 的零均值高斯白噪声 ， 在 上服2N()Xt(0,2)从均匀分布，且与 统计独立。其中两个滤波器的通带分别为 和()Xt B。000(,2),fBff(1) 求输出过程 的功率谱密度 。(Yt()YSf(2) 求 的方差。()Yt ()Yt带通 1()Hf 低通 2()HfXt 0cos(2)ft13. 零均值平稳窄带噪声 具有对称功率谱，其相关函数为 ，求()Yt 0()cosYRA正交和同相分量的相关函数 、 和方差 、 ，并求互相关函数 、cR()s2cs ()scR。()csR14. 对于零均值，方差为 的窄带平稳高斯过程200()cos()sinZtBtAtt求证：包络在任意时刻所给出的随机变量 其数学期望值与方差分别为t。2,2t tEBD15. 试证：均值为零、方差为 1 的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为 2，方差为 4。
