1、自然数 N 次方的尾数周期变化情况：2n是以“4”为周期进行变化的，分别为 2，4 ，8，63n是以“4”为周期进行变化的，分别为 3，9 ，7，17n是以“4”为周期进行变化的，分别为 7，9 ，3，1 8n是以“4”为周期进行变化的，分别为 8，4 ，2，64n是以“2”为周期进行变化的，分别为 4，69n是以“2”为周期进行变化的，分别为 9，1 5n、6 n尾数不变。【例 3】2 2007+32007+42007+52007+62007+72007+82007+92007的值的个位数为是多少？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】D。这道题的每个指数都很大，而求的是最终值的
2、个位数，因此只要根据自然数 N 次方的尾数周期变化情况就可以判断。例如， 22007是以“4” 为周期变化的，于是用 2007 除以 4，可得余 3，因此 22007=23=8，个位数是 8。以此类推将后面几个数的个位数算出来相加即可：原式等价于 23+33+41+5+6+73+83+9，所以最终值的尾数是 4。顺逆水问题常用的公式有：（1）顺水速度（ V 顺 ）=船速（V 船 ）水速（V 水 ）（2）逆水速度（ V 逆 ）=船速（V 船 ）水速（V 水 ）由（1）和（ 2）公式推导可以得出：（3） 船速（ V 船 ）= 顺水速度（ V 顺 ）逆水速度（V 逆 ）2（4） 水速（ V 水 ）=
3、 顺水速度（ V 顺 ）逆水速度（V 逆 ）2（3）、（4）两个公式是顺逆水问题中最核心最常用的两个公式，同学应该将该公式熟记于心。记忆的时候可以这么理解：船速一般要大于水速（不然船就无法在逆水中前行），所以船速是“顺逆相加除以二”、水速是“顺逆相减除以二”。一个公式：工作效率 工作时间=工作总量一个技巧：设工作时间的最小公倍数为工作总量，再求工作效率只要牢牢掌握以上两个点，工程问题都可以很快解出。我们可以通过几个例题来理解这一个公式和一个技巧。【例 3】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要 12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻
4、译 4 小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要 12 小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要( )小时能够完成。A.15 B.18 C.20 D.25【解析】A 。第一步，设工作总量为 60，;第二步：求工作效率，甲乙的效率和为 6，乙丙的效率和为 5，第三步：求解，丙干了 12 小时，可以看成与甲、乙分别合干 4 小时，又单干 4 小时，与甲合干 4 小时完成 24 份工，与乙合干 4小时完成 20 份工，剩余的 16 份工由乙 4 小时完成，因此乙的效率为 4，总的工作时间为 15，选 A。溶液、溶剂、溶质和浓度的关系如下溶液的质量= 溶质的质量+溶剂的质量浓度=溶质质量溶液质量溶液
5、质量=溶质质量浓度溶质质量=溶液质量浓度难度较低的溶液问题只要通过以上几个公式就可以列方程求解，而对于一些较复杂的浓度问题，就要通过“十字交叉法”来求解。十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（Aa +Bb = c( A +B )关系式）的习题，均可用十字交叉法。该法解题的关键是准确找出平均值。其解题原理为： Aa Bb(AB)c整理变形后可得 (acb)其中 c 为平均值十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
6、【例 3】把浓度为 20%、30%和 50%的某溶液混合在一起，得到浓度为 36%的浓液 50 升，已知浓度为 30%的溶液用量是浓度为 20%的浓液用量的 2 倍，浓度为 30%的溶液用量是多少升（ ）A、18 B、8 C、10 D、20【解析】D。用十字交叉法计算，假设 2%的溶液为 L 升，则 30%的溶液为 2L 升，先将20%和 30%的酒精混合，混合后的浓度为 20%*L+30%*2L/L+2L=4/15设 50%浓度的溶液为 Y 升溶液 1：4/15 7/50 50-Y36% 溶液 2：50% 7/75 Y因此 7/507/75=3/2=50-Y/Y，推出 Y=20。故选 D。一、概率问题公式加法原理：m 1+m2+mn乘法原理：m 1m2mn 注意：分类用加法，分步用乘法。二、排列组合公式注意：有顺序用排列，无顺序有组合。
