1、高三模拟理科数学试题 (五)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知函数 log5 , 02x, 0x xf x x 则 125f f （ ）A 14 B 4 C -4 D 142.复 数 22 iz i （ i为 虚 数 单 位 ） 所 对 应 的 的 点 位 于 复 平 面 内 （ ）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限C 第 三 象 限 D 第 四 象 限3.设 nS 是 等 差 数 列 na 的 前 n项 和 ， 5 2 83( )S a a ， 则 53aa 的 值 为 （ ）A 16 B 13
2、C. 35 D 564 以 下 判 断 正 确 的 是 ( )A.函 数 ( )y f x 为 R上 可 导 函 数 ， 则 0( ) 0f x 是 0x 为 函 数 ( )f x 极 值 点 的 充 要 条 件B .命 题 “ 20 0 0, 1 0x R x x ” 的 否 定 是 “ 2, 1 0x R x x ”C.“ ( )2k k Z ” 是 “ 函 数 ( ) sin( )f x x 是 偶 函 数 ” 的 充 要 条 件D. 命 题 “ 在 ABC 中 ， 若 A B ， 则 sin sinA B ” 的 逆 命 题 为 假 命 题5.已 知 实 数 x ， y满 足 不 等
3、式 组 21, 0,1 0,xx y mx y 若 目 标 函 数 2z x y 的 最 大 值 不 超 过 4， 则实 数 m 的 取 值 范 围 是 （ ）A 3, 3 B 0, 3C. 3,0 D 3, 36.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 此 几 何 体 的 体积 为 （ ）A 6 2 2 6 B 83C 3 D 6 2 27.按 如 程 序 框 图 ， 若 输 出 结 果 为 170， 则 判 断 框 内 应 补 充 的 条 件 为 （ ）A i 5 B i 7 C i 9 D i 98. O 是 平 面 上 一 定 点 ， A、 B、 C 是 平 面 上 不
4、 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足)|( ACACABABOAOP ， ，0 ， 则 P 的 轨 迹 一 定 通 过 ABC 的 （ ）A外 心 B内 心 C重 心 D垂 心9 .已 知 函 数 ( ) sin 3cosf x x x ， 当 0,x 时 ， ( ) 1f x 的 概 率 为 （ ）A 13 B 14 C 12 D . 1510 函 数 y 11 x的 图 象 与 函 数 y 2sin x( 2 x 4)的 图 象 所 有 交 点的 横 坐 标 之 和 等 于 ( )A 2 B 4 C 6 D 81 1 .设 椭 圆 + =1 ， 双 曲 线 =1 ， （ 其 中
5、 m n 0 ） 的 离 心 率 分 别 为e1 ， e2 ， 则 （ ）A e1 e2 1 B e1 e2 1C e1 e2 =1 D e1 e2 与 1 大 小 不 确 定1 2 . 已 知 ( )f x 是 定 义 在 R上 的 函 数 ， 其 导 函 数 为 ( )f x ， 若 ( ) ( ) 1f x f x ， (0) 2016f ，则 不 等 式 ( ) 2015 1xf x e （ 其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 ） 的 解 集 为 （ ）A ,0 0, B 2015,C. 0, D ,0 2015, 第 卷 （ 非 选 择 题 共 90 分 ）二 、 填 空 题
6、： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .13. 2 61( 1)(2 )x x x .展 开 式 中 的 常 数 项 为 .14. 已 知 x 0 ， y 0 ， + +1 =2 ， 则 2 x+y 的 最 小 值 为 1 5 . 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AB CD， AB=2 ， AD=DC=1 ， P 是 线 段 BC 上 一 动 点 ， Q 是 线 段DC 上 一 动 点 ， = ， =（ 1 ） ， 则 的 取 值 范 围 是 16.已 知 等 腰 梯 形 ABCD的 顶 点 都 在 抛 物 线 2 2y px （ p 0）
7、 上 ， 且 AB CD,CD=2AB=4, ADC= 060 ,则 点 A到 抛 物 线 的 焦 点 的 距 离 是 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 向 量 m =（ sinA， cosA） ， =（ cosB， sinB） ， =sin2 C 且 A、 B、 C 分 别 为 ABC的 三 边 a， b， c 所 对 的 角 （ 1 ） 求 角 C 的 大 小 ；（ 2 ） 若 sinA， sinC， sinB 成 等 比 数
8、 列 ， 且 =1 8 ， 求 c 的 值 18 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）如 图 ， ABCD是 边 长 为 3 的 正 方 形 ， DE 平 面 ABCD， AF DE， DE=3AF， BE 与 平 面 ABCD所 成 角 为 60 （ ） 求 证 ： AC 平 面 BDE；（ ） 求 二 面 角 F BE D 的 余 弦 值 ；（ ） 设 点 M 是 线 段 BD 上 一 个 动 点 ， 试 确 定点 M 的 位 置 ， 使 得 AM 平 面 BEF， 并 证 明 你的 结 论 19 （ 本 小 题 满 分 12分 ）甲 将 要 参 加 某 比 赛 决 赛 ， 在 比 赛 之
9、 前 ， A.B.C.D 四 位 同 学 对 冠 军 情 况 进 行 竞 猜 ， 每 人 选 择 一 名 选手 ， 已 知 A. B 选 择 甲 的 概 率 均 为 m, C. D 选 择 甲 的 概 率 均 为 n,(mn),且 四 人 同 时 选 中 甲 概 率 为9100， 四 人 均 未 选 甲 的 概 率 为 125(1)求 m, n 的 值（ 2） 设 四 位 同 学 中 选 甲 的 人 数 为 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 。20 （ 本 小 题 满 分 12 分2 2 12 2 1( 0) ( 1,0)x y a b Fa b 的 左 焦 点 长 轴 长 与
10、短 轴已 知 椭 圆 ， 长 的 比 是 2: 3（ 1） 求 椭 圆 的 方 程（ 2） 过 1( 1,0)F 做 两 条 直 线 m， n 交 椭 圆 于 A.B.C.D 四 点 ， 若 m n , 1 1AB CD求 证 为 定值 。21 （ 沧 州 质 检 ） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）设 函 数 f（ x） = ax（ 1 ） 若 a=0 ， 求 f（ x） 的 单 调 增 区 间 ；（ 2 ） 当 b=1 时 ， 若 存 在 x1 ， x2 e， e2 ， 使 f（ x1 ） 2f x +a 成 立 ， 求 实 数 a 的 最小 值 （ 其 中 e 为 自 然 对 数 的
11、 底 数 ）请 考 生 在 2 2 ， 2 3 ， 二 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 作 答 时 ，用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 的 标 号 涂 黑 选 修 4 -4 ： 坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C1 的极 坐 标 方 程 为 sin（ + ） = a， 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为 ， （ 为 参 数 ， 0 ） （ ） 求 C1 的
12、直 角 坐 标 方 程 ；（ ） 当 C1 与 C2 有 两 个 公 共 点 时 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 2 3 已 知 函 数 f（ x） =log2 （ |x 1 |+|x 5 | a）（ ） 当 a=5 时 ， 求 函 数 f（ x） 的 定 义 域 ；（ ） 当 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 R 时 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 数 学 理 科 答 案1 -5 ABDCD 6 1 0 BDBCD 1 1 1 2 BC1 3 .6 0 1 4 .8 1 5 0 ， 2 16. 7 31211【 解 答 】 解 ： 在 椭 圆 + =1 中 ， ， ，在
13、 双 曲 线 =1 中 ， ， ， = 故 选 ： B12 已 知 是 定 义 在 上 的 函 数 ， 其 导 函 数 为 ， 若 ， ， 则 不 等 式（ 其 中 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 的 解 集 为 （ ）A. B.C. D.【 答 案 】 B【 解 析 】 试 题 分 析 ： 构 造 函 数 ， 则 ， 故函 数 在 上 单 调 递 增 ， 又 因 为 ， 所 以 成立 ， 当 且 仅 当 ， 因 此 不 等 式 的 解 集 为 ， 故 选 B.15 解 .： A（ 0， 0） ， B（ 2， 0） ， C（ 1， 1） ， D（ 0， 1） =（ 1， 1） +（ 1 ）
14、 ， 0， 1=（ 1， 1） +（ 1 ） （ 1， 1） =（ 2 ， ） = =（ 0， 1） + =（ 0， 1） +（ 1， 0） =（ ， 1） f（ ） = =（ 2 ， ） （ ， 1） =（ 2 ） += 2+3= ， 0， 1， f（ 0） f（ ） f（ 1） ， 0 f（ ） 2 的 取 值 范 围 是 0， 2故 答 案 为 ： 0， 2解 答 】解 ： （ 1） =sin2C sinAcosB+sinBcosA=sin2C sin（ A+B） =sinC=sin2C=2sinCcosC sinC 0 cosC= C（ 0， ）（ 2） sinA， sinC， sin
15、B 成 等 比 数 列 ， sin2C=sinAsinB由 正 弦 定 理 可 得 c2=ab =18， = =18， ab=36 c2=36， c=618证 明 ： （ ） 因 为 DE 平 面 ABCD， 所 以 DE AC因 为 ABCD 是 正 方 形 ， 所 以 AC BD，从 而 AC 平 面 BDE （ 4 分 ）解 ： （ ） 因 为 DA， DC， DE 两 两 垂 直 ， 所 以 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz 如 图 所 示 因 为 BE 与 平 面 ABCD 所 成 角 为 600， 即 DBE=60， 所 以 由 AD=3， 可 知 ， 则 A（ 3，
16、 0， 0） ， ， ， B（ 3， 3， 0） ， C（ 0， 3， 0） ，所 以 ， 设 平 面 BEF 的 法 向 量 为 =（ x， y， z） ， 则 ， 即 令 ， 则 = 因 为 AC 平 面 BDE， 所 以 为 平 面 BDE 的 法 向 量 ， 所 以 cos 因 为 二 面 角 为 锐 角 ， 所 以 二 面 角 F BE D 的 余 弦 值 为 （ 8 分 ）（ ） 点 M 是 线 段 BD 上 一 个 动 点 ， 设 M（ t， t， 0） 则 因 为 AM 平 面 BEF， 所 以 =0， 即 4（ t 3） +2t=0， 解 得 t=2此 时 ， 点 M 坐 标
17、 为 （ 2， 2， 0） ， 即 当 时 ， AM 平 面 BEF （ 12 分 ）1 9 解 ： （ ） 由 已 知 可 得 ：m2 n2 91 0 0 ，(1 m)2 (1 n)2 12 5 ，m n， 解 得 ： m 35 ，n 12 （ ） X 可 取 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 5 分P(X 0 ) 12 5 ，P(X 1 ) C12 35 (1 35 ) (1 12 )2 (1 35 )2 C12 12 (1 12 ) 15 ，P(X 2 ) C12 35 (1 35 ) C12 12 (1 12 ) ( 35 )2 (1 12 )2 (1 35 )2 (1 12 )2
18、3 71 0 0 ，P(X 3 ) C12 35 (1 35 ) ( 12 )2 ( 35 )2 C12 12 (1 12 ) 31 0 ，P(X 4 ) 91 0 0 X 的 分 布 列 为 X 0 1 2 3 4P 12 5 15 3 71 0 0 31 0 91 0 0E(X) 0 12 5 1 15 2 3 71 0 0 3 31 0 4 91 0 0 2 .22 02 021【 解 答 】 解 ： （ 1） 当 a=0 时 ， f（ x） = 的 定 义 域 为 （ 0， 1） （ 1， +） ，f（ x） = =b ， 当 b 0 时 ， x（ e， +） 时 ， f（ x） 0；
19、故 f（ x） 的 单 调 增 区 间 为 （ e， +） ； 当 b 0 时 ， x（ 0， 1） （ 1， e） 时 ， f（ x） 0；故 f（ x） 的 单 调 增 区 间 为 （ 0， 1） ， （ 1， e） ；（ 2） 当 b=1 时 ， f（ x） = ax， f（ x） = a，故 f（ x2） +a= = （ ） 2+ ，故 当 x2=e2时 ， f（ x2） +a 有 最 大 值 ，故 只 需 使 存 在 x1e， e2， 使 f（ x1） ，故 ax1 ，即 a ，令 g（ x） = ， g（ x） = ；故 g（ x） = 在 e， e2上 是 减 函 数 ，g（ e
20、） =1 ， g（ e2） = ；故 只 需 使 a ；故 实 数 a 的 最 小 值 为 22【 解 答 】 解 ： （ ） 曲 线 C1的 极 坐 标 方 程 为 （ sin+ cos） = a， 曲 线 C1的 直 角 坐 标 方 程 为 x+y a=0（ ） 曲 线 C2的 直 角 坐 标 方 程 为 （ x+1） 2+（ y+1） 2=1（ 1 y 0） ， 为 半 圆 弧 ，如 图 所 示 ， 曲 线 C1为 一 族 平 行 于 直 线 x+y=0 的 直 线 ，当 直 线 C1过 点 P 时 ， 利 用 得 a= 2 ，舍 去 a= 2 ， 则 a= 2+ ，当 直 线 C1过
21、点 A、 B 两 点 时 ， a= 1， 由 图 可 知 ， 当 1 a 2+ 时 ， 曲 线 C1与 曲 线 C2有 两 个 公 共 点 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24 已 知 函 数 f（ x） =log2（ |x 1|+|x 5| a）（ ） 当 a=5 时 ， 求 函 数 f（ x） 的 定 义 域 ；（ ） 当 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 R 时 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 【 解 答 】 解 ： （ ） 当 a=5 时 ， 要 使 函 数 f（ x） 有 意 义 ，即 不 等 式 |x 1|+|x 5| 5 0 成 立 ， 当 x 1 时 ， 不
22、 等 式 等 价 于 2x+1 0， 解 之 得 x ； 当 1 x 5 时 ， 不 等 式 等 价 于 1 0， 无 实 数 解 ； 当 x 5 时 ， 不 等 式 等 价 于 2x 11 0， 解 之 得 x综 上 所 述 ， 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 （ ， ） （ ， +） （ ） 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 R， 不 等 式 |x 1|+|x 5| a 0 恒 成 立 ， 只 要 a （ |x 1|+|x 5|） min即 可 ，又 |x 1|+|x 5| |（ x 1） （ x 5） |=4， （ 当 且 仅 当 1 x 5 时 取 等 号 ） a （ |x 1|+|x 5|） min即 a 4， 可 得 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ ， 4）
