1、绝密启用前揭阳市 2018-2019 学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题
2、，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的虚部是2ziA B2 C D532i2已知集合 ， ，则|01x1,ABA B C D 1,31,233已知命题 若 ，则 ；命题 、 是直线， 为平面，若 / ,:p|ab2:qmnm，则 / .下列命题为真命题的是nmnA BqCD p4如图是某地区 2000 年至2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图y则下列结论中表述不正确的是A.从 2000 年至 2016 年，该地区环境基础设施投资额逐年增加； B.2011 年该地区环境基础设施的投资额比2000 年至 2004 年的投资总额还多；C.
3、2012 年该地区 基础设施的投资额比 2004 年的投资额翻了两番 ； D.为了预测该地区 2019 年的环境基础设施投资额，根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 ）建立了投资额 y 与时间变量 t 的线性回归模型127， ， ，根据该模型预测该地区 2019 的环境基础设施投资额为 256.5 亿元.917.5y5. 函数 的图象大致为()ln|fxx6. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为,xy102xy2xzyA 1 B2 C-2 D-17若 ， ， ，则 的大小关系为2log3a4l8b5logc,abcA BcaC D8若点 在抛物线 上，记抛物线 的
4、焦点为 ，直线 与抛物(2,)2:CypxCFA线的另一交点为 B，则 FAA B C D 10233929某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A B C D241610 已知在区间 上，函数 与函数 的图象交于点 P，设点 P0,3sin2xysinyx在 x 轴上的射影为 ， 的横坐标为 ，则 的值为P00taA B C D12434581511已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ，坐标原点 O21xyab(0,)b12F、关于点 的对称点为 P，点 P 到双曲线的渐近线距离为 ，过 的直线与双曲线 C2F23右支相交于 M、N 两点，若 ，
5、的周长为 10，则双曲线 C 的离心率为|31FMNA B2 C D335212. 如图，在三棱柱 中， 底面 ，1A1A1BACB=90，为 上的动点，则 的1BC， 2,3P1BC1P最小值为A. B C5 D 2525二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 的展开式中 的系数为_；821()x1x14若向量 、 不共线，且 ，则 _；(,a(,2)b()()abab15. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 3)fx210ff； 16. 已知 ，则 .()sin()cos()33f x(1)2(019)ff三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过
6、程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共 60 分17.（ 12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， .anS13a12nnSa（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若等差数列 的前 n 项和为 ，且 ，bnT1，求数列 的前 项和 3Ta1nnQ18.（ 12 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB BC，O 是 AC 中点，OHPC 于 H.（1 ）证明：PC 平面 BOH；（2 ）若 ，求二面角 A-BH-O 的余弦值3
7、OHB19.（ 12 分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试；方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班组 60人，现任选两组(记为甲组、乙组 )先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16（1 ）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2 ）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为 、 ，求 、 的分布列，若1212选
8、平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率20.（ 12 分）已知椭圆 : 的上顶点为 A,以 A 为圆心，椭圆的长半轴为半径C21(0)xyab的圆与 y 轴的交点分别为 、 .,3(,（1 ）求椭圆 的方程；C（2 ）设不经过点 A 的直线 与椭圆 交于 P、Q 两点，且 ,试探究直线 是lC0AQl否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.21.（ 12 分）已知函数 （ ， ）.1()kxfeR0k（1 ）讨论函数 的单调性；（2 ）当 时， ，求 k 的取值范围.x()lnfxk（二）选考题：共 10
9、分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为2xy极轴建立极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不1l2同于点 O） ，且 的倾斜角为锐角 .1l（1 ）求曲线 C 和射线 的极坐标方程；2l（2 ）求OAB 的面积的最小值，并求此时 的值23. 选修 4 5：不等式选讲 (10 分）已知函数 ，()|2|fxax（1 ）当 a=2 时，求不等式 的解集；()f（2 ）当 时不等式 恒成
10、立，求 的取值范围,ay=1+sinxy=3sinx2Poyx03211PA1C1 BC揭阳市 2018-2019 学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题题序 1 2 3 4 5 6
11、 7 8 9 10 11 12答案 C C B D A D A D C B B C解析：8.依题意易得 ， ，由抛物线的定义得 ，联立直线 AF 的方程与p(1,0)F|3F抛物线的方程消去 y 得 ，得 , 则 ,故25x12,Bx3|(1)2.FAB99. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为 r，母线的长为 ，则l，又 S 侧 = （当且仅当 时“=”成立）284rlrl2()4rlll10. 依题意得 00003sin1siincos2xx.tata311. 依题意得点 P ， ，由双曲线的定义得(,)c223bb周长为 ，由此得 ， ，故 1FMN4610a1ace12. 由题
12、设知 为等腰直角三角形，又 平面 ，1CBAC1B故 =90，将二面角 沿 展开成平面图形，1A11得四边形 如图示，由此， 要取得最小值，当且P仅当 三点共线，由题设知 ,1CP、 、 135CA由余弦定理得 .221(3)13cos15AC215AC二、填空题题序 13 14 15 16答案 224 3 1,223解析：15. 因 函 数 为 增 函 数 ， 且 为 奇 函 数 ，()fx， ，2210()(1)()afaffa210a解得 .【学生填 或 或 都给满分】1,|16. 依题意可得 ,其最小正周期 ,且 故()2sin3fx6T()2(6),ff(1)019)ff (2)3.
13、f三、解答题17.解：（1 ）当 时， ，-1n2a分由 得 （ ） ，123nnS13nnS2两式相减得 ，又 ，()a1nnSa （ ） ， -3 分1na2又 ， （ ） ， -42313n*N分显然 ， ，即数列 是首项为 3、公比为 3 的等比数列，0na1nna ； -6 分13nn（2 ）设数列 的公差为 d，则有 ，由 得 ，解得 ，-b13b3Ta127bd6d-8 分 ， -6()(2)nn-9 分zyxOHCBAPOHCBAP又 -10111()9(2)82nbnn分 ()()8351nQ-12 分1()29()n18.解：（1 ）ABBC，O 是 AC 中点， BOAC
14、 ，-1 分又平面 PAC平面 ABC，且 平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC，B BO平面 PAC，-3 分 BOPC，又 OHPC，BO OHO ， PC平面 BOH；-5 分（2 ）易知 POAC ，又 BO平面 PAC，如图，以 O 为原点， OB 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系 O - xyz，由 易知 ，OC2 ，3H3P， ，cos02Hysin0zO ， ， ， ， (,)A(3,)B(,)2)0,2(C， ， ， -7 分2,0P,073,AH设平面 ABH 的法向量为 ，(,)mxyz则 ， ，取 x=2，得 ，-0ABH3270(2,37)m9 分由（1
15、）知 是平面 BHO 的法向量，易知 ，-10 分PC (0,)PC设二面角 A-BH-O 的大小为 ，显然 为锐角，则 ，cos|,|m|2314|562347 二面角 A-BH-O 的余弦值为 -12427分【其它解法请参照给分】19.解：（1 ）甲组 60 人中有 45 人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为 ；-3145260453918C分（2 ） （i ） 的分布列为15 10 15 20P 312612，-61()00E分的分布列为214 8 12 26P 513415，246()826E ，公司应选培训方式一；-912()分（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为
16、，15324则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为 -2()8C12 分20. 解：（1 ） 依题意知点 A 的坐标为 ，则以点 A 圆心，以 为半径的圆的方程为:(0,)ba，-1 分22()xyba令 得 ，由圆 A 与 y 轴的交点分别为 、0xyba(0,13)(,)可得 ，解得 ，-3131,3a分故所求椭圆 的方程为 .-4 分C213xy（2 ）解法 1：由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，0APQA设直线 - 则 -6:lykx1:Qlyxk分将 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 得 ， 可 得 ，2(13)60kx2613Pk则 ， -8 分213Pyk类似地可得
17、，-926,3QQxyk分由直线方程的两点式可得：直线 的方程为 ，-l214kyx11 分即直线 过定点，该定点的坐标为 .-12l 1(0,)2分【解法 2：若直线 l 垂直于 x 轴，则 AP 不垂直于 AQ，不合题意，可知 l 的斜率存在，又 l 不过点(0,1)，设 l 的方程为 ，ykxm(1)又设点 ，则 ,12(,)(,)PxyQ、 12(,),APxAQ由 得 ，0A120y由 ，消去 y 得 ，-623ykxm 2(31)63kxm分，当 即 时，21(1)k020k- -7122631kmx213mxk分又 ， ，-22111()ykxx1212()yxm8 分于是有 ，
18、-2 2121()()0mk9 分将代入得22 2236()()1131kmk整理得： ,-11 分1m满足 ，这时直线 的方程为 ，直线 过定点 .-120l2ykxl(0,)2分】（21 ）解：（ 1） -2(1)()kxkxeef kx()kxe-1 分若 ，当 时， ， 在 上单调递增；0k(,)xk()0fx()f2,)k当 时， ， 在 上单调递减- -32(,)f2,k分若 ，当 时， ， 在 上单调递减；0k2(,)xk()0fx()f2,)k当 时， ， 在 上单调递增2(,)f2,k当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；kfx(,)k()当 时， 在 上单调递减，在 上
19、单调递增-0)2,k-5 分（2 ） （ ） ，1()lnxfke1当 时，上不等式成立，满足题设条件；-60分当 时， ，等价于 ，0k1()lnxfke1ln0xke设 ，则 ，()l)xg2()xg2xke设 （ ） ，则 ，2xhke11)0xh 在 上单调递减，得 - -9()x1,)()xke分当 ，即 时，得 ， ，0kee()0h()g 在 上单调递减，得 ，满足题设条件；- -()gx1,)1x10 分当 ，即 时， ，而 ，0ke1ke()0h0)2(2ke ， ，又 单调递减，(1,2)x(hxx当 ， ，得 ，0()g 在 上单调递增，得 ，不满足题设条件；()gx,
20、10x综上所述， 或 -12k1e分22. 解：（1 ）由曲线 C 的参数方程，得普通方程为 ，24yx由 ， ，得 ，cosxsinysicos所以曲线 C 的极坐标方程为 ，或 -32con2in分的极坐标方程为 ； -5 分2l 2（2 ）依题意设 ，则由（1）可得 ，(,)(,)AB 24sincoA同理得 ，即 ，-724sinco()B24cosinB分 11|22OABABS28sinco| ， ， -0iOS16si9 分OAB 的面积的最小值为 16，此时 ，sin2得 ， -10 分2423.解：（1 ）当 时， ，x()()62fxx解得 ，-1 分当 时， ，2()2()3f 解得 ，-2 分43x当 时，2()2()62fx解得 ，- -3 分x综上知，不等式 的解集为 .-5()fx4(,)(,)3分（2 ）解法 1：当 时， ，- -2,()2()(1)2()fxaxa-6 分设 ，则 ， 恒成立，()gxf,()()0g只需 ， -8 分20()即 ，解得 -1064a12a分【解法 2：当 时， ，-6,x()(2)fxax分，即 ，即 -7()f(2)a()(1)x分当 时，上式恒成立， ；-82xR分当 时，得 恒成立，(2,x2(1)xa62只需 ，min6)a综上知， -10 分】12
