福建省福州市2019届高三下学期质量检测数学（理）答案（PDF版）.pdf

1、高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 )12019 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 测数 学 （ 理 科 ） 试 卷 参 考 答 案 及 评 分 标 准一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ,共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是符 合 题 目 要 求 的 1. A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.C 11.C 12.A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 13. 3 14. 2

2、15.3 16. ,0 e 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17. （ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ 1） 解 ： 由 角 A、 B、 C成 等 差 数 列 ，所 以 2 +B A C ， 1 分又 因 为 + + =A B C ，所 以 3B ， 2 分根 据 正 弦 定 理 得 ， ABC 的 外 接 圆 直 径 322 = 1sin sin 3bR B .4 分(2) 解 法 一 ： 由 3B ， 知 23A C ， 可 得 20 3A ， 5 分由 （ 1） 知 ABC 的 外 接 圆 直 径 为 1， 根 据

3、正 弦 定 理 得 ，1sin sin sina b cA B C ， 6 分 2sin sin sin sin 3a c A C A A 8 分3 13 sin cos2 2A A 3sin 6A 9 分 20 3A ， 56 6 6A 高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 ）2 1 sin 12 6A ， 11分从 而 3 3sin 32 6A ，所 以 a c 的 取 值 范 围 是 3, 32 12 分解 法 二 ： 由 （ 1） 知 ， 3B ， 根 据 余 弦 定 理 得 ，2 2 2 2 cosb a c ac B 6 分 2 3a c ac 7 分 22 21

4、3 2 4a ca c a c ， (当 且 仅 当 a c 时 ， 取 等 号 )9 分因 为 32b ， 2 3a c ， 即 3a c ， 10 分又 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 所 以 3 32 a c ， 11分所 以 a c 的 取 值 范 围 是 3, 32 12 分18. （ 本 小 题 满 分 12 分 ）(1)证 明 ： 因 为 /AB CD， 90BCD ，所 以 AB BC ，又 平 面 PAB 平 面 ABCD， 且 平 面 PAB平 面ABCD AB ，所 以 BC 平 面 PAB， 1 分又 AQ平 面 PAB， 所 以 BC AQ ， 2

5、 分因 为 Q 为 PB 中 点 ， 且 PAB 为 等 边 三 角 形 ， 所 以PB AQ ， 3 分又 PB BC BI ， 第 18 题高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 )3所 以 AQ平 面 PBC . 4 分(2)解 法 一 ： 取 AB 中 点 为 O， 连 接 PO， 因 为 PAB 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 PO AB ，由 平 面 PAB 平 面 ABCD， 因 为 PO平 面 PAB， 所 以 PO 平 面 ABCD， 5 分所 以 PO OD， 由 2 2 4AB BC CD ， 90ABC ，可 知 /OD BC ， 所 以 OD AB

6、 以 AB 中 点 O 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 , ,OD OB OP所 在 直 线 为, ,x y z轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz . 6 分所 以 0, 2,0 , 2,0,0 ,A D 2,2,0 , 0,0,2 3 , 0,2,0C P B ，则 2,2,0 , 2,0,2 3 , 0, 2,0AD DP CD ，因 为 Q 为 PB 中 点 ， 所 以 0,1, 3Q ，由 (1) 知 ， 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量 为 0,3, 3AQuuur .7 分设 平 面 PCD的 法 向 量 为 , ,n x y z

7、， 由 0,0n CDn DP 得2 02 2 3 0yx z ， 取 1z ， 则 3,0,1n ， 9 分由 2 3 1cos , 43 3 3 1AQ nAQ n AQ n uuur ruuur r uuur r .11分因 为 二 面 角 B PC D 为 钝 角 ，所 以 ， 二 面 角 B PC D 的 余 弦 值 为 14 .12 分解 法 二 ： 取 AB 中 点 为 O， 连 接 PO， 因 为 PAB 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 PO AB ，由 平 面 PAB 平 面 ABCD， 所 以 PO 平 面 ABCD， 5 分所 以 PO OD， 由 2 2 4AB B

8、C CD ， 90ABC ，可 知 /OD BC ， 所 以 OD AB 以 AB 中 点 O 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 , ,OA OD OP所 在 直 线 为 , ,x y z轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角坐 标 系 O xyz .6 分xyzO高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 ）4所 以 2,0,0 , 0,2,0 , 2,2,0 ,A D C 0,0,2 3 , 2,0,0P B ，所 以 2,2,0 , 0, 2,2 3 ,AD DP 2,0,0CD ，由 (1)知 ， 可 以 AQuuur 为 平 面 PBC 的 法 向 量 ，因

9、 为 Q为 PB 的 中 点 ，所 以 1,0, 3Q ，由 (1)知 ， 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量 为 3,0, 3QA uur ， 7 分设 平 面 PCD 的 法 向 量 为 , ,n x y z ，由 0,0n CDn DP 得 2 02 2 3 0xy z ，取 1z ， 则 0, 3,1n ， 9 分所 以 2 3 1cos , 43 3 3 1QA nQA n AQ n uur ruur r uuur r 11分因 为 二 面 角 B PC D 为 钝 角 ，所 以 ， 二 面 角 B PC D 的 余 弦 值 为 14 .12 分解 法 三 ： 过 点 B 作 P

10、C 的 垂 线 BH ， 交 PC 于 点 H ， 连 结DH .由 解 法 一 或 二 知 PO 平 面 ABCD ， CD 平 面ABCD， 所 以 PO CD .由 条 件 知 OD CD ，又 PO OD O ， 所 以 CD 平 面 POD，又 PD 平 面 POD， 所 以 CD PD ，又 CD CB ， 所 以 Rt PDC Rt PBC ，所 以 DH PC ， 由 二 面 角 的 定 义 知 ， 二 面 角 B PC D 的平 面 角 为 BHD .7 分在 Rt PDC 中 ， 4, 2PB BC ， 2 5PC ，x yzO第 18 题 HO高 三 数 学 （ 理 科

11、） 答 案 （ 共 13页 )5由 PB BC BH PC ， 所 以 4 2 4 552 5PB BCBH PC .8 分同 理 可 得 4 55DH ， 9 分又 2 2BD .在 BHD 中 ，2 2 2cos 2BH DH BDBHD BH DH 10 分 2 2 24 5 4 5 2 25 5 144 5 4 52 5 5 .所 以 ， 二 面 角 B PC D 的 余 弦 值 为 14 .12 分19.（ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ 1） 解 ： 记 A表 示 事 件 “甲 小 区 租 户 的 月 收 入 低 于 6 千 元 ”， 记 B 表 示 事 件 “乙 小 区 租

12、户 的 月 收 入不 低 于 6 千 元 ”，甲 小 区 租 户 的 月 收 入 低 于 6 千 元 的 频 率 为 0.060+0.160 3=0.66 ，故 P A 的 估 计 值 为 0.66； 1 分乙 小 区 租 户 的 月 收 入 不 低 于 6 千 元 频 率 为 24+9+2=0.35100 ，故 P B 的 估 计 值 为 0.35； 2 分因 为 甲 、 乙 两 小 区 租 户 的 月 收 入 相 互 独 立 ，事 件 M 的 概 率 的 估 计 值 为 =P M P A P B =0.66 0.35=0.231 4 分（ 2） 解 ： 设 甲 小 区 所 抽 取 的 10

13、0 户 的 月 收 入 的 中 位 数 为 t，则 0.060 3+ t 3 0.160=0.5 ， 6 分解 得 =5t 7 分高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 ）6（ 3） 解 ： 设 0 :H 幸 福 指 数 高 低 与 租 住 的 小 区 无 关 ，幸 福 指 数 低 幸 福 指 数 高 总 计甲 小 区 租 户 66 34 100乙 小 区 租 户 38 62 100总 计 104 96 2009 分根 据 2 2 列 联 表 中 的 数 据 ，得 到 2K 的 观 测 值 2200(66 62 38 34) 15.705 10.828104 96 100 10

14、0k ， 11分所 以 能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.001 的 前 提 下 认 为 “幸 福 指 数 高 低 与 租 住 的 小 区 ”有 关 . 12 分20. （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）（ 1） 解 法 一 ： 由 条 件 知 222 1 3 12 2r ， 1 分所 以 1b .2 分过 点 D且 与 圆 O相 切 的 直 线 方 程 为 ： 3 3 12 3 2y x ，即 3 2 0x y .3 分令 0y 得 ， 2x ， 由 题 意 知 ， 2c ， 从 而 2 2 2 5a b c 4 分所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 ： 2 2 15x y

15、 .5 分解 法 二 ： 由 条 件 知 222 1 3 12 2r ， 1 分所 以 1b .2 分设 椭 圆 右 焦 点 坐 标 为 ( ,0)c , 过 该 点 与 圆 O 相 切 于 点 1 3,2 2D 的 直 线 方 程 为 ：高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 )733 12 ( )12 22y xc ，化 简 得 ： 2 3 2(1 2 ) 2 3 0x c y c ， 3 分点 O到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 1， 即 2 22 3 1(2 3) ( 2(1 2 )c c ，解 得 2c 从 而 2 2 2 5a b c ， 4 分所 以 椭 圆

16、 C 的 方 程 为 ： 2 2 15x y .5 分解 法 三 ： 如 图 ， 设 椭 圆 的 右 焦 点 为 F ， 由 于 直 线 l与 圆 O 相 切 于 点 D， 所 以 三 角 形 FOD 是 以ODF 为 直 角 的 直 角 三 角 形 . 1 分因 为 切 点 的 坐 标 为 1 3,2 2D ， 所 以 60DOF . 2 分由 条 件 知 222 1 3 12 2r ， 所 以 圆 的 半 径 1r . 3 分所 以 在 Rt FOD 中 ， 2OF .从 而 2 2 2 5a b c .4 分所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 ： 2 2 15x y .5 分（ 2） 解

17、 法 一 ： 设 点 O到 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 的 距 离 为 d ， 若 直 线 l x 轴 ， 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 为 x轴 ， 所 以 0d ； 若 直 线 l y 轴 ， 弦 AB 的 中 垂 线为 y 轴 ， 所 以 0d .6 分 设 直 线 l的 方 程 为 0y kx m k ， 因 为 l与 圆 O 相 切 ，所 以 2 11mk ， 即 21m k .由 2 2 15y kx mx y ， 消 去 y 得 2 2 21 5 10 5 5 0k x kmx m .高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 ）8设 1 1 2 2, ,

18、,A x y B x y ， 由 韦 达 定 理 知 ： 1 2 1 2 1 22 210 2, 21 5 1 5km mx x y y k x x mk k .7 分所 以 AB 中 点 的 坐 标 为 2 25 ,1 5 1 5km mk k ， 8 分所 以 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 2 21 51 5 1 5m kmy xk k k ，即 24 01 5kmx ky k .9 分所 以 2241 51kmkd k . 10 分将 21m k 代 入 得 ， 2 224 4 4 4 2 51 5 11 5 52 51 5km kkd kk kk （ 当 且 仅 当 5

19、5k ， 305m 时 ， 取 等 号 ） 11分综 上 所 述 ， 点 O到 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 距 离 的 最 大 值 为 2 55 .12 分解 法 二 ： 若 直 线 l x 轴 ， 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 为 x轴 ， 所 以 0d ； 若 直 线 l y 轴 ， 弦 AB 的垂 直 平 分 线 为 y 轴 ， 所 以 0d .6 分 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ， AB 中 点 坐 标 为 0 0,M x y ， 由 点 ,A B在 椭 圆 上 得 ，2 21 12 22 2 1,5 1,5x yx y ，由 得 ， 1 2 1 2

20、1 2 1 21 05 x x x x y y y y ，高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 )9即 01 2 1 21 2 1 2 015 5AB xy y x xk x x y y y ， 7 分所 以 直 线 l的 方 程 为 ： 0 0ABy y k x x ， 化 简 得 2 20 0 0 05 5 0x x y y x y .8 分因 为 直 线 l与 圆 O相 切 ， 所 以 2 20 02 20 051 25x yx y ， 化 简 得 2 2 2 20 0 0 05 25x y x y ，9 分又 因 为 弦 AB的 垂 直 平 分 线 方 程 为 00

21、005yy y x xx ， 即 0 0 0 05 4 0y x x y x y ， 10 分所 以 ， 点 O到 弦 AB的 垂 直 平 分 线 的 距 离 为 ：d 0 0 0 02 22 2 0 0 0 00 0 0 04 4 4 4 2 55 55 2 525x y x yx y x yx y y x ， 当 且 仅 当 2 20 05x y 时 ， 取 等 号 .11分所 以 点 O到 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 的 距 离 的 最 大 值 为 2 55 .12 分21. （ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ 1） 解 ： 因 为 ( ) ln 11 xf x a xx 1x

22、 ，所 以 2 21 1( ) 11 1a ax af x xx x ， 1 分当 0a 时 ， ( ) 0f x ， 所 以 函 数 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 为 1, 2 分当 0a 时 ， 由 ( ) 01f xx ， 得 11 1x a ；由 ( ) 01f xx ， 得 11x a ； 3 分所 以 函 数 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 是 11, 1 a ； 递 减 区 间 是 11 ,a .4 分综 上 所 述 ， 当 0a 时 ， 函 数 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 为 1, 高 三 数 学 （ 理 科 ） 答 案 （ 共 13页 ）1

23、0当 0a 时 ， 函 数 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 是 11, 1 a ； 递 减 区 间 是 11 ,a .5 分（ 2） 解 ： 记 2 m 1 2e e 0 exg x x x ， 1 2, 0,ex x ， 不 等 式 2m 12 21 2( ) e exf x x 恒 成 立 ，等 价 于 “对 任 意 0,ex ， min( ) ( )maxf x g x 恒 成 立 ”. 6 分当 0a 时 ， 由 （ 1） 知 ， 函 数 ( )f x 在 0,e 单 调 递 增 ，所 以 min( ) 0 0f x f .7 分 mx+1 2 1 mx+1( ) 2 e + e 2 emxg x x x m x mx ， 令 ( ) 0g x 得 ， 20,x x m 或 .（ i） 当 0m 时 ， 由 0 ex ， 得 ( ) 0g x ， 知 函 数 ( )g x 在 0,e 单 调 递 增 ，所 以 e 3 2max( ) (e) e e 0mg x g ， 不 符 合 题 意 . 8 分（ ii） 当 2 0e m ， 即 2 em 时 ， 在 0,e 上 ( ) 0g x ， 所 以 ( )g x 在 0,e 上