1、由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建（ 理 科 ） 1 开 封 市 2019 届 高 三 定 位 考 试 数 学 （ 理 科 ） 试 题 参 考 答 案一 、 选 择 题 （ 每 小 题 5分 ， 共 60分 ）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案 C B A A B D B C D A D B二 、 填 空 题 （ 每 小 题 5分 ， 共 20分 ）13.5 2 14. 78 15.36 16.2三 、 解 答 题 （ 共 70分 ）17.解 ： （ ） na 为 等 差 数
2、列 ， 4 5 12 7 16a a a d ， 4 14 6 16S a d ，解 得 1 1 2a d ， ， =2 1na n . 5 分（ ） +11 1 1 1 1= (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1n n nb a a n n n n = ， 8 分1 1 1 1 1 1 1 1T = 1 + + + 12 3 3 5 2 1 2 +1 2 2 +1 2 +1= = n nn n n n . 12分18. 解 ： （ ） BE PAD 平 面 ， AD PAD又 平 面 ， AD BE ，又 PAD 为 正 三 角 形 ， E为 AD的 中 点 ， AD PE , 2
3、分又 PE BE E ， AD PEB 平 面 ， ABCD为 菱 形 ， /AD BC ， BC PEB 平 面 ， 4 分又 BC PBC平 面 , PBC PEB 平 面 平 面 . 5分（ ） 如 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 E xyz，设 菱 形 ABCD的 边 长 为 2， 则 AE=ED=1， 3PE EB ， 2, 3,0 , 1,0,0 , 0,0, 3 ,C D P 1, 3,0 , 1,0, 3 ,DC DP 7分设 平 面 PDC的 一 个 法 向 量 为 , , ,x y zm由 =0=0DCDP mm ， 得 3 =03 =0x+ yx+ z
4、 ， 取 1y ， 得 3,1, 1 , m又 平 面 PEB的 一 个 法 向 量 为 1,0,0 ,n 10分15cos = 5, | | | |m nmn m n ， 平 面 PEB与 平 面 PDC所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 155 . 12 分19.解 ： （ ） 根 据 题 意 可 知 ， 乙 公 司 每 天 的 底 薪 100元 ， 前 45单 无 抽 成 ， 超 出 45单 部 分 每 单抽 成 6元 ， 故 日 工 资 * *100 45 Ny 6 170 45 Nn nn n n ， ， 4 分（ ） ( )根 据 条 形 图 ， 当 送 单 数 为 4
5、2， 44时 ， X=100， 频 率 为 20 0.2100 ，（ 理 科 ） 2 当 送 单 数 为 46时 ， X=106， 频 率 为 30 0.3100 ，当 送 单 数 为 48时 ， X=118， 频 率 为 40 0.4100 ，当 送 单 数 为 50时 ， X=130， 频 率 为 10 0.1100 ，故 乙 公 司 的 “ 骑 手 ” 一 日 工 资 X的 分 布 列 如 表 所 示 ：X 100 106 118 130P 0.2 0.3 0.4 0.1数 学 期 望 E(X)=1000.2+1060.3+1180.4+1300.1=112（ 元 ). 8 分( )根
6、据 条 形 图 ， 甲 公 司 的 “ 骑 手 ” 日 平 均 送 餐 单 数 为 ：420.2+440.4+460.2+480.1+500.1=45（ 单 ） ， 所 以 甲 公 司 的 “骑 手 ”日 平 均 工 资 为 ：70+451=115（ 元 ）由 ( )可 知 ， 乙 公 司 的 “ 骑 手 ” 日 平 均 工 资 为 1 1 2 元 ， 故 推 荐 小 明 去 甲 公 司 应 聘 . 12分20.解 ： （ ） 根 据 条 件 设 ( 3 ) ( 3 )P m m Q n n， ， ， ， 2 3PQ ，即 2 23( ) ( ) 12m n m n + ， N（ x， y）
7、是 线 段 PQ的 中 点 ， 3 22(m-n)x=m+ny ， 3 分消 去 m， n可 得 曲 线 C的 方 程 为 2 2 19x y 4分（ ） 由 （ ） 知 ， 点 0,1M 为 椭 圆 2 2 19x y 的 上 顶 点 ，当 直 线 AB的 斜 率 不 存 在 时 ， 设 0 0,A x y ， 则 0 0,B x y ，由 1 2 2k k 得 0 00 01 1 2y yx x ， 得 0 1x ； 6分当 直 线 AB的 斜 率 存 在 时 ， 设 AB的 方 程 为 1 1 2 21 , , , ,y kx m m A x y B x y ，2 2 2 2 21 (1
8、 9 ) 18 9 9 09x y k x kmx my kx m ， 得 21 2 1 22 218 9 91 9 1 9km mx x xxk k ， ， 8 分 2 1 1 21 21 2 1 2 1 21 11 12 2 2kx m x kx m xy yk k x x xx ，即 21 2 1 2(2 2 ) ( 1)( ) (2 2 )(9 9) ( 1)( 18 )k xx m x x k m m km ，由 1, 1 1 1m k m km m k ， 10分即 1 1 1y kx m kx k y k x ， 故 直 线 AB过 定 点 1, 1 .经 检 验 ， 此 时 直
9、 线 与 椭 圆 有 两 个 交 点 ， 满 足 题 意 .综 上 所 述 ， 直 线 AB过 定 点 1, 1 . 12分（ 理 科 ） 3 21. 解 ： （ ） 解 ： 2 +2 1 +1x ax af x xx ， 0， ， 设 2 +2 1h x ax a ， 当 0a 时 ， 0h x ， 0+f x 在 ， 上 单 调 递 减 ； 当 12 1 0 2a a ， 即 时 ， 0h x ， 0+f x 在 ， 上 单 调 递 增 ； 当 12 1 0 0 2a a ， 即 时 ， 1 20 2 ax a ， 时 ， 0h x ， f x 单 调 递 减 ；1 22 ax a ， +
10、 时 ， 0h x ， f x 单 调 递 增 .综 上 所 述 ， 当 0a 时 ， 0+f x 在 ， 上 单 调 递 减 ；12a当 时 ， 0+f x 在 ， 上 单 调 递 增 ；10 2a 当 时 ， f x在 1 20 2 aa ， 上 单 调 递 减 ， f x 在 1 22 aa ， + 上 单 调 递 增 . 4 分（ ） 证 明 ： 2ln +1 1+g x x ax x ， ， ， 22 +2 1+1ax axx x g ， 设 22 +2 1,x ax ax 若 0 1 0, 0,a x g x ， 1,g x 在 上 单 调 递 增 ， 不 合 题 意 ； 若 0
11、1 0 1,a ， 1,x 在 上 只 有 一 个 根 ， 不 合 题 意 ； 6 分 若 0a ， 使 22 +2 1 0x ax ax 有 两 不 同 实 根 1 2 1 2x x x x， ， 且 ， 只 需 0 2a ， 即 ， 11 0 1, 1 0,2 2a 1 21 11, ,02 2x x ， ， 8 分 11,g x x 在 上 单 调 递 增 ， 在 1 2x x， 上 单 调 递 减 ， 在 2 +x ， 上 单 调 递 增 ， 1g x x x 在取 得 极 大 值 ， 在 2x x 取 得 极 小 值 ， 2 222 2 2 212 2 1 0, ,2 2x ax a
12、x a x x 2 2 22 2 2 2 2 222 2 21ln +1 ln +1 ln +1 ,2 2 2 2xg x x ax x x xx x x 10分设 1ln +1 ,0 ,2 2 2tm t t tt ， 22 12 1tm t t 0， 1,02m t 在 上 是 增 函 数 ， 1 1 1 1ln ln2,2 2 2 2m t m 2 1 ln2.2g x 12分（ 理 科 ） 4 22.解 :( )依 题 意 ,曲 线 1C 的 普 通 方 程 为 2 24 16x y ,极 坐 标 方 程 为 8cos ,直 线 l的 直 角 坐 标 方 程 为 3y x 5 分( )
13、曲 线 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 22 7x y , 1 23 3A B ， ， ， ,则 1 4 , 22 22 3 0 ， 得2 2=3 = 1 或 (舍 ), 2 1| | | | 1AB ,1C（ 4,0） 到 l的 距 离 为 2 3d ,以 AB为 底 边 的 PAB的 高 的 最 大 值 为 4 2 3 ,则 PAB的 面 积 的 最 大 值 为 1 1 4 2 3 2 32 . 10分23.解 ： ( ) 2 1 11 1 12 1x m xm f x m x mx m x m ，作 出 函 数 f x 的 图 象 ，由 4f x 的 解 集 及 函 数 图 象 得 2 0 1 4 3.2 4 1 4m mm ， 得 5 分( )由 ( )知 3m ， 从 而 1 1 1 12 3a b c ， 1 1 1 2 3 2 32 3 2 3 3 9,2 3 2 3 3 2a b a c b ca b c a b ca b c b a c a c b 当 且 仅 当 33 12a b c , , 时 “ =” 成 立 . 10分y xO m4 1
