1、曲阜夫子学校 2018-2019学年高三上学期阶段检测数学（理科）试卷18.10一.填空题1.已知全集 ，集合 ，则 = .4,321U3,2,1QPUPQ2.命题“ ”的否定是 0xRx3. 已知虚数 满足 ，则 z6iz|z4.“ ”是“ ”的 .条件.0)1ln(（从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量 当 三点共线时，实数 的(,2)(4,5)(10,)OAkBOCk,ABCk值为 .6. 在 中，角 所对的边分别为 若 则C, ,abc2,sin3i,bcB_ 7. 设函数 满足 ，当 时， ，则 = .)(xf xffs
2、in)(00)(xf)62(f8. 已知 ， ，则 的值为 .tan1tan2co9.已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时，()yfxx(,)x若 则 由大到小的顺序是 .2()log.fx13,(),(2),4abfcf,abc10. 若函数 的图象关于点 对称，且在区()sinos06xx(2,0)间 上是单调函数，则 的值为 .,3611. 已知函数 若关于 的方程 恰有三个不同的实24,0()5.xfex()50fax数解，则满足条件的所有实数 的取值集合为 .a12. 已知点 在 所在平面内，且OABC4,3,ABO()0,AB则 取得最大值时线段 的长度是 .()0,ACC13
3、. 在 中，若 则Btantan5tan,si的最大值为 .14.已知定义在 上的函数 可以表示为一个偶函数 与R1()2xf()gx一个奇函数 之和，设()hx,()htpg2mh2若方程 无实根，则实数 的取值范围是 .1(.m()0pt二.解答题15.已知命题 指数函数 在 上单调递减，命题 关于:26)xfxaR:qx的方程 的两个实根均大于 3.若“ 或 ”为真,“ 且23xa210pp”为假,求实数 的取值范围.q16. 函数 在一个周期内的图象如图所示, A为)0(3sin2cos6)( xxf图象的最高点, B、 C为图象与 轴的交点,且 ABC为正三角形.()求 的值及函数
4、()fx的值域；()若 08()5f,且 012(,)3x,求0(1)fx的值.17. 已知向量 角(2,1)(sin,co(),2mB为 的内角，其所对的边分别为,ABC.ab（1 ）当 取得最大值时，求角 的大小；.nA（2 ）在（1 ）成立的条件下，当 时，求3a的取值范围.bc18. 为丰富农村业余文化生活，决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心通过测量，发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M 为圆心，以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处，且 AB8km，BC km经协商，文化服务中心拟建在与 A,B42等距离的 O 处，并建造三
5、条道路 AO,BO,NO 与各村通达若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 万元，NO 段为每公里 a 万元，建设总费用为 万元a2 w（1 ）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离 N 村的距离；（2 ）若建设总费用最少，求该文化中心离 N 村的距离. 19. 设 、 2()(fxbc)R（1 ）若 在 上不单调，求 的取值范围；,b（2 ）若 对一切 恒成立，求证： ；()|fxxR214bc（3 ）若对一切 ，有 ，且 的最大值为 1，求 、 满足的条1()0f23()xf bc件。20. 已知函数 ()xaef（1 ）若函数 ()fx的图象在 (1,)f处的切线经过点 (0,1)，求
6、 a的值；（2 ）是否存在负整数 a，使函数 x的极大值为正值？若存在，求出所有负整数 a的值；若不存在，请说明理由；（3 ）设 0，求证：函数 ()f既有极大值，又有极小值理科加试题1.已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 ，属于特征值 13 3c d 11的一个特征向量为 2 求矩阵 A，并写出 A 的逆矩3 2阵2.在长方体 中，1BCD是棱 的中点，点 在棱42A,A,FBCE上，且 。求直线 与平面 所成角的正弦值的大小；1113E1DA3. 某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完
7、全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金 m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止 （1 ）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金 n元的概率；（2 ）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由4. 已知 （ ） ， 是关于 的 次多项式；2()1)nfxN()gx2n（1）若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满足条件的3(gx1的表达式，无需证明()gx（2）求证：对于任意
8、给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，使nx0a12na得 221201()()()n nfxaxa1nn扬州中学高三年级 10 月份阶段检测数学试卷答案18.10一.填空题1. 1；2. ；3. ；4.必要不充分；5.2 或 11；6. 7. ；2,0xRx5.3218.1； 9.bac；10. 或 11. ；12. ；13. ；14. 。135.6,lne657m二.解答题15.解：当 为真时， ， ；当 为真时， ，解得：p021a732aq032()af5.2a由题意知 、 一真一假。 （1）当 真 假时， 解得 （2 ）当 假pqpq732,5a;p真时， 解得q72,
9、a或 35573.22a或16. 解：()由已知可得: 2()6coscos3(0)xfxx =3cosx+ 3sinix又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4 所以,函数 4824)( ， 得， 即的 周 期 Tf 。所以，函数 32)(的 值 域 为xf 。()因为 ， 由580f()有 ，53)4(sin32)(00xxf 4)3(sin0x即，由 x0 ),()4(3210） ， 得，（ 所以, 5)()4(co20即 ，故 )1(0xf )34(sin320x 4)3(sin0x )2534(2 4sin)3cos(4sin00xx 567 17.解：（1） ，令 si
10、n,2At，原式 ，当 ，即 ， 时， 取得最大值.（2）当 时， ， .由正弦定理得： （ 为 的外接圆半径）于是 .由 ，得 ，于是， ，所以 的范围是 .18.解：（1 ）不妨设 ,依题意， ，且ABO3,0， ，34MC由 4,34tan.cosAON若三条道路建设的费用相同，则 a)tn4(2cos所以 所以 。,2)3sin(1由二倍角的正切公式得， ，即32tant83NO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)83(km（2 ）总费用 3,0,tan4cos24a即 ，令3in8 42sin,cos4i28 得a当 ，时 ， 当， 03in4024si0 所以当 有最小值，这时，
11、时 ，n 734,7taNO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)34(km19. 解（1）由题意 ， ；2bb（2）须 与 同时成立，即 ，2xcxcx2(1)40bc；+14b（3）因为 ，依题意，对一切满足 的实数 ，有 |2x|2xx()0f当 有实根时， 的实根在区间 内，设 ，所以()0f()0fx,2xbc，即 ，又 ，于是，(2)fb42bc2231(,3xx的最大值为 ，即 ，从而 故23()1xf(3)1f931bc38b，即 ，解得 48023b45b4,bc当 无实根时， ，由二次函数性质知， 在()0fx240bc2()fxbc上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，
12、当 时， 无最(2,3 (2)3f23()1xf大值于是， 存在最大值的充要条件是 ，即23()1xf()f，所以， 又 的最大值为 ，即429bc5b23()1xf(3)1f，从而 由 ，得 ，即3138240c20b所以 、 满足的条件为 且 综上：84bbc8b54且0c54.20.解：（1 ）2(1)()xaef , (1)f()1fae函数 ()fx在 1,f处的切线方程为： ，又直线过点 (0,1)yex ，解得： 2 分aeae（2 ）若 0，2(1)()xf，当 (,)x时， 0f恒成立，函数在 上无极值；(,0)当 0,1时， ()fx恒成立，函数在 上无极值； ,1方法（一
13、）在 (,)上，若 ()fx在 0处取得符合条件的极大值 0()fx，则01()xf，5分则 ，由（3）得： 0201xae，代入（2 ）得： 002011()xxae（ ）（ ）（ ），结合（1）可解得： 02x，再由00()xaef得： 02xae，0x设2()xhe，则 ()xhe，当 时， ()hx，即 ()hx是增函数，所以 024()ahxe，又 ，故当极大值为正数时， 24(,0)ae，从而不存在负整数 a满足条件 8 分方法（二）在 时，令 ，则(1,+)x2)1xH()2)xHe 为负整数 (,)x,eaaxa 在 上单调减20ae()0x()x1,)又 ， ，使得 5 分(
14、1)H2240ae0(,2)x0()Hx且 时， ，即 ； 时， ，即 ；0x()0x()fxf 在 处取得极大值 （*）()f0 00()aef又 代入（*）得：020()(1)xHae001x000()()fxx不存在负整数 满足条件 8 分a（3 ）设 2()(1)xge，则 ()2)xgae，因为 0a，所以，当 0时， 0， (单调递增；当 0x时， ()0gx， ()单调递减；故 ()gx至多两个零点又 (0)a， 10，所以存在 1(0,)x，使 1()0gx再由 gx在 (,)上单调递增知，当 10,时， 0x，故 2()0gxf， ()fx单调递减；当 ()x， 时， ()g
15、，故 ()f， f单调递增；所以函数 f在 处取得极小值 12 分 1x当 0x时， e，且 0，所以 22()()(1)xgaaxxa，函数 2y是关于 的二次函数，必存在负实数 t，使 ()0gt，又 ()0ga，故在 (,0)t上存在 2x，使 2()0g，再由 g在 ,)上单调递减知，当 2(x时， (0gx，故 2()0gxf， ()fx单调递增；当 ,0)时， )，故 ()f， f单调递减；所以函数 (fx在 处取得极大值 2综上，函数 )既有极大值，又有极小值 16 分理科加试答案1. 解： 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得， 6 ，即11 3 3c d 1
16、1 11c d6； 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 2 ，可得 ，即3 2 3 3c d 3 2 3 23c 2d2 解得 即 A ， A 的逆矩阵是 c 2，d 4 ) 3 32 42. 解：分别以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则1,DCzyx, xyzD，(,0)(,)(0)()(1,0)AEF所以 ，设平面 的一个法向量2,4,211 ,32AC1为 ，由 解得 取 ，则 ，因为),(zyxn,01CDnA,yzx1),(n， ， ，所以,因14|EF3|EFEF,cos| 4213为 ，所以 是锐角，是直线 与平面 所成角的余角，所以0,cosnn, ACD1
17、直线 与平面 所成角的正弦值为 EFACD1 4213. 解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 n元为事件 M则 3()4PM 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 元的概率为 14 4 分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金 x可取 0,mn+ 则 3121(0),()()4436432PmPxx= 6En+6 分先在乙箱中摸球，参与者获奖金 h可取 0,nm+则 2131(0),(),()34342PnP2Emh=+=8 分21nx-当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；3mn当 2=时，两种顺序参与者获奖金期望值
18、相等；当 3n时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大答：当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当2m=4. 解：（1）令 ，则 ，即 ，1x()(1)fg()10gf因为 ，所以 ； ()30nf0令 ，则 ，即 ，x23()()f()()fg因为 ，因为 ，所以 ；例如(1)g1nf10 2()nxN（2）当 时， ，故存在常数 ， ，22()fxx0a1使得 01()fxa假设当 （ ）时，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，nkNx012k使得 ，即2212101()()()()kkk kkfxaaxax22212101(1)()()()()
19、kkkkkkxaxxaxaxax则当 时，n2122()()()k kf1101()k kkkxaxxaxax 22011 10(kk 2121)kkkxxxx 3 322011110( kkaaaa 2 102032 23)()()()kkxxxax 11112(kkk k 2123 000)()()kaxaxaxa1201021( ()kk ；2121)()()k kk kxx令 ， ， （ ） ， ；0a01a2mmak112kaa故存在与 无关的常数 ， ， ， ， ；使得xk1a2212 2101()()()()kk kkf xxxx 综上所述，对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，n01a2na使得 221201()()()()n nnfxaxaxxx
