1、第四章 根轨迹法,引言4-1 根轨迹的基本概念4-2 绘制根轨迹的规则和方法4-3 控制系统根轨迹的性能分析,引言,什么是线性系统的根轨迹？ 所谓根轨迹，是指当开环系统的某个参数（如开环增益K）由零连续变化到无穷大时，闭环特征根（闭环极点）在复平面上形成的若干条曲线。,研究线性系统根轨迹的原因 一个控制系统的全部性质都取决于其闭环传递函数：稳定性由闭环极点唯一地确定；稳态精度取决于其比例系数；动态特性由闭环极点、闭环零点共同决定。 因此，在分析研究控制系统的性能时，确定闭环极点、闭环零点在复平面上的位置就显得特别重要。,闭环零点与开环零、极点有关，闭环和开环比例系数之间也有简单的关系，都不难确
2、定。唯有闭环极点的确定比较麻烦。 欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻烦。 研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分析、设计控制系统是很有意义的。,根轨迹法 一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年，由W. R. Evans在“控制系统的图解分析”一文中提出）。 已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。 以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用MATLAB非常方便。,4.1 根轨迹的基本概念,1、根轨迹的基本概念,图 4-1 控制系统框图,(1) 将图4-1所
3、示系统的开环传递函数转化为上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上，并用“”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点,(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2表示,图 4-2 二阶系统根轨迹,从图中可以看出 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合; 当0k1时，s1、s2均为区间(-2,0)内的负实数； 当k=1时， s1s2=-1 ，即两闭环极点重合 当 时， ，即两闭环极点互为共轭; 当 时，将沿着直线 趋于无穷远处.,讨论: 由根轨迹图4-2可分析系统的性能 稳定
4、性无论K取何值，由图4-1表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是闭环稳定的； 动态性能k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状态对应的系统动态特性有明显差别； 稳态性能系统属于I型系统，K即为静态速度误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。,根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根轨迹的一个特性； 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的开环增益常规根轨迹。,2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,前向通道增益,开环系统根轨迹增益,
5、前向通道零点,反馈通道零点,前向通道极点,反馈通道极点,m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。,1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；,2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；,根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点!,单位反馈系统,1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；,2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。,绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。设负反馈系统的开环传递函数为
6、G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为,3、绘制根轨迹的基本条件,将上式改写成绘制根轨迹所依据的条件是 幅值条件相角条件,必要条件,充要条件,m个零点 n个极点 （nm）,根轨迹方程,几点说明： 实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变参数值，使幅值条件成立。 相角条件也是根轨迹的充要条件。 利用相角条件可确定根轨迹的形状，但利用幅值条件才可求得给定闭环极点所对应的增益K。 进行相角计算时，规定正实轴方向为0，逆时针方向为相角的正方向。,设控制系统的开环传递函数为,4-2 绘制根轨迹的规则和方法,3.根轨迹的
7、起点和终点,1.根轨迹分支数,2.根轨迹的对称性,4.实轴上的根轨迹,6.根轨迹的渐近线,9.根轨迹的分离点和汇合点,8.根轨迹的出射角和入射角,7.根轨迹与虚轴的交点,5.根轨迹的走向,绘制根轨迹的基本法则,1.根轨迹的分支数,n阶系统根轨迹有n个分支,说明(nm)按定义，根轨迹是开环系统某一参数从零到无穷时，闭环特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的个数一致，而闭环特征式s的最高次必等于开环传递函数的极点数n。,闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。,闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次= 开环传递函数的阶次,= 开环极点数,例:,2.根轨迹的对称性,
8、根轨迹各分支连续且关于实轴对称,从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。闭环系统特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有之，所以根必然对称于s平面的实轴。注意：画出s上半平面的根轨迹，根据对称性画出s下半平面上的根轨迹。,3.根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,幅值条件,如果n m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。,对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。,4. 实轴上的根轨迹,实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时，这段
9、区域必为根轨迹的一部分,一条始于开环极点，止于开环零点， 另两条始于开环极点，止于无穷远处。,5.根轨迹的走向（根之和）,开环极点之和等于闭环极点之和,当 时,6.根轨迹的渐近线,如果n m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。其方位由渐近线决定,渐近线包括两个内容：渐近线的倾角渐近线与实轴的交点,倾角：设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有的开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角 。代入根轨迹的相角条件得：,求:渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点,(n=3, m=1,有2条渐进线),倾角:,交点:,7.根轨迹与虚轴的交点,代入特征方程,联立求解
10、根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K值。,(2)劳斯法,(1),根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。,代入特征方程,(1),闭环特征方程,（根轨迹的起点，舍去）,(2)劳斯法,劳斯行列式,当6-2K*=0时，特征方程出现共轭虚根，求出K*3。,与虚轴的交点,虚根可利用s2行的辅助方程求出：,8.根轨迹的出射角和入射角,在离开 附近的根轨迹上取一点S1,则S1点应满足相角条件：,当 时， 即为离开根轨迹上 的出射角， ，则：,确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。,例：,9. 根轨迹的分离点(汇合点),分离点（或汇合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立 即分开。,分离点,汇合点,性
11、质：,在此点上必出现重根。,当根轨迹出现在实轴上两相邻极点，必有一分离点。,若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零点）时，必有一会合点。,分离点求解方法：重根法,特征方程出现重根的条件是s值必须同时满足下列方程。,注意：求出结果，需经判断，保留合理解。 如果根在根轨迹上，保留，否则，舍去。,分离角:在分离点或汇合点上,根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角。分离角与相分离的根轨迹的支数有关,其推导与出射角和入射角的推导类似,根轨迹作图步骤,一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺； 二、实轴上的根轨迹； 三、n-m条渐近线； 四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根
12、轨迹的分离点、会合点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，根轨迹的走向等性质画出根轨迹。,例：已知系统开环传递函数为：,解：(1)改写系统开环传递函数,(1)将系统开环传递函数改写为零、极点的形式； (2)绘制系统的根轨迹； (3)确定系统临界稳定的开环增益值,其中,（2）绘制系统的根轨迹,开环极点：,开环零点：无；,实轴上根轨迹区间是,根轨迹的渐近线：,根轨迹的分离点：,令,得：,解之得：,（舍去）,此时：,根轨迹与虚轴的交点：,系统特征方程为：,令, 得,即：,(3)系统临界稳定的开环增益值为,作 的根轨迹。,作业：,4.2.2补根轨迹的绘制,在复杂的控制系统中，可能含
13、有正反馈回路；亦可能在开环传递函数的分子或分母中，出现S的最高次幂系数为负的情况。通常把这类系统的根轨迹叫做补根轨迹。,规则4.实轴上的根轨迹,实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为偶数时，这段区域必为根轨迹的一部分,规则6.根轨迹的渐近线,规则8.根轨迹的出射角和入射角,4-3 控制系统根轨迹的性能分析,由于开环零极点的位置，决定了根轨迹的形状，而根轨迹的形状又与系统的控制性能密切相关，因此在控制系统设计中，一般就用改变系统的零、极点配置的方法来改变根轨迹形状，以达到改善系统控制性能的目的。,4.3.1增加开环极点对控制系统的影响,增加位于S左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能降低。,（1）增加开环极点，使根轨迹的复数部分向右半平面弯曲。（2）增加的开环极点越靠近虚轴，其影响越大，使根轨迹向右半平面弯曲就越严重，因而系统稳定性能的降低便越明显。,4.3.2增加开环零点对控制系统的影响,增加位于S左半平面的开环零点，将使根轨迹向左半平面移动，提高系统的稳定性。,4.3.3根据性能要求确定系统参数,书本例子,本章小结,4-3 控制系统的根轨迹分析,利用根轨迹分析控制系统的性能,开环零点和极点对根轨迹的影响,4-1 根轨迹的基本概念,4-2 绘制根轨迹的基本法则,根据性能要求确定系统参数,
