1、 【纠错 必备】勾股定理 一、疏 忽勾 股定 理使 用条 件致错 例 1 已知 ABC 各 边长 均 为整数 ， 且AB 4，BC3 ，ACAB ， 试求 ABC 的周长. 错解 ： 由 勾股 定理 得 AC 22 AB BC = 22 43 =5， 所以 ABC 的周 长为 ：AB+BC+AC 4+3+5 12. 剖析： 应用 勾股 定理 必须 是在直 角三 角形 的条 件下 才可以 ， 而 本题 并未 说明 ABC 是直 角三角 形， 因此 ，要 用三 角形三 边的 关系 求解. 正解： 由三 角形 的三 边关 系得 AB BCAB 4，AC 为 整数， 所以 AC 的 长为5 或6. 于
2、 是， 当AC5 时 ， ABC 的 周长 为 12；当 AC=6 时， ABC 的 周长 为 13. 评注： 当题 目没 有给 出某 个三角 形为 直角 三角 形时 ，不能 直接 套用 勾股 定理. 跟踪训练 1 如图 ， 在ABC 中，AB 10 ，BC 16，BC 边上 的中 线AD 6 ，试 说明 ：AB AC. 二、混 淆勾 股定 理与 勾股 定理的 逆定 理 例 2 若ABC 的三 边长 分 别为 5 、12 、13 ，试 判断 ABC 的形 状. 错解： 因 为5 2 +12 2 13 2 ， 所以根 据勾 股定 理， 知ABC 是 直角 三角 形. 剖析：错 解错 在判断 的依
3、 据是错误 的.因 为勾股 定理 只有在先 有“ 直角三 角形 ”这一 条 件 才 可 以 使 用的 ， 勾 股 定 理 的 逆 定 理 与勾 股 定 理 是互 逆 的 定 理 ，即 若 某 三 角形 的 三 边 满足 c 2 =a 2 +b 2 ，则 此三 角形 是直 角三角 形， 且C=90 . 正解： 因 为5 2 +12 2 13 2 ， 故由勾 股定 理的 逆定 理知 ABC 是直 角三 角形. 评注 ： 要 分清 勾股定 理与 勾股定 理逆 定理 的应 用条 件， 当用 到勾 股定理 时 ， 前提条 件是 已知三 角形 为直 角三 角形 ， 而 勾股 定理 逆定理 ， 是 用来判
4、断三 角形 是否 为直 角三角 形 ， 即 先 由两边 的平 方和 等于 第三 边的平 方， 而得 出该 三角 形为直 角三 角形. 跟踪训练 2 一个 三 角形的 三条 边长 分别 为 15 cm 、20 cm 、25 cm ，则 这 个三角 形最 长 边上的 高为 【 】 A 9 cm B10 cm C 11 cm D12 cm 三、受 思维 定势 影响 致错 例 3 已知 ABC 中，a=m 2 n 2 ，b=m 2 +n 2 ，c=2mn ， 其 中m、n 是 正整 数， 且 mn ， 试 判断 ABC 是否 为直 角三 角形. 错 解： 因 为 a 2 +b 2 （m 2 n 2 ）
5、 2 +（m 2 +n 2 ） 2 2m 4 +2n 4 ，c 2 =4m 2 n 2 ， 所以 c 2 a 2 +b 2 ， 所以 ABC 不 是直 角三 角形. 剖 析： 错解 的原 因是 受思维 定势 （勾 股定 理的 一般表 达式 ：a 2 +b 2 =c 2 ） 的 影响而 误认 为 c 是最大 边， 其实 解本 题的 关键之 一是 确定 最大 边， 然后根 据勾 股定 理的 逆定 理来判 定该 三角 形是否 为直 角三 角形. 正解： 由m 、n 是正 整数 ， 且 mn ，可 知ba，又 b c=m 2 +n 2 2mn= （mn ） 2 0 ，所 以bc. 而 a 2 +c 2
6、 （m 2 n 2 ） 2 + （2mn ） 2 =m 4 2m 2 n 2 +n 4 +4m 2 n 2 m 4 +2m 2 n 2 +n 4 （m 2 +n 2 ） 2 . 则 b 2 =a 2 +c 2 ，所以 ABC 是直角 三角 形. 评注：解 这类 题首先 要认 清哪边是 斜边 ，只有 斜边 的平方才 是另 外两边 的平 方和.实际 题目中 所给 的字 母所 指的 边与公式 a 2 +b 2 =c 2 所指 的边 不一定 完全 对应. 跟踪训练 3 在ABC 中 ，已知 B=90 ，A、B、C 的 对边 分别是 a、b、c，且 a=5 ，b=12 ，求c 的长. 答案 1. 解： 因为AD 是 BC 边上的 中线 ，所 以BD CD 1 2BC8.在ADB 中 ，有 6 2 +8 2 10 2 ， 即AD 2 +BD 2 AB 2 , 所以 ADB 是直 角三 角形.AD BC. 由线段 垂直 平分 线的 性质 可得 AB AC. 2.D 3. 119
