1、概率论研究随机事件的概率，要完整的描述随机现象，需要知道概率空间。而概率空间的数学味道太浓，初学者难以理解。用随机变量及其分布作为描述随机现象的数学模型，更直观、简便，容易掌握。 那么，什么是“随机变量”呢？如何理解它？ 随机变量是“用来表示随机现象结果的变量”。,随机变量的概念,Michael Jordan 连续投篮10次，每次命中率为0.8，如何描述这一随机现象？ 每天进入某超市的顾客数是随机的，而顾客购买商品的件数也是随机的，如何去描述？ 如何描述电视机的寿命长短？ 如何用随机变量描述某学生在某次考试中是否及格？,随机变量的概念,若随机现象的各种可能的结果都能用一个 变量的取值（或范围）
2、来表示，则称这个变量为随机变量。 如果一个变量的取值依赖于随机试验的结果，在试验之前是不能确定的（也就是说它们的取值是随机的），则把这个变量称为随机变量。,随机变量的概念,随机变量通常用大写字母X,Y,Z，表示。而表示随机变量的取值时，用x,y,z,.。 我们是用随机变量的取值情况去描述随机现象的。 用一个随机变量去描述随机现象的结果时，我们首先要会确定这个随机变量的取值范围；接着才考虑每种取值的可能性。,随机变量的概念,例1 盒子里有7个白球、3个黑球，现每次从中任取一个球不放回。若用随机变量X表示首次取出白球的取球次数，则X 的所有取值是怎样的？,随机变量的概念,随机变量,随机变量的分类,
3、如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.,随机变量的分类,离散型随机变量：随机变量X的全部可能 的取值只有有限个或可数无穷个。 可数：可以逐个一一列举。,分布律,离散型随机变量,离散型随机变量可完全由其分布列来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定,离散型随机变量分布列的性质:,离散型随机变量的分布列,例2 随机变量X的分布列为,求常数a。,解：由离散型随机变量的分布
4、列的性质有,解得：,（舍去）,离散型随机变量的分布列,例3 设离散型随机变量X的分布列为,求 (1) PX0.5;(2) P-2X3.,解：PX0.5=PX=1+PX=2=0.5+0.3=0.8;P-2X3=PX=-1+PX=1+PX=2=1.,离散型随机变量的分布列,例4 已知随机变量X的分布列为,求 PX1|X0.,离散型随机变量的分布列,例5 袋里有5只球，编号为1，2，3，4，5。现在从盒里随意取3只球，用X表示取出的3个球中的最大号码，求X的分布律。,离散型随机变量的分布列,例6 盒子里有7个白球、3个黑球，现每次从中任取一个球不放回。用随机变量X表示首次取出白球的取球次数，求X的分
5、布律。,离散型随机变量的分布列,1.二项分布（XB(n,p)）,若X的分布律为：,记为 XB(n,p).,二项分布可描述n重伯努利概型中“成功”的次数。,常见离散分布,特别地，当XB(1,p),其分布律为,此时称X服从参数为p的0-1分布。,常见离散分布,此时的 称为最可能成功次数,如果XB(n,p)，那么，当k由0变到n时，PX=k先是单调增加，随后单调减小.当k为小于(n+1)p的最大整数时，取到它的最大值.,常见离散分布,例7 市场上出售的鸡蛋中，有1/100鸡蛋由于天气炎热已开始变质,现有一个顾客购买了5个鸡蛋.求所购5个鸡蛋中，至少有一个以变质的概率。,常见离散分布,例8 鸡在正常情
6、况下感染某种传染病的概率为0.2，用新疫苗A注射22只鸡后仅感染 1只，试问疫苗有效吗？ 通常概率在5%以下的事件称为小概率事件。在一次试验中，可认为小概率事件不发生！这就是著名的小概率事件原理。,常见离散分布,例9 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的.）?,常见离散分布,解,因此,例10,常见离散分布,小概率事件原理认为：在一次试验中，小概率事件不发生
7、！但是，如果不断重复试验，小概率事件迟早会发生！为什么呢？ 于是，我们明白了一首歌：伤心总是难免的。既然伤心总是难免的，那伤心一次又何妨？人生漫漫长路，我们何必为一两次挫折而耿耿入怀呢？,常见离散分布,2. 泊松分布,常见离散分布,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,泊松分布的背景及应用,常见离散分布,电话呼唤次数,商场接待的顾客数,常见离散分布,泊松定理,常见离散分布,二项分布与Poisson近似的比较,常见离散分布,上面的表告诉我们,常见离散分布,例11 (人寿保险
8、问题)设有10,000个人参加了人寿保险,每年保费200元，死亡赔偿金100,000元。若他们的死亡率为0.001,求保险公司获利不少于50,000元的概率是多少?,保险公司的收入是 10000200=2000000 元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,常见离散分布,保险公司这一年里赔出100000X 元.假定 2000000-100000X500000,即X 15.,由泊松定理，得,PX15,常见离散分布,5(2),已知运载火箭在飞行中进入其仪,器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊,松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落,到仪器重要部位的概率为 0.1, 求落到,仪器重要部位的粒子数的概率分布 .,综合题,问题,
