1、单 变 量 最 优 化,连续优化模型,其中f,g连续，f非线性，变量X含有不多于两个分量.,例：库存问题（送货费用和储存费用最小化）,情景：某汽油加油站连锁企业希望确定向每个加油站多长时间送一次货，每次送多少汽油。每次送货时，加油站付出的费用为d（不含汽油本身的费用，与送货数量无关）.另一项费用是储存的相关费用（资金积压、仓库占用）.加油站位于高速公路附近，每周的汽油需求几乎是常数，可以得到每个加油站每天出售的汽油数量。,明确问题：,基本假设：,假设短期内汽油的需求和价格是常数，公司希望最大化利润，或最小化成本。,考虑如下问题：每个加油站在保证持有足够多的汽油满足顾客需求的前提下，使每天平均的
2、送货和库存持货成本最小（假设其余成本不受送货数量和送货时间的影响）。直观上看，这样的最小成本是存在的。,1) 汽油价格相对稳定（生产能力相对于需求为无穷大）,2) 不允许缺货,3) 需求率为常数r,4) 生产准备费每次为d，单位产品日储存费为s,日平均成本=f(储存费用，送货费用，产品需求率),模型建立：,储存费用,送货费用,需求,子模型：,每个周期的费用,日平均费用,（连续化）,模型求解：,模型解释：,问题：是否能忽略汽油的成本费用？,模型实施：,1）r是日平均需求，因此有必要考虑缓冲库存防止缺货发生。,2）如果将 舍入到一个整数值，向上取整还是向下取整更好些？,模型推广：,1）如果生产能力
3、是大于需求量的一个常数（有限），即原假设1不成立，如何建模？,2）简单的允许缺货模型：,原假设2允许缺货，每天单位产品缺货损失费为w，但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足。,例：生猪的出售时机,饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤.,问题,市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售.,如果估计和预测有误差，对结果有何影响？,分析,投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.,变量：,t=时间(天） w=猪的重量（公斤） p=猪的价格（元/公斤） C=饲养t天的花费（元） R=售出
4、猪的收益（元） Q=净收益（元）,列出问题中涉及到的变量，包括适当的单位。（注意不要混淆变量和常量）,提出问题：,假设：,目标：求Q的最大值,列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式（检查单位）。,用准确的数学表达式给出问题的目标。,10天后出售，可多得利润20元,解得全局极大值点,Q(10)=660 640,若当前出售，利润为808=640（元）,建立模型：,回答问题：,求解模型：,选择建模方法,用非技术性语言表述，避免使用数学符号和术语,求 t 使Q(t)最大,生猪体重 w=80+rt,出售价格 p=8-gt,销售收入 R=pw,资金投入 C=4t,利润 Q=R-C=pw -C,估计猪
5、的生长率r=2,t 天出售,价格的下降率g=0.1,灵敏性分析,考虑结果对每一条假设的敏感程度,考虑数据不准确的可能性，选择有较大不确定性的参数进行灵敏性分析。,研究 r, g变化时对模型结果的影响,设g=0.1不变,t 对r 的（相对）敏感度,生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%.,估计r=2, g=0.1,研究 r, g变化时对模型结果的影响,设r=2不变,t 对g的（相对）敏感度,生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%.,估计r=2, g=0.1,稳健性分析,保留生猪直到收入的增值等于每天的费用时出售,研究 r, g不是常数时对模型结果的影响,w=80+rt w =
6、 w(t),p=8-gt p =p(t),即使该模型不完全精确，由其导出的结果也是正确的，或者说，足够近似从而可以在实际问题中应用。,假设猪的重量w和价格p都是时间的线性函数，这是现实情况的简化。,由 S(t,r)=3,建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算。,若 (10%), 则 （30%）,只要 在这段时期内的变化不太大，假设它们保持为常数而导致的误差就不会太大。,再考虑价格，若 是最坏情况，则我们能说的只是至少要等10天出售，但我们的模型对较长的时间区间不再有效。,进一步考虑：,1）对每天的饲养费用作灵敏性分析,3）目标变为对收益率求最大值（元/天）,4）将猪的生长率随着猪的长大而下降的事实考虑进来,2）考虑价格函数,阅读材料：,参考文献1，第十三章第一节； 参考文献2，第一章； 参考文献3，第三章第1、2、3节.,作业：,1、阅读UMAP211、UMAP341、UMAP518中的一篇，并提交一份简短的报告供班上讨论。 2、参考文献3，第三章习题7、9、10，P82P84.,
