1、灵敏度分析的概念和内容 资源数量变化的分析 目标函数中价值系数变化的分析 影子价格的经济意义和应用,第二章 线性规划灵敏度分析,线性规划问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值或预测值。,市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。,灵敏度分析的概念,灵敏度分析的内容,再看线性规划模型：,已经求得最优解：x*1 = 2, x*2 = 6。此时总利润最大，最优目标值为：z* = 3600（元）,灵敏度分析的内容,现在要考虑发生下面的变化时，最优解是否会改变？对总利
2、润又会产生怎样的影响？,如果门的单位利润由原来的300元提升到500元 如果门和窗的单位利润都发生变化 如果车间 2 的可用工时增加 1 个小时 如果同时改变多个车间的可用工时 如果车间 2 更新生产工艺，缩短制造时间 工厂考虑增加一种新产品 如果又要求增加用电限制,目标函数中价值系数 cj 的变化分析,先考虑只有一个系数 cj 改变：门的单位利润由原来的 300 元提升到 500 元，最优解如何变化呢？,改变参数,最优解未变,总利润增加,(500 300) 2 = 400,最优解变了,再改变参数,那么，保持最优解不变的价值系数允许变化范围？,可行域,最优解(2,6),看图解法,此时有无穷组解
3、,此时有无穷组解,最优解不变,资源数量变化的分析,考虑只有一个右段值 bi 改变：2车间可用工时由原来的12小时增加到13小时，最优解如何变化呢？,修改了参数,总利润增加了 3750 3600 = 150(元),最优解也变了,可行域,最优解(2,6),（利润）,（利润）,（利润）,右端值变化，也改变了可行域。在一定范围内，车间的约束右端值增加 1，交点（最优点）上移，利润增长。,最优解不变,LINGO,Options,General Solver,Dual Computations,下拉菜单中选择：Prices & Range,激活灵敏度计算,（计算对偶值和灵敏度）,OK,在 LINGO 的求
4、解报告中，除了前面提到的迭代次数，最优解和目标函数值外，还有松弛系数（Slack or surplus）、递减费用（Reduced Cost）和对偶价格（Dual Price）三栏。,Lingo 的对偶价格,“Reduced Cost” （递减成本）表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。即当变量 xj 增加一个单位时，目标函数减少的量（max型问题）。它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。在最大化问题中，“改进”指增加，最小化问题中指减少。,“Slack or Surplus”（松弛系数）表示对应约束行在最优解下还剩下多少资源。（第一行是目标函数
5、行）,“DUAL PRICE”（对偶价格，即影子价格）输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。 表示对应约束中不等式右端项若增加 1 个单位，目标值将增加的数量（max型问题）。如：车间2：1213，总利润变化量 = 影子价格 = 150 元；车间3：1817，总利润变化量 = - 影子价格 = - 100 元,LINGO,Range,Lingo 的灵敏度分析,输出报告,目标函数中 x1 变量原来的费用系数为300，允许增加（Allowable Increase）=450、允许减少（Allowable Decrease）=300，说明当它在 0, 750 范围变化时，最优基保持不变，可以类似
6、解释 x2变量。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。 第 2 行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为 4，当它在 2，范围变化时，最优基保持不变。第3、4 行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。,多个费用系数同时变动分析,例如，门的单位利润涨到 450元，窗的利润降到 400元，是否会导致最优解发生变化呢？,model: max=450*x1+400*x2; x1=4; 2*x2=12; 3*
7、x1+2*x2=18; end,Global optimal solution found at iteration: 2Objective value: 3300.000Variable Value Reduced CostX1 2.000000 0.000000X2 6.000000 0.000000,最优解没有发生变化，总利润 由于产品单位利润的变化相应改变(450 - 300)2 + (400 500) 6 = -300,百分之百法则,如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量的百分比，然后将各系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；反之，则不能确定。,
8、前面的例子。 c1: 300450 占允许增加量的百分比 =,c2: 500400 占允许增加量的百分比 =,总和 = 66.67% 100%，故最优解 (2, 6) 没有改变。,如果,c1: 300525 ， c2: 500350 ，总和 = 100% 100%。,c1: 300150 ， c2: 500250 ，总和 100% ，最优解也未变。,多个资源系数同时变动分析,例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润产生什么影响？,model: max=300*x1+500*x2; x1=4; 2*x2=13; 3*x1+2*x2=17; end,Global optimal
9、solution found at iteration: 2Objective value: 3650.000Variable Value Reduced CostX1 1.333333 0.000000X2 6.500000 0.000000,总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，,百分之百法则,如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子价格依然有效；否则，就无法确定。,前面的例子。 b2: 1213 占允许增加量的百分比 =,b3: 1817 占允许增加量的百分比 =,
10、总和 = 33.33% 100%，故影子价格 没有改变。,若,b2: 1215 ， b3: 1815 ，总和 = 100% 100%，仍未变。,在影子价格有效的范围里，总利润的变化量可以直接用影子价格来计算。,影子价格,资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条件下市场价格 影子价格， 卖出该资源影子价格随之改变，逐渐趋向市场价格。,影子价格 = 0，该资源未充分利用 影子价格 0，该资源已消耗殆尽。,产品的隐含成本 = 单位资源消耗量影子价格产品产值 隐含成本， 生产该产品有利产品产值 隐含成本，生产该产品不利，应该转产,影子价格的应用。某文教用品厂利用白坯纸生产稿纸、日记本和练习本
11、。该厂有工人100人，每天白坯纸的供应量为30000千克。每个工人每天可单独生产稿纸30捆或日记本30打或练习本30箱。三种产品消耗白坯纸：每捆稿纸需10/3千克，每打日记本需40/3千克，每箱练习本需80/3千克。分别盈利为1元、2元和3元。试讨论在现有条件下，使该厂盈利最大的方案？ 如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时，可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天15元，该厂是否招临时工及招多少人为宜？,解：设决策变量为该厂每天生产量：稿纸 x1 捆，日记本 x2 打，练习本 x3 箱。,数学模型为,总利润最大 每天白坯纸供应约束 工人数 非负,Global optimal solution
12、 found at iteration: 2Objective value: 5000.000Variable Value Reduced CostX1 1000.000 0.000000X2 2000.000 0.000000X3 0.000000 0.3333333Row Slack or Surplus Dual Price1 5000.000 1.0000002 0.000000 0.10000003 0.000000 20.00000,model: max=x1+2*x2+3*x3; (x1+4*x2+8*x3)*10/3=30000; (x1+x2+x3)/30=100; end,
13、Lingo 程序和计算结果,求解结果：每天生产稿纸1000捆，日记本2000打，练习本0箱最大利润 5000元 灵敏度报告：第二个约束的影子价格为 20 元，大于临时工每天费用 15 元，所以每招一名临时工，工厂多盈利 5 元，允许增量 200 人,Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 1.000000 0.2500000 0.5000000X2 2.000000
14、2.000000 0.1428571X3 3.000000 0.3333333 INFINITYRighthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 30000.00 10000.00 20000.003 100.0000 200.0000 25.00000,练习二,1. 某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品 A，B，C。问： （1）怎样安排生产，才能使利润最大？ （2）若增加1公斤原材料甲，总利润增加多少？ （3）设原材料乙的市场价格为1.2元/公斤，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少？为什么？
15、（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变？ （5）由于市场变化，产品B、C的单位利润变为2、4元，这时应如何调整生产计划？,2. 某工厂计划生产、三种产品 ，各需要在A, B, C设备上加工：,（1）如何充分发挥设备能力，使工厂盈利最大？ （2）为了增加产量，可借用其它工厂的设备B，若每月可借60台，租金1.8万元，问是否合算？ （3）若有新产品，需用设备 A 12台，B 5台，C 10台时，单位产品盈利2.1千元，新产品，需用设备 A 4台，B 4台，C 12台时，单位产品盈利1.87千元。投产这两种新产品是否合算？ （4）改进工艺后生产每件产品，需9台设备A，12台设备B，
16、4台设备C，单位产品盈利4.5千元，问对原计划有何影响？,3. 某公司目前生产、两种产品的产量分别为每天30个和120个。问： （1）假设产品销路不成问题，请确定最优产品组合（产量）？ （2）在最优产品组合中，哪些车间还有剩余产能，剩余多少？ （3）四个车间能力的影子价格各为多少？ （4）当产品单位利润不变，产品的单位利润在什么范围内变化时，最优解不变不变？当单位利润不变，的变化范围呢？ （5）当产品单位利润从500元降为450元，产品的单位利润增加到430元，原来的最优产品组合是否保持，或如何改变？,4. 前进电器厂生产A、B、C三种产品。问： （1）在资源限量及市场容量允许的条件下，如何安排生产，才能使利润最多？ （2）说明三种产品的市场容量的影子价格以及材料、台时的影子价格的含义，并对其进行灵敏度分析。如要开拓市场应当首先开拓哪种产品的市场？如要增加资源，则应在多大程度上增加机器台时数和材料数量？,
