1、,2.6 旋涡运动,前面我们已经指出，流体的运动可以分为无旋运动和有旋运动两种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度的运动，而有旋运动则是流场中微团的旋转角速度的运动。旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程实际中常碰到的现象。例如龙卷风是一种强大的旋涡运动；在船尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都会产生旋涡；飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋涡运动是实际存在的一种重要的运动，因而对于旋涡运动的研究有着重要的意义。, 2.6.1 涡线，涡管以及旋涡强度 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理,2.6 旋涡运动（续）, 2.6.1涡线，涡管以及旋涡强度,如同全流场可以
2、用流线描述一样，有旋运动的旋涡场也可以用涡线来描述。因此由速度向量所构成的速度场里所引进的关于流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到有旋转角速度向量所构成的旋涡场中来。,涡线,涡线：是充满旋涡流场中的一系列的曲线，在任意瞬时该曲线上微团的旋转角速度向量（旋转轴线方向按右手定则）都和曲线相切，右如图所示。 涡线方程：,涡管：某瞬时，在旋涡场中任取一条非涡线的光滑封闭曲线（曲线不得与同一条涡线相交于两点），过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成得管状曲面称为涡管，见右图。,涡管,涡量：通过涡管任一截面得到的涡通量，定义为：涡管的侧表面是涡面。在这个涡面上流体微团的角速度矢量 与涡面的法向矢量相垂直
3、。这表明涡通量不能穿越涡管表面。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此涡管可大可小，甚至无限小，涡线是横截面积趋向于零的涡管。,旋涡强度，或称涡量强度：设在涡管上取一截面，截面面积为 ，则定义为 上式就是旋涡强度，旋度则是涡管截面趋向于零时的旋涡强度。,应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、流量等相似，但不能把两者混淆起来。 涡线和流线应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否有涡，流线总是存在的。, 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理,速度环量：如果积分路径为一封闭曲线，则速度线积分的值定义为速度环量，即：速度环量取逆时针积分
4、方向为正。,本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋度的概念。而在同一流动区域中所有流体旋度的总效应则是以速度的环量来体现的。,斯托克斯定理：斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线L上的环量，等于贯通以此曲线所成的任意曲面上旋度的面积分。根据此定理，一个涡管的旋涡强度可以以此涡管的围线的环量值代替，所以环量也就成了涡强的同义词。如果曲线所围成的区域中无涡通量，则沿此围线的环量为零。,斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲线的速度环量为零，则流场中的流动是无旋的。 通常将围绕包含点涡闭合曲线上的速度环量称为点涡强度。,诱导速度：由旋涡存在而产生得速度 毕奥-萨瓦公式：确定诱导速度的大小。
5、该公式指出,在不可压流动中，强度是 、长为 的涡线对周围流场所产生得诱导速度为 ：,直线涡的诱导速度 诱导速度的方向是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。 如果涡线的一端无限长 如果涡线两端都延伸到无穷远 对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡线垂直的平面上流动都是一样的，因此这种流动可以看作平面流动，通常称平面点涡流动。, 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理,流场中的旋涡是由流体粘性产生的。旋涡产生以后的效应，可以用理想流体的观点来研究旋涡问题。理想流体里涡线或涡管有如下三条定理。, 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理(1),定理一:在同一瞬间沿涡线或涡管的旋度强度不变。,设在某瞬间时，在流场中取一包
6、围一段涡线的开缝圆管，见图2-24。若流场中除涡线外，处处无旋，则在这一开缝圆管上每一点旋度为零。因此，沿围成开缝圆管边界的速度线积分为零。又因组成缝的两边线上的速度积分（b到c和d到a）对总积分的贡献，在缝宽趋向零时，刚好相互抵消。为使总线积分为零，必有a到b的线积分同c到d的线积分大小相等符号相反。由此可知穿过圆筒上下截面的涡线旋涡强度应完全相同。由于圆筒的上下截面的位置使任选的，所以沿涡线旋涡强度是不变的。这一定理称为海姆霍兹第一定理。, 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理(2),定理二:涡线不能在流体中中断；只能在流体边界上中断或形成闭合圈。,将海姆霍兹第一定理推广，来分析涡线在开缝圆圈内部
7、中断的情况。如果这种情况发生，那么开缝圆筒边界上a到b与c到d的线积分大小就不再相等，即沿开缝圆筒边界的线积分不再为零。所以，涡线不能在流体中中断，只能中断于流体边界或形成闭合圈。这一定理称为海姆霍兹第二定理。例如在二维风洞实验时，机翼上的涡线（翼展方向）止于两侧的洞壁；还有一种是涡管可以伸到无穷远去，例如三维机翼上的涡线（与翼展同向的）在左右两侧折转后成为尾涡，向后伸到无穷远处。, 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理(3),定理三:在理想流中，涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或者消失。 在无粘流中，由于流体微团只受到垂直于微团表面的法向力，不受切向力，所受合力通过微团质心，既不存在使微团旋转的外力。若流体运动原无旋则永远无旋；若有旋则保持旋涡强度不变。 实际流体都是有粘性的，涡强是随时间变化的。不过空气的粘性很小，粘性使涡强的衰减并不很显著，所以仍可以按理想流体里涡强度不衰减处理。,
