1、函数 yAsin(x )的图象及应用一、选择题1已知函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( )( x3)A关于点 对称 B关于直线 x 对称(3， 0) 4C关于点 对称 D关于直线 x 对称(4， 0) 3解析 由已知， 2，所以 f(x)sin ，因为 f 0，所以函数图(2x3) (3)象关于点 中心对称，故选 A.(3， 0)答案 A 2.要得到函数 cos(21)yx的图象，只要将函数 cos2yx的图象（ ）A. 向左平移 1个单位 B. 向右平移 1个单位C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位解析 因为 1cos(2)cs()2yxx,所以将 co
2、s2yx向左平移 2个单位,故选 C.答案 C3若函数 f(x)2sin( x )， xR(其中 0，| | )的最小正周期2是 ，且 f(0) ，则( )3A ， B ， 12 6 12 3C 2， D 2， 6 3解析 由 T ， 2.由 f(0) 2sin ，2 3 3sin ，又| | ， .32 2 3答案 D4将函数 y f(x)sin x的图象向右平移 个单位后，再作关于 x轴对称变4换，得到函数 y12sin 2x的图象，则 f(x)可以是( )Asin x Bcos x C2sin x D2cos x解析 运用逆变换方法：作 y12sin 2xcos 2x的图象关于 x轴的对
3、称图象得 ycos 2x sin 2 的图象，再向左平移 个单位得(x4) 4y f(x)sin xsin 2 sin 2x2sin xcos x的图象 f(x)(x2)2cos x.答案 D5电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I Asin(t )(A0， 0,00，20， 2 2)相邻的最高点和最低点的距离为 2 ，则 _.2解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 ，而 f(x)max f(x)min2，由2勾股定理可得 2， T4， .T2 22 2 22 2T 2答案：210已知函数 f(x)3sin ( 0)和 g(x)2cos(2 x )1 的图象( x6)的对称轴
4、完全相同若 x ，则 f(x)的取值范围是_0，2解析 由题意知 2， f(x)3sin ，(2x6)当 x 时，2 x ，0，2 6 6， 56 f(x)的取值范围是 .32， 3答案 32， 311在函数 f(x) Asin(x )(A0， 0)的一个周期内，当 x 时有9最大值 ，当 x 时有最小值 ，若 ，则函数解析式 f(x)12 49 12 (0， 2)_.解析 首先易知 A ，由于 x 时 f(x)有最大值 ，当 x 时 f(x)有最小12 9 12 49值 ，所以 T 2 ， 3.又 sin ， 12 (49 9) 23 12 (39 ) 12，解得 ，故 f(x) sin .
5、(0，2) 6 12 (3x 6)答案 sin12 (3x 6)12设函数 ysin( x ) 的最小正周期为 ，( 0， (2， 2)且其图象关于直线 x 对称，则在下面四个结论中：12图象关于点 对称；图象关于点 对称；在 上是增函数；(4， 0) (3， 0) 0， 6在 上是增函数6， 0以上正确结论的编号为_解析 ysin( x )最小正周期为 ， 2，又其图象关于直线 x 对称，2 122 k (kZ)， k ， kZ.12 2 3由 ，得 ， ysin .(2， 2) 3 (2x 3)令 2x k( kZ)，得 x (kZ)3 k2 6 ysin 关于点 对称故正确(2x3) (
6、3， 0)令 2k 2 x 2 k (kZ)，得2 3 2k x k (kZ)512 12函数 ysin 的单调递增区间为(2x3)(kZ)k 512， k 12 (kZ)正确6， 0 k 512， k 12答案 三、解答题13已知函数 f(x) sin2x2cos 2x.3(1)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数 g(x)12的图象，求 g(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间解析 (1)依题意 f(x) sin2x23cos2x 12 sin2xcos2 x132sin 1，(2x6)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数
7、 f1(x)122sin 1 2sin2 x1 的图象，该函数的周期为 ，若将其周2(x12) 6期变为 2，则得 g(x)2sin x1.(2)函数 f(x)的最小正周期为 T，当 2k 2 x 2 k (kZ)时，函数单调递增，2 6 2解得 k x k (kZ)，3 6函数的单调递增区间为 (kZ)k 3， k 614已知函数 f(x)2 sin cos sin( x)3 (x2 4) (x2 4)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在6区间0，上的最大值和最小值解析 (1)因为 f(x) sin sin
8、x cos xsin x23 (x2) 32sin ，(32cos x 12sin x) (x 3)所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，6 g(x) f 2sin 2sin . x0，(x6) (x 6) 3 (x 6) x ，6 6， 76当 x ，即 x 时，sin 1， g(x)取得最大值 2.6 2 3 (x 6)当 x ，即 x 时，sin ， g(x)取得最小值1.6 76 (x 6) 12【点评】 解决三角函数的单调性及最值 值域 问题主要步骤有：第一步：三角函数式的化简，一般化成 y Asin x h或y Aco
9、s x h的形式.第二步：根据 sin x、cos x的单调性解决问题，将“ x ”看作一个整体，转化为不等式问题.第三步：根据已知 x的范围，确定“ x ”的范围.第四步：确定最大值或最小值.第五步：明确规范表述结论.15函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所(A 0， 0， 0 2)示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x) 2，求函数 g(x)在 x 上的最大值，并确定此f(x12) 6， 3时 x的值解析 (1)由题图知 A2， ，则 4 ， .T4 3 2 3 32又 f 2sin(6) 32( 6) 2sin 0，(4 )sin 0，0 ， ，( 4) 2 4 4
10、 4 0，即 ，4 4 f(x)的解析式为 f(x)2sin .(32x 4)(2)由(1)可得 f 2sin(x12) 32(x 12) 42sin ，(32x 8) g(x) 24f(x12) 1 cos(3x 4)222cos ，(3x4) x ， 3 x ，6， 3 4 4 54当 3x ，即 x 时， g(x)max4.4 416已知直线 y2 与函数 f(x)2sin 2x 2 sinx cosx 1( 0)的图3象的两个相邻交点之间的距离为 .(1)求 f(x)的解析式，并求出 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，求函
11、数4g(x)的最大值及 g(x)取得最大值时 x的取值集合解析 (1) f(x)2sin 2x 2 sinx cosx 131cos2 x sin2x 12sin ，3 (2 x6)由题意可知函数的最小正周期 T ( 0)，所以 1，22所以 f(x)2sin ，(2x6)令 2k 2 x 2 k 其中 kZ，2 6 2解得 k x k ，其中 kZ，6 3即 f(x)的递增区间为 ， kZ.k 6， k 3(2)g(x) f 2sin 2sin ，(x4) 2(x 4) 6 (2x 3)则 g(x)的最大值为 2，此时有 2sin 2，即 sin 1，(2x3) (2x 3)即 2x 2 k ，其中 kZ，解得 x k ， kZ，3 2 12所以当 g(x)取得最大值时 x的取值集合为Error!.
