1、 基本不等式一、选择题1若 x0，则 x 的最小值为( )4xA2 B3 C2 D42解析 x0， x 4.4x答案 D2设 a， b满足 2a3 b6， a0， b0，则 的最小值为( )2a 3bA. B.256 83C. D4113解析 由 a0， b0,2a3 b6 得 1，a3 b2 ( )( ) 2a 3b 2a 3b a3 b2 23 32 ba ab 2 2 .136 baab 136 256当且仅当 且 2a3 b6，即 a b 时等号成立ba ab 65即 的最小值为 .2a 3b 256答案 A3气象学院用 3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续
2、使用，第 n天的维修保养费为 元，使用它直至(n10 4.9， n N*)“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )A600 天 B800 天C1 000 天 D1 200 天解析 设一共使用了 n天，则使用 n天的平均耗资为 32 000 (5n10 4.9)n2n 4.95，32 000n n20当且仅当 时，取得最小值，此时 n800.本题的函数模型是一个在32 000n n20生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去答案 B4若正实数 a， b满足 a b
3、1，则( )A. 有最大值 4 B ab有最小值1a 1b 14C. 有最大值 D a2 b2有最小值a b 222解析 由基本不等式，得 ab ，所以 ab ，故 B错；a2 b22 a b 2 2ab2 14 4，故 A错；由基本不等式得 ，即 1a 1b a bab 1ab a b2 a b2 12 a ，故 C正确； a2 b2( a b)22 ab12 ab12 ，故 D错b 214 12答案 C5已知 a0， b0， a b2，则 y 的最小值是( )1a 4bA. B4 C. D572 92解析 依题意得 (a b) ，1a 4b 12(1a 4b) 125 (ba 4ab) 1
4、2(5 2 ba4ab) 92当且仅当Error! ，即 a ，23b 时取等号，即 的最小值是 ，选 C.43 1a 4b 92答案 C6已知 x0， y0， x， a， b， y成等差数列， x， c， d， y成等比数列，则的最小值是( ) a b 2cdA0 B1 C2 D4解析 由题知 a b x y， cd xy， x0， y0，则 a b 2cd x y 2xy4，当且仅当 x y时取等号 2xy 2xy答案 D7. 已知 ab、 都是正实数， 函数 2xaeb的图象过（0,1）点，则 1ab的最小值是（ ）A 32 B 3 C 4 D 2答案 A二、填空题8. 已知 x， y为
5、正实数，且满足 4x3 y12，则 xy的最大值为_解析 124 x3 y2 ， xy3.当且仅当 Error!即Error! 时 xy取4x3y得最大值 3.答案 39若 a是 12 b与 12 b的等比中项，则 的最大值为_2ab|a| 2|b|解析 a是 12 b与 12 b的等比中项，则 a214 b2a24 b21. a24 b2(| a|2| b|)24| ab|1. ，这个式子只有2ab|a| 2|b| 2ab1 4|ab|当 ab0时取得最大值，当 ab0时， ，2ab1 4|ab| 2ab1 4ab 2(1ab)2 4ab 2(1ab 2)2 4由于 a24 b21，故 4a
6、b1，即 4，1ab故当 4 时， 取最大值 .1ab 2ab|a| 2|b| 232 24答案 2410若实数 x， y满足 x2 y2 xy1，则 x y的最大值为_解析 由 x2 y2 xy1，得( x y)2 xy1，即 xy( x y)21 ，所以 (x y)21， x y 24 34故 x y ，233 233当 x y时“”成立，所以 x y的最大值为 .233答案 23311 x， yR，且 xy0，则 的最小值为_(x21y2)(1x2 4y2)解析 144 x2y2 142 9，当(x21y2)(1x2 4y2) 1x2y2 4x2y21x2y2且仅当 4x2y2 时等号成
7、立，即| xy| 时等号成立1x2y2 22答案 912在平面直角坐标系 xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x) 的图象2x交于 P， Q两点，则线段 PQ长的最小值是_解析 假设直线与函数 f(x) 的图象在第一象限内的交点为 P，在第三象限内2x的交点为 Q，由题意知线段 PQ的长为 OP长的 2倍假设 P点的坐标为 ，则| PQ|2| OP|2 4.当且仅当 x ，(x0，2x0) x20 4x20 20 4x20即 x0 时，取“”号2答案 4三、解答题13已知 x0， y0，且 2x8 y xy0，求：(1) xy的最小值； (2) x y的最小值解析 x0， y0,2 x8
8、 y xy0，(1)xy2 x8 y2 ，16xy 8， xy64.xy故 xy的最小值为 64.(2)由 2x8 y xy，得： 1，2y 8x x y( x y)1( x y)(2y 8x)10 10818.2xy 8yx故 x y的最小值为 18.14某单位用 2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少 10层，每层 2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048 x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用 y关于建造层数 x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平
9、均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)购 地 总 费 用建 筑 总 面 积解析 (1)依题意得 y(56048 x)2 16010 0002 000x56048 x (x10， xN )；10 800x(2) x0，48 x 2 1 440(元)，10 800x 4810 800当且仅当 48x ，即 x15 时取到“” ，10 800x此时，平均综合费用的最小值为 5601 4402 000(元)所以，当该楼房建造 15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000元15设 a， b， c都是正数，求证： a b c.bca acb abc证明 a， b， c都是
10、正数， ， ， 都是正数bcacab abc 2 c，当且仅当 a b时等号成立，bca cab 2 a，当且仅当 b c时等号成立，cab abc 2 b，当且仅当 a c时等号成立abc bca三式相加，得 2( )2( a b c)，bca cab abc即 a b c.bca cab abc当且仅当 a b c时等号成立16桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2米，如图，设池塘所占的总面积为
11、 S平方米 (1)试用 x表示 S；(2)当 x取何值时，才能使得 S最大？并求出 S的最大值解析 (1)由题图形知，3 a6 x， a .x 63则总面积 S a2 a(1 800x 4) (1 800x 6) a (5 400x 16) x 63 (5 400x 16)1 832 ，(10 800x 16x3)即 S1 832 (x0)(10 800x 16x3)(2)由 S1 832 ，(10 800x 16x3)得 S1 8322 10 800x 16x31 83222401 352(平方米)当且仅当 ，此时， x45.10 800x 16x3即当 x为 45米时， S最大，且 S最大值为 1 352平方米
