1、数列的概念及简单表示法一、选择题(每小题 5分，共 25分)1数列 an：1， ， ， ，的一个通项公式是( )58715 924A an(1) n1 (nN )2n 1n2 nB an(1) n1 (nN )2n 1n3 3nC an(1) n1 (nN )2n 1n2 2nD an(1) n1 (nN )2n 1n2 2n解析 观察数列 an各项，可写成： ， ， ， ，故313 524 735 946选 D.答案 D2把 1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)则第七个三角形数是( )A27 B28 C29 D30解析 观察三
2、角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 123456728.答案 B3对于数列 an， “an1 | an|(n1,2，)”是“ an为递增数列”的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C必要条件 D既不充分也不必要条件解析 当 an1 | an|(n1,2，)时，| an| an， an1 an， an为递增数列当 an为递增数列时，若该数列为2,0,1，则 a2| a1|不成立，即知： an1 | an|(n1,2，)不一定成立故综上知，“an1 | an|(n1,2，)”是“ an为递增数
3、列”的充分不必要条件答案 B4在数列 an中， an2 n229 n3，则此数列最大项的值是 ( )A103 B. C. D1088658 8258解析 根据题意并结合二次函数的性质可得： an2 n229 n323 2 23 ，(n2292n) (n 294) 8418 n7 时， an取得最大值，最大项 a7的值为 108.答案 D5设数列 an满足： a12， an1 1 ，记数列 an的前 n项之积为 n，则1an 2 011的值为( )A B112C. D212解析：由 a2 ， a31， a42 可知，数列 an是周期为 3的周期数列，从而12 2 011 12.答案：D6已知整数
4、按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第 60个数对是( )A(5,5) B(5,6) C(5,7) D(5,8)解析 按规律分组第一组(1,1)第二组(1,2)，(2,1)第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)则前 10组共有 55 个有序实数对10112第 60项应在第 11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，(11,1)因此第 60项为(5,7)答案 C7.已知数列 的前 项和为 ， ， ， ,则 ( )nanS1a12nSanSA. B. C. D
5、.12n 1)23()3(12解析 因为 ，所以由 得， ，整理得nn1 1n )(nn，所以 ，所以数列 是以 为首项，公比123nS23nnS1a的等比数列，所以 ，选 B.q1)(nS答案 B二、填空题8在函数 f(x) 中，令 x1,2,3，得到一个数列，则这个数列的前 5x项是_答案 1， ， ，2，2 3 59已知数列 an满足 a12，且 an1 an an1 2 an0( nN *)，则a2_；并归纳出数列 an的通项公式 an_.解析 当 n1 时，由递推公式，有 a2a1 a22 a10，得 a2 ；2a1a1 1 43同理 a3 ， a4 ，由此可归纳得出数列 an的通项
6、公式为2a2a2 1 87 2a3a3 1 1615an .2n2n 1答案 43 2n2n 110已知数列 an的前 n项和 Sn n29 n，第 k项满足 5 ak8，则 k的值为_解析 Sn n29 n， n2 时， an Sn Sn1 2 n10，a1 S18 适合上式， an2 n10( nN *)，52 k108，得 7.5 k9. k8.答案 811在数列 an中， a1 ， an1 1 (n2)，则 a16_.12 1an解析 由题可知 a21 1， a31 2， a41 ，此数列是1a1 1a2 1a3 12以 3为周期的周期数列， a16 a351 a1 .12答案 121
7、2已知数列 an的通项公式为 an( n2)( )n，则当 an取得最大值时， n等78于_解析：由题意知Error!Error!Error! n 5或 6.答案：5 或 6三、解答题13数列 an的通项公式是 an n27 n6.(1)这个数列的第 4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解析：(1)当 n4 时， a44 24766.(2)令 an150，即 n27 n6150，解得 n16，即 150是这个数列的第 16项(3)令 an n27 n60，解得 n6或 n1(舍)，从第 7项起各项都是正数14已知各项均
8、为正数的数列 an的前 n项和满足 Sn1，且 6Sn( an1)(an2)， nN *.求 an的通项公式解析 由 a1 S1 (a11)( a12)，16解得 a11 或 a12，由已知 a1 S11，因此 a12.又由 an1 Sn1 Sn (an1 1)( an1 2) (an1)( an2)，16 16得 an1 an30 或 an1 an.因 an0，故 an1 an不成立，舍去因此 an1 an30.即 an1 an3，从而 an是公差为 3，首项为 2的等差数列，故 an的通项为an3 n1.【点评】 解决已知数列的前 n项和 Sn与通项 an的关系，求通项 an的问题，步骤主
9、要有：,第一步：令 n1，由 Sn f an 求出 a1；第二步：令 n2，构造 an Sn Sn1 ，用 an代换 Sn Sn1 或用 Sn Sn1 代换an，这要结合题目的特点 ，由递推关系求通项；第三步：验证当 n1 时的结论是否适合当 n2 时的结论.如果适合，则统一“合写” ；如果不适合，则应分段表示；第四步：明确规范表述结论.15在数列 an中， a11， an1 an2 n1 ，求 an.解析 由 an1 an2 n1 ，得 an1 an2 n1 .所以 a2 a11， a3 a22，a4 a32 2，a5 a42 3，an an1 2 n2 (n2)，将以上各式左右两端分别相加，得 an a1122 22 n2 2 n1 1，所以 an2 n1 (n2)，又因为 a11 适合上式，故 an2 n1 (n1)16已知数列 an满足前 n项和 Sn n21，数列 bn满足 bn ，且前 n2an 1项和为 Tn，设 cn T2n1 Tn.(1)求数列 bn的通项公式；(2)判断数列 cn的增减性解析 (1) a12， an Sn Sn1 2 n1( n2) bnError!(2) cn bn1 bn2 b2n1 ，1n 1 1n 2 12n 1 cn1 cn 12n 2 12n 3 1n 1 0， n 1 2n 2 2n 3 n 1 cn是递减数列
